Главные значения симметричного тензора

Определение главных- моментов инерции выполняется но общей схеме отыскания главных значений симметричного тензора второго ранга, т. е. из квадратного уравнения [c.602]

Главные оси и главные значения симметричного тензора. [c.817]

Главные значения симметричного тензора второго ранга являются его инвариантами. Это следует из замечания в п. 1.9, что корни полинома / з(А) не зависят от выбора системы координат, в которой задавалась матрица компонент тензора. Очевидно, что любая функция главных значений тензора Ф(), ь Лг, з) является его инвариантом. Наиболее удобны для применения инварианты, являющиеся симметрическими функциями главных значений — корней полинома Рз( ), так как они рационально выражаются через коэффициенты этого полинома, то есть компоненты тензора. Они называются главными инвариантами. Конечно, инварианты тензора не зав сят от ориентации триэдра его главных осей — тензоры Q и Q имеют одни и те же инварианты. [c.821]

Заметим, что главные значения симметричного тензора заданного в декартовых координатах компонентами г /, в главных осях имеют компоненты г ( =1, 2, 3), выражающиеся через инварианты [c.216]

На поверхности пластичности, определяемой уравнениями (1), рассмотрим точки, в которых равны два главных значения тензора р. Как известно, если равны два главных значения симметричного тензора второй валентности, то кроме определителя тензора р — рЕ также все миноры второго порядка матрицы этого тензора обращаются в нуль. Обозначим через 1, т, п и Р1,Р2,Рз собственные векторы и собственные значения тензора р соответственно. Тогда, полагая, что Р"(1 (8) 1 — т 0 гп) = О, будут иметь место равенства [c.102]

Главные значения симметричного тензора вещественны [c.18]

Диагональные компоненты Х , Хц, х называются главными значениями симметричного тензора. Разумеется, их сумма есть первый инвариант тензора [c.207]

Ряд особенностей симметричных тензоров второго ранга рассматривается на примере тензора напряжений в гл. V тензорный эллипсоид, главные оси, главные значения, инварианты тензора). [c.774]

Отметим также представления диад главных направлений симметричного тензора. Они следуют из соотношений q — главные значения Q) [c.828]

Таким образом, Л — симметричный тензор с положительными главными значениями. Такие тензоры называют иногда положительно-определенными. [c.18]

Как показал Л. И. Седов (1959), при произвольных (конечных) деформациях процесс деформации может быть простым лишь для некоторых, исключительных значений а . Это связано с тем, что при конечной однородной деформации углы между материальными ( вмороженными в материал) прямыми, вообще говоря, изменяются (исключение составляет одноосное растяжение и другие случаи, соответствующие sin За., = 0), так что -ориентация относительно этих прямых главных осей симметричного тензора сохраняться не может. [c.93]

При записи этих выражений использована система координат Тг, 0, которая получена из исходной путем поворота на угол А0 и связана с главными осями симметричного тензора Е (в главных осях тензор Е приводится к диагональному виду с элементами Е и —Е). Чисто деформационный сдвиг отвечает значению О = О, а простой сдвиг задается параметрами Е =0,0, = —Е2. [c.79]

Для некоторых типов сдвиговых течений, представляющих практический интерес, численные значения коэффициента а и величины С в формуле (4.5.2) указаны в табл. 4.3. Сумму в третьем столбце последней строки таблицы можно вычислить по формуле Скт кт = - 1 + - 2 + - 3 "Д 1 2 Р з —Диагональные элементы приведенного к главным осям симметричного тензора ЦС Ц. [c.155]

Таким образом, симметричный тензор второго ранга можно определить не только шестью его компонентами ац в произвольных ортогональных координатах но и тройкой главных направлений и тремя независимыми инвариантами. В качестве последних можно выбрать либо три главных значения тензора fli, йь Оз. либо их комбинации, например модули а, d и фазу ф тензора. [c.15]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Свёртывание, сложение, симметричность, альтернирование, идеи, понятие, частный случай, свойства, поле, определение, компоненты, элементы, главные значения, главные оси. .. тензора. Умножение вектора. .. на тензор. Действия. .. над тензором. Скалярное произведение. .. тензоров. [c.88]

Как и всякий симметричный тензор, можно привести тензор в каждой данной точке к главным осям. Это значит, что в каждой данной точке можно выбрать такую систему координат — главные оси тензора, — в которой из всех компонент иц отличны от нуля только диагональные компоненты ц, Щ2, зз- Эти компоненты — главные значения тензора деформации — обозначим посредством ы( >, ы< >, Надо, конечно, помнить, что если тензор Uih приведен к главным осям в некоторой точке тела, то он, вообще говоря, недиагонален во всех других точках. [c.10]

В 35 было показано, что симметричный тензор второго ранга в каждой точке пространства обладает тремя взаимно перпендикулярными главными осями. Если принять эти оси за оси координат, то недиагональные компоненты будут равны нулю, а три отличные от нуля диагональные компоненты образуют систему главных значений тензора. В рассматриваемом случае тензора инерции главные оси тензора инерции именуются главными осями инерции, а главные значения тензора инерции — главными моментами инерции. [c.285]

Метод определения направлений главных осей и величин главных значений любого симметричного тензора второго ранга был уже описан ранее ( 35), причем метод этот носил чисто [c.286]

Главные значения тензора деформации ij), как симметричного тензора второго ранга, равны корням ч-кубического уравнения [см. (1 .50)] [c.18]

Как и в случае любого симметричного тензора второго ранга, главные значения тензора напряжений (о ) равны корням кубического уравнения [см. (1 .50)1 [c.39]

Поэтому можно говорить о симметричности термодинамического (изобарного) потенциала твердого кристаллического тела в том смысле, что локальное значение химического потенциала в точке определяется абсолютной величиной гидростатической части тензора напряжений независимо от направления механической силы— растягивающей или сжимающей твердое тело (относительно равновесного положения с нулевыми силами). Подобный анализ можно провести для любого главного значения тензора напряжений (рассматривая изменения соответствующих компонент тензора деформаций), чтобы сделать заключение о симметрии термодинамического потенциала Гиббса по знаку компонент тензора напряжений (относительно недеформированного состояния). [c.18]

Очевидно, что если пористая среда симметрична относительно двух ортогональных плоскостей, то она должка быть симметричной относительно пористой ортогональной плоскости. Материалы, для которых тензор Ж определяется главными значениями Кза< называются ортотропными. Если К22 = Кза> то такие среды называют поперечно изотропными. [c.316]

В работе [9] Бреннер дал обобщение предыдущего изложения на случай, когда главные трансляционные оси частицы могут быть ориентированы любым образом по отношению к главным осям ограничивающих стенок. Как мы сейчас покажем, с точностью до первого порядка по отношению размера частицы к размеру границы избыточное сопротивление частицы в поступательных движениях молено представить в виде симметричного тензора второго ранга (диадика), значение которого не зависит от формы и ориентации частицы. [c.336]

Для симметричного тензора главные значения вещественны, - а соответствующие им собственные единичные векторы — ортогональны. В ортонормированном базисе собственных векторов симметричный тензор представляется следующим образом [c.14]

Отсюда, в частности, следует что производная любого инварианта симметричного тензора X второго ранга есть симметричный тензор, соосный с X. Кроме того, главные значения произ- [c.19]

Как и любой симметричный тензор, тензор, В имеет вещественные собственные значения Кь Кг> называемые главными кривизнами поверхности в данной точке. Спектральное разложение тензора В записывается в виде [c.49]

Отсюда и из (1.13) следует, что Т Т — симметричный тензор. Поэтому для него можно использовать соотношение (1-23), вводя тензор А = л/т Т. Можно показать, что этот тензор при Шг ф О имеет положительные главные значения. Кроме того, имеем следующее предложение произвольный невырожденный (т.е. с отличным от нуля Шт) тензор с вещественными компонентами [c.44]

Напомним, что здесь Л = VF F — симметричный тензор с положительными главными значениями, а Q — ортогональный тензор [c.48]

Найги главные значения симметричной части тензора [c.65]

Известно, что в трехмерном пространстве любой инвариант симметричного тензора второго ранга есть функция его собствен- -ных значений или, что эквив алентио, функция его главных-иива -риантов 1ь 1)2, 1з- Любой инвариант вектора есть функция его лины. ., . [c.18]

Ортонормированньи тензорны репер может быть выбран произвольным образом. Особенно важен случай, когда во все время движения он остается главным для симметричной тензорной кривой A(i). В этом случае Дь 2, аг — главные значения тензора А, Д4 = 5 = Яе = О и [c.147]

Корни Al, Л2 и Лз кубического уравнения называют главными значениями главными деформациями) тензора деформации . В общем случае Al, А2 и Аз различны и для симметричного тензора с действительными компонентами являются действительными числами, что можно легко показать. Для этого умножим левую часть системы линейных алгебраических уравнений из (2.39) на и с учетом щщ = 1 получим равенство niSijUj = А. Так как левая часть этого равенства — действительное число, то действительно и А. Каждому значению А соответствует свой направляющий вектор п, тройка этих направляющих векторов образует ортонормированный базис, щщ = 1. [c.49]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...