Неподвижные точки периодических движений

Неподвижные точки периодических движений [c.86]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Исследование бифуркаций периодических движений несколько сложнее, чем состояний равновесия, и получаемые при этом результаты многообразнее. Прежде всего заметим, что изучение части из них может быть сведено к исследованию бифуркаций неподвижных точек преобразования. Это те бифуркации, при которых точечное отображение Т секущей S продолжает существовать в некоторой фиксированной окрестности неподвижной точки О, несмотря на бифуркацию периодического движения (рис. 7.10), [c.257]

Если отображение Т — это отображение, порождаемое фазовыми траекториями, близкими к периодическому движению Г на секущей поверхности S, то первой из описанных бифуркаций устойчивой неподвижной точки соответствует мягкий режим удвоения периода колебаний. Поясняющие этот процесс фазовые картинки в трехмерном случае представлены на рис. 7.П. Как меняются при этом осциллограммы колебаний, изображено на рис. 7.12. При этом Г изображает родившееся движение удвоенного по отношению к периоду прежнего периодического движения Г Ч Периодическое движение переходит в На секущей поверхности S неподвижная точка переходит в О и при этом одновременно рождается цикл двукратных неподвижных точек (О, , 0.у ). На секущей поверхности S стрелками изображается отображение Т . Для отображения [c.259]

Применим теперь полученные сведения к первоначальной задаче исследования бифуркаций периодических движений. Для этого достаточно иметь в виду, что неподвижной точке О" соответствует периодическое движение рр+1, 9+1 а замкнутой инвариантной одномерной кривой Г/1+1. q — инвариантная двумерная тороидальная поверхность Поэтому, в частности, первая из бифуркаций [c.261]

В силу этого, поток фазовых точек (обозначенный на рис. 7.24 стрелкой А) разделяется на идущий вокруг петли О МпО - и идущий внутрь нее. Часть потока, попавшая внутрь петли, в свою очередь разделяется на поток, идущий к неподвижной точке 0 , соответствующей устойчивому периодическому движению и выходящий [c.272]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

В фазовом пространстве х, у, т циклу устойчивых -кратных неподвижных точек соответствует устойчивое периодическое движение периода 2nq (рис. 7.96), успевающее за это время р раз обернуться по переменной ф. Напомним, что у соответствующего периодического движения автономной системы происходит один оборот по ф за время, равное 2np/q, и что 2л — период внешнего воздействия. [c.351]

Отображение (32,1) дает альтернативный способ определения характера течения вблизи бифуркации. Самому периодическому движению отвечает неподвижная точка преобразования [c.170]

Рассмотрим сначала состояние покоя, когда лента не движется. Будем иметь в виду, что тело занимает такое положение (а) на ленте, при котором пружина не напряжена. Пусть теперь лента пришла в движение тело вследствие наличия силы трения между ним и лентой (сухое трение см. рис. 17.34) увлекается лентой (захватывается лентой). Происходит натяжение пружины и, когда усилие в пружине по величине достигает значения силы трения, происходит срыв — проскальзывание тела относительно ленты (позиция, в которой происходит срыв, отмечена на рис. 17.96 точкой 6). Под воздействием натяжения пружины тело перемещается в сторону неподвижной точки закрепления пружины, т. е. в сторону, противоположную движению ленты. Однако тело не достигает своего исходного положения а, поскольку до этого — к моменту, когда тело окажется в положении с, вновь вследствие наличия трения происходит захват тела лентой. Далее ситуация повторяется и, таким образом, тело совершает колебания между позициями бис. Колебания получаются периодическими незатухающими вследствие того, что в колеблющуюся систему (тело и пружина) поступает энергия извне — со стороны движущейся ленты. Это поступление обусловлено наличием трения между телом и лентой. При отсутствии движения ленты не было бы никаких колебаний. В описанной системе нет внещней вынуждающей силы, не зависящей от колеблющейся системы. [c.226]

Следствие. Неподвижная точка оператора А совпадает с периодическим предельным режимом движения машинного агрегата [c.66]

Отыскание неподвижных точек преобразования полуплоскости Л + или Л и исследование их устойчивости, проводимые обычным образом [10], [13], приводят к исследованию некоторого характеристического уравнения х (2) = О 117]. Устойчивому периодическому движению соответствуют корни уравнения, модуль которых меньше единицы. Следовательно, при изменении параметров системы со, и р устойчивость нарушается, когда 1 2 = 1. В пространстве параметров этому соответствуют поверхности Nи N , уравнения которых получаются из условия X (4 = О подстановкой Z = +1, 2 = —1 И 2 = е Ч [11 ]. Однако основной периодический режим нарушается не только из-за потери устойчивости. Другая возможная бифуркация происходит на поверхности g, соответствующей попаданию неподвижной точки преобразования на край пластинки скользящих движений А . Подробное исследование показало [17], что бифуркация на С3 происходит раньше, чем теряется устойчивость, и основной режим возможен, если [c.238]

Предельных циклов. Пусть периодическому движению соответствует т-кратная неподвижная точка М. Рассмотрим некоторую точку Мо в окрестности точки М И воздействуем на нее оператором точечного отображения T . Тогда получим точку На точку Ml снова подействуем оператором Г и получим точку и т. Д. Если предельный цикл асимптотически устойчив, то [c.93]

Когда в системе отсутствует обратная связь 5 = 0, на плоскости ( ) = О пластинка скользящих движений стягивается в прямую L и, г) = О и неподвижной точки на ней не существует Если при этом демпфирование мало (О -й Л 1), то отрезок А (А — 1)"1 г Л (1 — Л) прямой L (и, г) = О является устойчивым отрезком покоя Если коэффициент обратной связи В отрицательный при S<0, Л + В — 1>0, то в системе (24) существует периодический режим движения, который соответствует устойчивым незатухающим колебаниям (автоколебаниям). [c.183]

Периодическое движение асимптотически устойчиво, если выполняются неравенства (31). Как и в случае отсутствия зоны нечувствительности (ifo = 0), первое неравенство не выполняется, и, следовательно, неподвижная точка М (и соответствующее ей периодическое движение без участков скольжения) будет неустойчива. [c.185]

Один из атомов примем за неподвижный. С ним свяжем начало отсчета расстояния между атомами. График потенциальной энергии взаимодействия двух атомов в функции расстояния между ними х) представлен на рисунке 6.18. Из графика видно, что при полной энергии Е = U мин рассматриваемый атом находится в покое (на дне потенциальной ямы). При Е Е <.Q рассматриваемый атом относительно неподвижного атома совершает периодические движения между точками с координа тами Xi и Х2 (рис. 6.18). При Е = 0 данный атом удаляется от неподвижного атома на бесконечно большое расстояние (покидает его). В бесконечности кинетическая энергия атома равна нулю (Г<х> = 0). [c.154]

Все сказанное до сих пор аналогично тому, что имело место для состояния равновесия бифуркационные поверхности Л +i и N4, неподвижной точки аналогичны бифуркационным поверхностям No и Na состояния равновесия, а бифуркационная поверхность N-1 является новой. Однако возможные бифуркации периодического движения этим не исчерпываются. Бифуркация периодического движения Г возможна еще за счет его исчезновения, происходящего по трем сценариям Г теряет замкнутость, уходя в бесконечность, на Г появляется состояние равновесия, Г стягивается в точку. Других возможностей нет, точнее, нет других возможностей прекращения существования периодического движения Г, не сопряженных с переходами через поверхности iV+i, N i и Л ф. Рассмотрим каждый из трех сценариев в отдельности. [c.110]

При рассмотрении бифуркаций неподвижных точек и периодических движений были выделены, но оставлены без внимания особые случаи типа с значениями ф = 2я/3 и ф = л/2 коразмерности 2. Рождение двумерного тора при общей бифуркации типа Л ф п бифуркация удвоения типа Л 1 (ф = я) были обнаружены в 1959 г. [259, 260]. Рассмотрение особых бифуркаций [c.117]

В заключение этого параграфа подытожим утверждения установленных в нем теорем, в таблице бифуркаций неподвижных точек и периодических движений (см. табл. 2). Смысл формул бифуркаций и данных ее столбцов аналогичен тому, что было в приводимой ранее таблице бифуркаций состояний равновесия. [c.119]

Покажем на примере, что если / х) — однозначная функция, то периодические движения в системе возможны тогда, когда уравнение (6.1) хотя бы в некоторых точках не определяет движения системы или теряет смысл для каких-либо значений переменных. В качестве такого примера рассмотрим теорию механических релаксационных (разрывных) колебаний, данную Хайкиным и Кайдановским [91. Колодка малой массы тп насажена с большим трением на равномерно вращающийся вал и соединена с неподвижной станиной при помощи пружины (рис. 6.3). Уравнение движения колодки при условии, что т — О, имеет вид [c.216]

В 3,3 мы рассмотрим линеаризованное движение и его устойчивость в окрестности неподвижных точек. Для иллюстрации применения этих методов к системам с дву.мя степенями свободы в 3,4 рассматривается модель ускорения Ферлш, описываемая с помощью отображения. Неподвижные точки (периодические решения) и их устойчивость исследуются аналитически и сравниваются с численными результатами. Получена также гамильтонова форма отображения. Наконец, в 3,5 рассматривается задача о движении маятника под действием периодического возмущения в окрестности сепаратрисы, Производится переход от уравнений Гамильтона к отображению и рассмотрен характер линеаризованного движения. Такой подход был использован Чириковым [70] при анализе перехода от регулярного к стохастическому движению. Этот метод будет изложен в гл. 4. Он применяется также при оценке скорости диффузии Арнольда в гл, 6. [c.176]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

Из этого факта следует, что динамическая система, определяемая точечным отображением плоскости в плоскость с простейшими установившимися движениями и некратными неподвижными точками, может быть описана дифференциальными уравнениями второго порядка тогда и только тогда, когда ее сепаратрисные кривые седловых неподвижных точек не взаимопересекаются. Заметим, что требованию некратности можно всегда удовлетворить, заменяя отображение некоторой его степенью. На рис. 7.105 приведены точечные отображения с простейшими установившимися движениями. У одного из них сепаратрисные инвариантные кривые седловых неподвижных точек не пересекаются, и оно может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка, причем без периодических движений. У второго такие пересечения имеются, и оно уже не может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка. [c.360]

Соотношение (139) определяет отображение в себя секущей полупрямой ф = О, ф > 0. Зто Отображение можно представить графически (рнс 15) Точка пересечения графика с биссектрисой определяет неподвижную точку преобразования (139) ф = ф. которой соответствуют периодические лебаиия балансира, поскольку при этом зиачеини ф точки М и совпадают, т. е. М =я Af ея М (О, ф ) Из графика следует, что всякая другая фазовая траектория асимптотически приближается к найденному периодическому движению Действи- [c.93]

После перехода точки плавления ко иичество смещенных атомов и вакансий возрастает так резко, что правильность размещения атомов в узлах решетки нарушается. Однако и после разрушения решетки у жидкого металла сохраняется, по крайней мере вблизи точки плавления, тот же характер колебательных движений атомов. Разница будет лишь в тоМ, что центры этих колебаний уже не неподвижны, а периодически перемещаются. [c.37]

Качественное поведение отображения (3.1) в окрестности неподвижной точки О определяет поведение фазовых траекторий вблизи замкнутой кривой Г, отвечающей периодическому движению. При этом точке О отвечает замкнутая фазовая траектория Г, инвариантным многообразиям S" " и S размерностей р vi q неподвижной точки — интегральные многообразия S и S размерностей р + и q+i периодического движения Г. В соответствии с этим числа р -1- 1 и q + i определяют тип периодического движепия Г, что будет отмечаться записью вида По ин- [c.109]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...