Число собственное тензора

Число собственное тензора 434, 461 [c.512]

Известно, ЧТО собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами. Для тензора напряжений это можно непосредственно доказать, если исходить из характеристического уравнения. Один корень кубического уравнения должен быть всегда вещественным. Предположим, что это главное напряжение аь действующее в главном направлении х, тогда [c.27]

В изотропном упругом материале, как мы доказали, Т и У соосны, так что тензор ТУ симметричен. Собственные числа симметричного тензора /ТУ даются формулой [c.273]

Элементы собственного подпространства называются собственными век торами, соответствующими заданному собственному числу. Собственное число просто, еслн его кратность равна 1, т, е. если его собственное подпространство одномерно. Множество всех собственных чисел тензора Ь называется его спектром. По определению числа, образующие спектр, различны. Характеристическим уравнением для тензора I, называется уравнение [c.508]

Тензор теплопроводности является симметричным. Можно показать, что посредством линейного преобразования с переходом к новым координатам т], матрицу (1.50) всегда можно привести к диагональному виду, по главной диагонали будут стоять собственные числа >11, 2, 3 матрицы (1.50), в этом случае [c.25]

Как отмечалось в 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой I имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора I, причем числа /ь /2, /3 суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор I является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Пусть, например, вектор w будет направлен вдоль одной из осей координат, скажем вдоль оси х. Тогда кинетический момент L = /-(o будет направлен вдоль этой же оси. Следовательно, действие оператора I на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. Но согласно определению такой вектор должен быть одним из собственных векторов преобразования /. [c.173]

Всякий тензор, инвариантный относительно некоторой группы преобразований, являющейся подгруппой полной собственной ортогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа тензоров со скалярными коэффициентами. Это множество тензоров, каждый из которых является инвариантным относительно рассматриваемой группы преобразований, называется тензорным базисом этой группы преобразований. [c.31]

Масштабный множитель t называют главным значением (собственным или характеристическим числом) тензора. [c.9]

Эти векторы взаимно-ортогональны. Направления, совпадающие с направлением собственных векторов - главные оси тензора. Собственные числа Я ,Я ,Я называются главными значениями тензора. [c.61]

Как преобразуется матрица 4 при переходе к главным осям Покажем, что матрица в этом случае диагональна, на главной диагонали стоят собственные числа тензора. [c.61]

Произвольная линейная комбинация собственных векторов ] J(l) N(2) Jy(3) также является собственным вектором, т.е. любое направление главное. Это значит, что и оси х х х. главные и тензор имеет диагональную структуру. Этот тензор называется шаровой тензор, он в любой системе координат имеет диагональную структуру и на главной диагонали собственные числа [c.65]

Тензор о, как видно из этого представления, симметричен. Его собственные числа пропорциональны квадратам скоростей распространения в предварительно напряженной упругой среде ПЛОСКИХ волн в направлении N (когда преобразование отсчетной конфигурации в актуальную аффинно). Это дает основание назвать О акустическим тензором [см. гл. 8, 7]. Скорости вещественны, если система — сильно эллиптическая. [c.129]

Собственные числа тензора О равны 1 = к + 2[х, и условиями строгой эллиптичности (4) гарантируется шествование волн растяжения и волн сдвига (со скоростями У Х 2[,1)/р, К[17р) в линейно упругой среде. [c.129]

Приведенное исследование выясняет структуры мер деформации F Фингера и Альманзи F i = g. Собственные числа с (Ф) тензора F (с тензора [c.320]

Читатель должен вспомнить, что для того, чтобы преобразование, Q сохраняло скалярное произведение, в некотором векторном пространстве, т. е. для того, чтобы Q(и). Q(v) = U-V V U. V, необходимо и достаточно, чтобы Q было тензором, удовлетворяющим условию (4). Из (4) сразу видно, что det Q = 1. Если det Q = -f-1, то Q представляет собой поворот. Произвольный ортогональный тензор представляет собой либо поворот, либо произведение поворота на центральную инверсию —I, г. е. Q = R, где R —поворот, причем (вещественными) собственными числами Q могут быть лишь 4-1 и —1. Если, как мы везде предполагаем, dim F = 3, то 1 является собственным числом для любо.го R и соответствующее характеристическое пространство для него одномерно, за исключением случая, когда R=l, Последнее утверждение — это знаменитая теорема Эйлера любой отличный от тождественного поворот около некоторой точки является в действительности поворотом вокруг некоторой однозначно определенной прямой. [c.35]

Упражнение 1.11.2. Доказать, что градиент не зависящего от системы отсчета скаляра есть не зависящий от системы отсчета вектор что собственные числа, след и определитель не зависящего от системы отсчета тензора являются не зависящими от системы отсчета скалярами что собственные векторы такого тензора являются не зависящими от системы отсчета векторами что скалярное произведение двух не зависящих от системы отсчета векторов является не зависящим от системы отсчета скаляром и что тензорное произведение и внешнее произведение не зависящих от системы отсчета векторов являются не зависящими от системы отсчета тензорами. [c.59]

Прежде всего, поскольку тензор U симметричен, он имеет по крайней мере одну ортогональную тройку главных осей эти оси называются главными осями деформации ) в точке X в отсчетной конфигурации x(i ). Точно также и V имеет ортогональную тройку главных осей, которые называются главными осями деформации в точке X в актуальной конфигурации х ( > О - В силу (2) и и V имеют общие собственные числа. Действительно, если Bj — собственный вектор тензора U, соответствующий собственному числу Vi, то [c.100]

Поэтому, если 5 имеет различные собственные числа, то он не коммутирует ни с одним антисимметричным тензором, отличным от 0. Если а = Ь Ф с, то % коммутирует с У тогда и только тогда, когда у = г = 0. Если а = Ь = с, то 5 коммутирует со всеми У. [c.204]

Пусть аь й2,. .., йт—различные собственные числа тензора А с соответствующими им единичными собственными-векторами еь 2..... т>, т п. Векторы е,- представляют собой [c.271]

Инвариантные подпростраиства, проекторы, собственные векторы, собственные числа. Если тензор Ь отображает некоторое подпространство в себя, то говорят, что это подпространство инвариантно относительно Ь. Для каждого тензора Ь инвариантными подпространствами служат всё пространство, тривиальное подпространство 0 , образ Ь и ядро L. Кроме того, Ь может иметь и,другие инвариантные подпространства. [c.507]

Для любого числа / ядро тензора Ь — Л является инвариантным подпространством для Ь. Оно называется собственным подпространством тензора Ь, отвечающим числу /, а его размерность —/срагяость/о числа I для Ь. Число I называется собственным числом (нли собственным значением) тензора Ь, если выполнено одно нз приводимых ниже эквивалентных условий (а тогда и рде они) [c.507]

II. Спектральное разложение симметричных тензоров. Каждый симметричный тензор 8 имеет по крайней мере одно собственное число. Фактически наименьшее и наибольшее собственные числа 5тщ и 5та4 являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции и 8и, рассматриваемой лишь на множестве всех единичных векторов. Каждый характеристический корень симметричного тензора есть действительное число и потому яв- ляется собственным числом. Собственные подпространства симметричного тензора попарно ортогональны. Любой вектор можно представить как линейную комбинацию векторов, каждый из которых принадлежит одному (и, разумеется, только одному, если это не 0) собственному подпространству тензора 8. [c.509]

В предыдущем разделе мы рассматривали некоторые общие свойства мод диэлектрического волновода и, в частности, получили решения для локализованных мод, распространяющихся в волноводном слое. Волноводные моды могут быть возбуждены и распространяться вдоль оси (г) диэлектрического волновода независимо друг от друга при условии, что диэлектрическая проницаемость е(х, у) = е п (х, у) сохраняется постоянной вдоль оси z. В случае когда имеется возмущение диэлектрической проницаемости Де(г, v, z), обусловленное несочершенствами волновода, искривлением оси, наличием гофра на поверхности и т. п., собственные моды оказываются связанными между собой. Иными словами, если на входе волновода возбуждается чистая мода, то некоторая часть ее мощности может перейти в другие моды. Существует большое число экспериментов и устройств, в которых намеренно создают взаимодействие между такими модами [2—5, 7]. Два типичных примера относятся к преобразованию мод ТЕ ТМ электрооптическими методами [4, 5], с помощью акустооптического эффекта [2] или взаимодействия прямой и обратной мод из-за наличия гофра на одной из границ волновода. В данном разделе для описания такого взаимодействия мод мы используем теорию связанных мод, развитую в гл. 6. Некоторые из важных результатов можно кратко описать следующим образом. Возмущение диэлектрической постоянной представляется небольшим возмущающим членом Ле(х, у, г). Тогда тензор диэлектрической проницаемости как функция пространственных координат запишется в виде [c.459]

Оставим в рассмотрении только две системы координат траекторную OX Y Zk и связанную систему OXYZ. Переход от траекторной к связанной системе можно осуществить с помощью трёх углов Эйлера (рис. 1.1) угла скоростного крена 7 (прецессия), пространственного угла атаки (нутация) и угла аэродинамического крена Lpn (собственное вращение). Связанная система координат OXYZ в общем случае не является главной, и геометрия масс определяется шестью компонентами тензора инерции тремя осевыми моментами инерции 1х, 1у, Iz и тремя центробежными 1ху, lyz, Ixz- Имеет смысл, не нарушая общности, сократить число центробежных моментов инерции за счёт поворота связанной системы координат вокруг одной из собственных осей. Обозначим в качестве исходной связанную систему OX Y Z, в которой все шесть компонентов тензора инерции не равны нулю, и повернём её вокруг оси ОХ на некоторый угол % Положение произвольной точки в полученной в результате поворота новой системе координат OXYZ определяется по следующим формулам [c.29]

Вместе с тем в рамках этой теории исследовались, как правило, задачи о предельном равновесии, т. е. начале пластического течения. Получено ограниченное число решений задач с учетом изменения геометрии тела, собственно, о пластическом течении задачи о внедрении клина в полупространство, раздавливании клина плоским штампом [1-3], одноосном растяжении плоского [4] и цилиндрического [5] образцов, растяжении полосы с V-образными вырезами [6]. На основе этих решений в работах [7-9] получен определенный класс решений контактных задач для тел произвольной формы с учетом изменения геометрии свободной поверхности. При решении таких задач деформации тел оценивались визуально по искажению прямоугольной сетки. Более точное описание процесса деформирования требует использования в качестве меры деформации тензорных характеристик (тензора дисторсии, тензора конечных деформаций Альманси и т.п.). Решение задач с учетом изменения геометрии особенно необходимо при расчете деформаций в окрестности поверхностей разрыва скоростей перемещений и других особенностей пластической области. [c.762]

Из этого раг.енства видно, что главные оси О одновременно являются главными осями О. а коэффициенты являются собственными числами О и, следовательно, е1о инвариантами. По доказанному выше они представляют собой и инварианты тензора О. Отметим теперь следующее важное свойство собственных чисел / . Если два каких-либо собственных числа тензора О совпадают, то совпадают и соответствующие собственные числа тензора О. Действительно, пусть собственные числа О, скажем, дх и < 2> совпадают. Тогда к группе симметрии принадлежит, например, ортогональный тензор [c.461]

Значит, этот тензор принадлежит и к группе симметрии О, что возможно тогда и только тогда, когда ( 1 —( 3. Немного расширяя это рассуждение, убеждаемся, что число различных собственных значений О не превосходит числа различных собсгвенных значений О. Теперь теорема становится очевидной. Для ее доказательства достаточно выразить диады е/,е/,. через сам тензор [c.461]

Тензор О как ортогональный тензор над трехмерным векторным пространством имеет одно и только одно (вещественное) собственное число, равное либо -Ь1, либо —1, причем если 0=7 1, то соответствующее собственное подпространство одномерно. Это одномерное собственное подпространство тензора 0(/) называется осью вращения в момент времени t при рассматриваемой замене системы отсчета. Либо О, либо — О являются поворотом, т. е. ортогональным тензором К с с1е1Я =) [c.49]

Здесь, конечно. Со обозначает С при = О и Q(0)= 1. Такие движения были введены в рассмотрение Колеманом и были названы им материально застойными (substantially stagnant). В таком движении наблюдатель, расположившийся на движущейся частице, может выбрать свою систему отсчета таким образом, чтобы видеть за собой всегда одну и ту же предысторию деформации по отношению к текущей конфигурации. Собственные числа тензора i(s) те же, что и у o(s), хотя главные оси одного тензора могут произвольным образом поворачиваться относительно осей другого. Таким образом, хотя главные относительные растяжения могут изменяться со временем t, это происходит таким образом, что их предыстории вплоть до момента t остаются неизменными [c.201]

Теперь докажем следствие Вана, разобрав ряд отдельных случаев. Допустим сперва, что собственные числа тензора А] различны. Если тензорам А], Аг, Аз могут соответствовать два движения с постоянными предысториями главных относитель-ньпс растяжений, то в силу (15)4,6 существуют также тензоры N и N. что [c.204]

Поскольку ф,- — функш1я собственных чисел тензора А и поскольку QAQ имеет те же самые собственные числа, что и А, то (4) удовлетворяется. [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...