Функция эллипсоидов вращения

Если ф есть функция двух аргументов 2 иУх -ф [условие, которое в рассматриваемом здесь случае будет выполнено, если эллипсоид (1) есть эллипсоид вращения и а = 6], то интегрирование уравнений (14) приводится к квадратурам. В самом деле, положим [c.186]

Для различных эллипсоидов вращения, в которых две оси равны, интегралы (4.10) можно выразить через элементарные функции. Ниже приводятся полученные результаты (расчеты см. в книге [13]). [c.421]

Вычисления показывают, что для эллипсоидов вращения функция у (5) выпукла вверх и, следовательно, не может иметь наименьшего значения внутри промежутка (5 , s ) (см. ниже формулы (7)). Однако для некоторых выпуклых оболочек вращения это возможно. Действительно, пользуясь соотношениями Кодацци — Гаусса (1.1.3), запишем у (5) в виде [c.91]

Вычислим правую часть уравнения (4.57) для случая, когда s иг — скалярные параметры, уравнение (4.52) имеет вид (4.22), а функция распределения параметра г задана в форме (4.18). Рассмотрим поперечную дисковую трещину (к аналогичным результатам приводит трещина в условиях плоской деформации, краевая трещина ИТ. п.). Представим трещину в виде сильно сплющенного эллипсоида вращения с полуосями, длины которых равны /, / и р . Распределение напряжений около эллипсоидальной полости найдем, используя известное решение задачи теории упругости. Для приближенных оценок можно принять коэффициент концентрации на фронте трещины [c.144]

Эллипсоидальные функций для эллипсоида вращения 175 Отсюда получаем для х 0 после интегрирования по частям [c.174]

Эллипсоидальные функции для эллипсоида вращения где [c.176]

Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать [c.106]

Металлическая сфера эллипсоид вращения. Общим методом, позволяющим для трехмерного металлического тела решать задачи, сформулированные в предыдущем пункте и, в частности, найти рЕ рн, является метод интегральных уравнений. Эти уравнения составляются таким же образом, что и интегральные уравнения в задачах электродинамики, но ядром в них является более простая, чем в электродинамике, функции 1/ г1 — Гг —функция Грина уравнения Лапласа. [c.190]

Эллипсоид вращения (сфероид). Если ось симметрии вертикальна, то в формуле (2.12) следует положить а = Ь. Эллиптический интеграл С в этом случае выражается через элементарные функции. Для вытянутого вдоль оси 2 сфероида (с > а) и для сплюснутого сфероида (с < а) найдем [c.16]

С. В. Ковалевская в начале своей статьи задается вопросом не существует ли еще других случаев движения твердого тела, при которых обстоятельства движения могут быть выражены с помощью функций времени, аналогичных функциям 9, т. е. имеющих особые точки только в форме полюсов. В результате своих изысканий она находит, что подобными функциями может быть разрешен еще один новый случай движения тяжелого твердого тела. В этом случае центр тяжести тела лежит на плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, который должен быть эллипсоидом вращения и должен удовлетворять условию [c.65]

Поскольку решение (3.5.10) при низкой интенсивности вибраций дает для формы капли (пузыря) сплюснутый эллипсоид вращения, в случае конечной интенсивности вибраций можно приближено отыскать минимум функционала (3.5.16), исходя из предположения, что включение сохраняет форму сплюснутого эллипсоида. Тогда эксцентриситет определяется как функция вибрационного параметра В. [c.148]

В. В случае вытянутого эллипсоида вращения на рис 6.5.18 с длинами полуосей а — Ь с фурье-образы функций Грина С ио) — 20з(о ), [c.340]

В таблице приведены величины максимумов и минимумов функции Р., (за) для /г от О до 1,0. Для частиц, имеющих форму эллипсоида вращения, истинный радиус вращения выражается формулой [c.822]

Представим себе, например, что мы хотим превратить эллипсоид инерции твердого тела в эллипсоид вращения, перемещая по жестко закрепленной в теле штанге одну юстировочную массу, так что в нашем распоряжении имеется один параметр. Три главные оси инерции а, Ъ, с будут непрерывными функциями от этого параметра, и на первый взгляд кажется, что при надлежащем [c.393]

Определим энергию и волновые функции квантового движения электрона в простейшем случае, когда поверхность Ферми является эллипсоидом вращения, определенным поперечной т и [c.173]

Однако если две из полуосей равны между собой, т. е. если трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения, то в выражении для R s) под знаком корня остается только двучлен первой степени относительно s, вследствие чего все интересующие нас интегралы делаются легко вычисляемыми и вы-ражаются через простые, элементарные функции. [c.129]

Подставляя эти выражения в формулы (3.38), мы получаем выражения для силовой функции и составляющих силы притяжения однородного сжатого эллипсоида вращения, когда [c.131]

Подставляя эти выражения в формулы (3.38), мы будем иметь выражения для силовой функции и составляющих силы притяжения однородного вытянутого эллипсоида вращения для случая, когда притягиваемая точка находится вне эллипсоида [c.133]

Все эти выражения по необходимости выйдут очень сложными и громоздкими и даже в том случае, когда тело Т есть эллипсоид вращения, т. е. когда силовая функция выражается через элементарные функции, ее выражение оказывается мало удобным и пользоваться им на практике обыкновенно весьма затруднительно. [c.149]

С другой стороны, большие планеты солнечной системы, например, Земля, более близки по форме не к шарам, а к эллипсоидам (вращения или даже трехосным), а поэтому для приближенного представления силовых функций таких тел было бы более естественно использовать функции, имеющие более близкое отношение к эллипсоиду. [c.150]

Функция и = и р,г), и р, —г) = и (р,г), зависит только от двух цилиндрических координат р, г (не зависит от долготы), причем является четной функцией относительно г. Функция 0"(р, I, г, 1) представляет остальную часть функции и. Поскольку силовые функции колец и эллипсоида вращения не зависят от долготы I, отсюда следует, что [c.796]

Значения N для эллипсоидов вращения, как функции отношения ja, графически изображены на рис. 13.6. Значения N [c.470]

Эллипсоид вращения. Для эллипсоида вращения сила сопротивления N будет определяться формулой (10.26), где функция х [c.88]

Различие между одноосными и двуосными кристаллами становится особенно очевидным, если рассмотреть поверхность волновых векторов к (т. е. геометрическое место точек концов к-вектора как функцию направления). Поскольку любой анизотропный кристалл имеет два показателя преломления для двух взаимно перпендикулярных направлений поляризации, волновые векторы всегда образуют две поверхности. В случае одноосного кристалла одна из поверхностей, соответствующая обыкновенной волне, является сферой. Другая поверхность есть эллипсоид вращения. Пересечение этой поверхности с плоскостью рассматривалось в разд. 1.5. Заметим еще раз, что эта поверхность не является оптической индикатрисой. Например, для положительного одноосного кристалла ось z оптической индикатрисы является большей осью, в то время как для поверхности волнового вектора ось z является меньшей осью. [c.35]

Разложение пертурбационной функции. Пусть спутник нулевой массы на рис. 12) движется в поле тяготения планеты, внешняя поверхность которой имеет форму уровенного эллипсоида вращения. Сжатие планеты и ее угловую скорость можно считать малыми величинами. Потенциал уровенного эллипсоида на внешнюю [c.177]

Как известно, коэффициенты т можно выразить через эллиптические интегралы, а в том случае, если исходные включения — эллипсоиды вращения или бесконечные эллиптические цилиндры — через элементарные функции. Кроме того, при любых параметрах 1. [c.124]

Обратимся к регулярной прецессии в случае Эйлера, полагая, что эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. Пусть Л = В, следовательно, ось вращения эллипсоида совпадает с осью 2. Решение можно получить из общих формул — эллиптический интеграл (6.73) может быть выражен через обратные тригонометрические функции. Однако полезно найти решение непосредственно. [c.396]

Если центр тяжести тепа совпадает с неподвижной точкой, а эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, (у4 = 5 С), то уравнения Эйлера интегрируются в элементарных функциях. Это частный случай первого из трех, отмеченных выше. [c.198]

Случай регулярной прецессии имеет место, когда эллипсоид инерции есть тело вращения. В этом случае интегрирование уравнений движения выполняется в элементарных функциях. [c.190]

Пусть вдоль оси 0 исследуемого перманентного вращения расположена большая или малая ось эллипсоида инерции. Поскольку величины А, В и С обратно пропорциональны квадратам осей эллипсоида инерции, это означает, что А а В, С или А>В, С. Возьмем в качестве функции Ляпунова функцию [c.211]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Расчеты проводились для тел различной формы сферы, эллипсоидов вращения, сегментальных тел с аналитическим скруглением, эллиптических профилей и составных цилиндро-конических тел большого удлинения. Для выяснения точности определения параметров а и задач были проведены специальные расчеты нестационарного обтекания сферы. Результаты проверки выполнения равенств (5.27)-(5.30) для варианта М о = 3, / о = = О, жо = —0,2 приведены на рис. 5.1. Кружками обозначены значения искомых функций, полученные дифференцрфованием газодинамических параметров стационарного обтекания. Анализ расчетов при /Зо = О и Mqq = = 2,54-20 показал, что ошибка в определении величин не превышает 1 %, [c.75]

Если эллипсоид инерции относительно неподвижной точки яв-яется эллипсоидом вращения (независимо от того, будет этот ллипсоид сплюснутым или вытянутым), то интегрирование урав-ений движения в случае Эйлера — Пуансо доводится до конца элементарных функциях. [c.411]

Методы решения задачи об обтекании удлиненных тел произвольного поперечного сечения сходны с методами, используемыми для тел вращения. Ф. И. Франкль и И. И. Этерман (1944) предложили метод расчета для тел, близких к удлиненным эллипсоидам вращения. На эллипсоиде вращения решается краевая задача с помощью обобщенных функций Лежандра (шаровых функций). Для поверхности более общего вида с резкими изменениями формы как продольных, так и поперечных сечений можно использовать распределение по поверхности особенностей. Краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для его решения в настоящее время с успехом используются быстродействующие вычислительные машины. В посвяще нной этому вопросу работе Л. А. Маслова (1966) интегральное уравнение решается методом последовательных приближений и удается с хорошей точностью рассчитать тела сложной формы, такие как фюзеляжи самолетов и вертолетов с различными надстройками и т. п. [c.91]

В случае эллипсоида вращения аналитические функции допускают разложения по полиномам и функциям Лежандра Р (С/с), QJV ), i PniW ), (п- [c.253]

Полезно еще иметь выражение для силовой функции однородного сжатого эллипсоида вращения, получающееся из общей формулы Дирихле (3.36) при Ь = а [c.132]

Случай 4. Эллипсоид вращення. В качестве последнего примера найдем разложение силовой функции эллнпсои- [c.246]

Подобным же образом получим и разложение силовой функции однородного вытянутого эллипсоида вращения. Так как ось вращения есть ось Oz, то уравнение внешней поверхности тела напишется в виде [c.250]

Притяжение сфероидов и эллипсоидов имело основное значение при рассмотрении возможных фигур равновесия вращающихся жидкостей. Причина, конечно, та, что условия для равновесия включают составляющие притяжения. В 1742 г. Маклорен доказал, что при медленном вращении фигурой равновесия является сжатый сфероид, эксцентриситет которого есть функция скорости вращения и ллотностн жидкости. На самом деле имеется две таких фигуры для медленного вращения одна почти сферическая, а другая сильно сжатая. При более быстром вращении фигуры приближаются к одинаковой форме для известной большей [c.131]

На рис. 3.23 приведен эллипсоид вращения под углом атаки 15° с нанесенной на поверхность координатной сеткой (вид сбоку в плоскости XY). Решение получено во всей области вплоть до линий отрыва , которая проходит через отрезки координатных линий, обведенных жирной линией. На рис. 3.24 приведены значения функции E = ulue в зависимости от X при различных в плоскостях Г1 = 0, я/2, п. Пограничный слой является обычным по поведению профиля продольной составляющей скорости, составляющей трения. На рис. 3.25 приведены профили G — поперечной составляющей [c.186]

Деформация капель, движущихся в газе при больших числах Рейнольдса. В [128] исследована зависимость деформации капли от числа Вебера и интенсивности вихря внутри капли. Было показано, что форма капли близка к сплюснутому эллипсоиду вращения с отношением полуосей х > 1. При отсутствии вихря внутри капли эта зависимость согласуется с функцией Уе(х), приведенной в (2.8.3). При увеличении интенсивности внутреннего вихря х уменьшается. Поэтому движущиеся в газе капли имеют деформацию значительно меньшую по сравнению с пузырями при одном и том же числе Вебера Уе. Величина вихря внутри эллипсоидальной капли, как и у вихря Хилла, пропорциональна расстоянию 71 от оси симметрии [c.87]

Если а <С О, что может иметь место, если разности J3 — /2 и /з — Л имеют противоположные знаки, т. е. ось Сг является средней осью эллипсоида инерции, то решения уравнений (8) выражаются через показательные функции, и при достаточно большом t угловые скорости и м , могут слелаться сколь угодно большими. В этом случае вращение вокруг оси Сг неустойчиво. [c.598]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...