Детерминанты (определение)

Третий инвариант 1Пл, или детерминант тензора, является еще одним примером изотропной скалярной функции. Он может быть определен следующим образом. Пусть заданы три некомпланарных вектора рассмотрим объем параллелепипеда, построенного на этих трех векторах. Затем рассмотрим три вектора, полученных из трех заданных путем воздействия на последние тензора А, и вновь вычислим объем параллелепипеда, построенного на трех преобразованных векторах. Отношение этого объема к объему первоначального параллелепипеда и дает величину детерминанта тензора А. Считается, что знак детерминанта положительный, если упорядоченность поворотов трех векторов сохраняется после воздействия тензора, и отрицательный — в противном случае ). Можно показать, что определенная таким образом величина детерминанта не зависит от выбора тройки векторов и определяется только тензором А. [c.28]

Раскрывая квадрат последнего детерминанта, группируя члены и используя определения моментов инерции, получим [c.174]

Подставив решение (ж) в соотношения (е) при у = Ь, получим два однородных линейных уравнения относительно постоянных Л и В. Детерминант этих уравнений, приравненный нулю, представляет собой уравнение для определения минимальной критической силы — min Nx [c.191]

Подставляя значения (а) и (б) в уравнения (в) и приравнивая нулю детерминант из коэффициентов при неизвестных А, В, С, D, получаем трансцендентное уравнение для определения параметра у. [c.320]

Получим четыре уравнения для определения четырех неизвестных P v, I, т, п. Так как направляющие косинусов I, т, п не могут одновременно быть равны нулю, решение уравнения возможно при равенстве нулю его детерминанта [c.10]

Эта однородная система имеет нетривиальное решение лишь при определенных значениях параметра нагрузки, обращающих в нуль детерминант системы. [c.418]

Здесь два первых уравнения вещественные, а третье комплексное, и поэтому в них содержатся четыре условия. Пятым условием здесь будет условие (4.51), накладываемое на детерминант этого преобразования. Поэтому матрица Q содержит только три независимых величины, т. е. как раз такое число, какое нужно для определения ориентации твердого тела в трехмерном пространстве. [c.128]

Уравнения (4.76) представляют систему трех однородных уравнений относительно составляющих X, У, Z собственного вектора R. Поэтому они определяют эти составляющие лишь с точностью до их отношений. Физический смысл этого состоит в том, что однозначно определенным является только направление собственного вектора, а не его величина, так как при умножении собственного вектора на любую постоянную получается опять собственный вектор. Во всяком случае, будучи однородными, уравнения (4.76) могут иметь нетривиальное решение только тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю. Таким образом, мы получаем уравнение [c.137]

Детерминант фундаментальной системы, согласно определению, равен [c.166]

Обобщая приведенные примеры, приведем следующее определение [105] определителем (детерминантом) п-го порядка (л = 1, 2, 3,. . . ) называется однородный полином п-й степени от переменных [c.15]

Определение 1. Минором k-vo порядка называется определитель М k-ro порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении k строк и k столбцов, выделенных в детерминанте D н-го порядка. [c.18]

Определение 2. Минором [п — k) порядка (дополнительным) называется детерминант УИ, образованный элементами детерминанта п-го порядка после удаления k строк и k столбцов. [c.18]

Используя известную процедуру метода начальных параметров в матричной форме, из краевых условий (4) получим систему двух линейных уравнений относительно начальных параметров 5о и Z o- Коэффициенты этой системы уравнений будут известными функциями величин (5). Обращение в нуль ее детерминанта даст искомое уравнение для определения угловых скоростей прецессии ротора [c.49]

Для определения критических скоростей положим, что демпфирование отсутствует (т1о = 4i = Чг = 0). Тогда Л = Л = О и критические скорости прямой прецессии можно получить, приравняв нулю детерминант системы (35) [c.15]

Далее для определения матричных элементов аг воспользуемся известным выводом (см., например, [3]), согласно которому Ы-я степень матрицы размерности 2x2 с единичным детерминантом равна [c.83]

Система (3.7) порождает класс нестационарных вихревых течений газа. Эти реше ния представляют интерес в следующем соотношении. В газовой динамике опре деленную роль играет класс течений с вырожденным годографом скоростей, когда четырехмерной области определения течения в физическом пространстве Ж2, жз, t соответствует в пространстве щ, U2, щ, в многообразие меньшей размерности. Яс но, что решения (3.9) имеют вырожденный годограф, так как ui и в функционально зависимы. Подсчитывая детерминант [c.175]

Из свойств детерминантов и определения т]у. следует, что [c.142]

Вообще если коэффициенты любой системы линейных уравнений образуют матрицу, в которой число столбцов п больше числа рядов т, то ранг г этой матрицы является максимальным порядком неисчезающих определителей, которые мог т быть образованы из т рядов и п столбцов. Алгебраическая теория утверждает, что (это будет показано ниже) существует единственное решение уравнений из любых г членов при условии, что детерминант, составленный из коэффициентов, не является нулем любой подбор делается для оставшихся членов, неравных нулю. Далее теория утверждает, что здесь имеется только п—г линейных независимых решений это значит, что любой другой подбор оставшихся членов будет просто давать полученные ранее комбинации. Поэтому в общем случае число линейно независимых решений линейных уравнений для степеней размерных величин дает также определенное число безразмерных произведений в целой системе. [c.12]

Термодинамическое определение спинодали и связь с кинетической теорией. Гиббс [14] рассмотрел термодинамические условия, которым должна удовлетворять спинодаль — граница устойчивости однородных состояний вещества относительно непрерывных изменений метастабильной фазы. Для простой системы спинодаль соответствует обращению в нуль детерминанта, составленного из вторых производных внутренней энергии u-u(Siv) по характеристическим переменным [c.108]

Для определения М N получим обычным образом систему алгебраических уравнений. Детерминант О системы И выражения для М, N имеют вид [c.133]

Соответственно, ао = Оо/О где О — детерминант матрицы С, а Оо получается из В подстановкой величин 6/ вместо ее нулевого столбца. Упомянутое выше условие ((Л)) = 0 дает уравнение для определения величины а в (28) как функции константы связи [c.329]

ТОЛЬКО в случае, когда все 7 = 0 (/=1, 2, 5). С другой стороны, если хотя бы одна из этих скоростей отлична от нуля, то Г(2)>0. Итак, форма является положительно-определенной формой от обобщенных скоростей. СлеДовательно, детерминант, составленный из ее коэффициентов, отличен от нуля [48, гл. 1, 6, теорема 3] [c.231]

Система трех уравнений (4.4) сводится к одному нелинейному дифференциальному уравнению типа = Дз Х, V) I, V), алгебраическому соотношению и квадратуре. Здесь X к V — новые функции — представители квадрата скорости звука = ур/д и скорости, определенные через старые функции л,, g, и и автомодельную переменную формулами г — a yл,/gl , V — аи/1, а и Д3 — функции, которые определяются некоторыми детерминантами. [c.241]

Используя (4.107), нетрудно убедиться, что детерминант этой простой матрицы опять равен /1//г. Сравним теперь компоненты этой матрицы с компонентами матрицы переноса в (4.91). Так как матрица переноса связывает заданную выходную плоскость второй линзы с заданной входной плоскостью первой линзы и по определению тонкой линзы координаты этих плоскостей Н" и Я соответственно, необходимо подставить Zl = H и 2г = Я" в (4.91). После ряда упрощений приходим к (4.103), (4.104) и (4.112), так же как и в случае толстых линз. Это означает, что между добавлением в систему толстой или тонкой линзы нет никакой разницы. [c.228]

В термодинамике существует такое множество соотношений между различными частными производными, что не имеет смысла их запоминать. Лучше запомнить лишь термодинамическое тождество (4.3), определения термодинамических потенциалов (4.4) и какое-нибудь правило преобразования одного набора переменных в другой. Одно из них — это составление детерминантов Якоби ). При этом используются следующие два свойства якобианов [c.85]

Грузовой член Д р следует принимать соответственно заданной нагрузке (стр. 189). При определении собственных частот А р=0 и в системе уравнений трёх моментов следует искать условия, когда детерминант равен нулю. [c.190]

Приравнивая к нулю детерминант этой системы уравнений для определения произвольных амплитуд Л и 5, получим дисперсионное уравнение для данного случая [c.76]

При задаиной системе сил Fv эти -равенства представляют собой уравнения для определения Хо, уа, 2q. Детерминант этой системы Л равен нулю [c.118]

Тогда уравнения (13.8.4) линейны и однородны для существования нетривиального решения необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю. Это условие приводит к алгебраическому уравнению степени к относительно Вследствие неравенства Рэлея наименьший корень этого уравнения будет давать верхнюю оценку для которая может только улучшиться с увеличением к. При увеличении к корень уравнения с номером т будет стремиться к величине при этом нельзя сказать сверху или снизу. Доказательство этой теоремы мы не приводим, заметим лишь, что для ее выполнения необходима полнота системы функций fi, т. е. возможность представления любой допустимой системы перемещений Uj в виде (13.3.5). Описанная приближенная процедура определения частот носит название метода Ритца. [c.438]

При раскрытии детерминантов выражений (10) получается ряд, содержащий одинаковые значения индексов при гп, часть которых обращается в нуль, а некоторые из них тождественно равны между собой. На этом основании К. С. Завриев [Л.18] предложил более удобный способ определения коэффициентов Л,. А .. .., Л , согласно которому [c.45]

Детерминант J = J j матрицы J называется якобианом преобразования. Для определения якобиана можно в равной мере пользоваться либо преобразованием (8.5), либо (8.7), однако при чтении других работ (например, книги Фына [3]) важно знать соотношения, принятые автором за основу. [c.208]

Виртуальные МО используются для определения параметров возбужденных состояний методом конфигурационных взаимодействий (КВ). Возбужденные конфигурации получают, рассматривая, кроме дважды занятых спин-орбиталей, две однократно занятые орбитали. Каждая конфигурация описьшается слзйтеровским детерминантом Ф . Для учета КВ полная волновая функция системы представляется в виде линейной комбинации слзйтеровских детерминантов, описывающих учитываемые конфигурации [c.56]

Отличные от нуля решения системы уравнений (29) возможны лишь при определенных нормальных частотах oj, обращающих в нуль детерминант, образованный членами в квадратных скобках (29). Таких мод будет ровно Зге—6. Остальные 6 корней системы уравнений (29) равны нулю, поскольку трансляционные (3 степени свободы) и вращательные (еще 3 степени свободы) движения всех частиц как целого не сопровождаются появлением возвращающих сил. Это положение строго обосновывается в курсах аналитической механики (см., например, [164]), где доказывается, что при определенном выборе линейного преобразования координат в выранче-нии (27) исчезают смешанные произведения qlq) и остаются только Зге—6 квадратичных членов ( ) , здесь — новые координаты. При этом Зге уравнений движения (28) преобразуются в Зге—б уравнений для гармонических осцилляторов, имеющих Зге—б нормальных частот колебаний. Согласно квантовой механике дискретный энергетический спектр каждого осциллятора описывается формулой [c.39]

В практических случаях расчета лучистого теплообмена можно пользоваться различными способами. Если надо провести всестороннее исследование лучистого теплообмена с определением падающих и эффективных лучистых потоков, удобно пользоваться уравнениями, составленными на падающее или эффективное излучение. Наиболее удобно использовать разрешающие угловые коэффициенты. Их определяют решением соответствующих детерминантов. Для сокращения расчетов можно пользоваться свойствами взаимности и замыкаемости. Если все коэффициенты Ф/, а найдены в результате решения детерминантов, то свойства взаимности и замыкаемости можно использовать для проверки расчетов. [c.211]

Для определения энергетических уровней молекулы решалось секулярное уравнение, представленное в нашем случае детерминантом 20 X 20, который может быть факторизован с учетом симметрии молекулы. Плоская молекула I обладает симметрией С,., что позволяет ввести молекулярные орбиты, преобразующиеся по четному [c.36]

Выше отмечалось, что основная задача механики голономных систем становится определенной для класса идеальных связей. Действительно, пусть на систему из N точек наложено к голономных идеальных связей. Число проекций виртуальных перемещений точек на координатные оси, или, иначе говоря, число вариаций координат точек, равно ЗЫ. Так как вариации координат подчинены уравнениям (5.12), то к вариаций являются зависимыми, а ЗК—к вариаций — независимыми. Зависимые вариации могут быть единственным образом выражены через независимые, поскольку детерминант из коэффициентов при зависимых вариациях в системе (5.12) по предположению отличен от нуля (в противном случае среди связей будут такие, которые являются следствием остальных). Учтем далее, что кроме требований голономности связей выполняется требование их идеальности (см. (5.13)). В этом условии к зависимых вариаций с помоиц>ю (5.12) можно выразить через ЗМ—к независимых вариаций. После такой подстановки (для того чтобы удовлетворить требованию идеальности) следует приравнять нулю коэффициенты при независимых вариациях. Тем самым можно получить ЗК—к соотношений между реакциями связей и радиусами-векторами точек. Таким образом, основная задача динамики несвободной системы с голономными идеальными связями является определенной, поскольку число уравнений и число неизвестных функций в этом случае совпадают. [c.206]

Согласно второму началу термодинамики для необратимых процессов (Т > О, и это накладывает определенные ограничения на поскольку квадратичная форма <Т должна быть положительно-определенной. Как известно, эти ограничения сводятся к положительности детерминанта det (I, к = , 2 и)иглавныхминоровматрицы,так что, в частности, все диагональные коэффициенты L.. должны быть положительными. [c.288]

Всякое сооружение, статически определимое, неизменяемое и неподвижное в общем виде, может при нек-ром специальном подборе длины стержней потерять свою неизменяемость или неподвижность, т. е. превратиться в кинематич. цепь. Если эта цепь допускает лишь бесконечно малые перемещения, сооружение называется мгновенно изменяемым. Мгновенно изменяемое сооружение непригодно для практ. целей, так как от действия ничтожно малых внешних нагрузок в нем могут возникать большие деформации и большие внутренние усилия. Система уравнений статики, которая служит для определения всех усилий н реакций такого сооружения, имеет детерминант, равный нулю, и поэтому получает решение неопределенное или бесконечное.Мгновенная изменяемость вскрывается проще всего К. м. нужно удалить одну связь, рассмотреть возможное перемещение полученного механизма и выяснить, противоречит ли удаленная связь атому перемещению если противоречия нет, то данное сооружение несомненно обладает мгновенной изменяемостью. [c.82]

Для определения собственных частот колебаний следует решить детерминант (32). Р асчёт упрощается в случае (весьма частом), когда е = 0. Тогда 8 J = 8 з = О, и для частот получают [c.195]

Доказательство. В силу теоремы о неявных фу 1кциях, очевидно, достаточио показать справедливость (12). В силу условия в) хотя бы один из функциональных детерминантов Dj, D , Dj отличен от нуля. Предположим для определенности, что Ф 0. Тогда в силу предыдущей леммы и Ф 0. Но тогда из двух первых уравнений (3) мы имеем (см. замечание И1 к теореме УП дополнения) [c.550]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...