Кватернионы Гамильтона

ДЛЯ изучения общих свойств произвольного преобразования Лоренца. Кватернион Гамильтона определяется как гипер-комплексное число вида [c.345]

Понятие вектора как объекта самостоятельного исчисления, называемого в настоящее время векторной алгеброй, было введено В. Р. Гамильтоном в Лекциях о кватернионах . Гамильтон рассматривал векторы как частные случаи кватернионов [c.338]

Обращаем внимание читателей, что это относится к сложению угловых скоростей, но не конечных вращений. Сложение вращений происходит не по правилам векторного исчисления, а по правилам введенного Гамильтоном исчисления кватернионов. Результат сложения двух конечных поворотов зависит от их последовательности и их нельзя менять местами. [c.210]

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

Хотя в то время, когда Гамильтон создавал свою теорию кватернионов, идея о четырехмерной вселенной была еще не известна, его кватернионы исключительно удобны [c.344]

Английский математик и механик. Гамильтон внес большой вклад в развитие вариационных принципов механики. Построил систему комплексных чисел, так называемых кватернионов [c.209]

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых величин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчисления кватернионов — своеобразной системы чисел, представляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов. Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — векторами (термин, введенный Гамильтоном и получивший широкое распространение в физике, механике и техниче ских науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление за- [c.210]

Однако Гамильтон и Мёбиус не рассматривали годографы с этой точки зрения (которая, очевидно, имеет более недавнее происхождение) они нашли и использовали замечательные свойства годографов как средство геометрического выражения динамических связей, определяющих траекторию в небесной механике. Интересно отметить математическую сторону вопроса работа Гамильтона опиралась на дифференциальные соотношения,ВТО время как Мёбиус использовал для наглядности отображения метод конечных разностей. В частности, Гамильтон пришел к понятию годографа естественным путем в результате своей классической работы по кватернионам [4]. Как следствие вполне объяснимый энтузиазм Гамильтона по поводу потенциальных возможностей годографов привел его к открытию множества фундаментальных теорем, которые имеют широкое применение в задаче двух тел. Общая теория годографов космических траекторий остается справедливой для движения в присутствии любых произвольно заданных притягивающих центров и для любых ускорений от приложенных сил (например, от силы тяги бортового двигателя или от сил атмосферного сопротивления). [c.41]

Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью со. Начальное положение тела относительно некоторой системы отсчета Ж1, Ж2, Жз определяется кватернионом Л(0). Найти текущие значения параметров Родрига-Гамильтона, если проекции вектора со на оси Ож1, 0x2 и Ожз постоянны. [c.45]

Параметры Родрига-Гамильтона искомого кватерниона 10 = OS (е/2)соз е/л/2) + (l/ /2)sin (0/2)sin(0/- /2), [c.307]

Кватернион i/Л задан в базисе 7 и не является собственным кватернионом преобразования. Для того чтобы найти требуемые параметры Родрига - Гамильтона, необходимо найти отображение кватерниона dl. на базис Е [c.470]

Установлению М. у. предшествовал ряд открытий законов взаимодействий заряженных, намагниченных и токонесущих тел (в частности, законов Кулона, Био — Савара, Ампера). В 1831 М. Фарадей (М. Faraday) открыл закон эл.-магн. индукции и примерно в то же время ввёл понятие электрич. и магн. полей как само-стоят. физ, субстанций. Опираясь на фарадеевское представление о поле и введя ток смещения, равнозначный по своему магн. действию обычному электрич. току, Дж. К. Максвелл (J. С. Maxwell, 1864) сформулировал систему ур-ний, названную впоследствии ур-ниями Максвелла. М. у. функционально связывают электрич. и магн. поля с зарядами и токами и охватывают собой все известные закономерности макроэлектромагнетизма. Впервые о М. у. было доложено на заседании Лондонского Королевского общества 27 окт. 1864. Первоначально Максвелл прибегал к вспомогат. механич. моделям эфира , но уже в Трактате об электричестве и магнетизме (1873) эл.-магн. поле рассматривалось как самостоят. физ. объект. Физ. основа М. у.—-принцип близкодействия, утверждающий, что передача эл.-магн. возмущений от точки к точке происходит с конечной скоростью (в вакууме со скоростью света с). Он противопоставлялся ньютоновскому принципу дальнодействия, сводящемуся к мгновенной передаче воздействий на любое расстояние (с - оо). Матем. аппаратом теории Максвелла послужил векторный анализ, представленный в инвариантной форме через кватернионы Гамильтона. Сам Максвелл считал, что его заслуга состоит лишь в матем. оформлении идей Фарадея. [c.33]

Историческая роль этой работы двоякая. Во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного ночисле-ния. Во-вторых, теория кватернионов Гамильтона является одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умножения. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике. [c.211]

Наряду с кватернионами Гамильтон определил также бикватернионы , т. е. кватернионы (1), координаты а, Ь, с, которых являются комплексными числами А + В1, перестановочными с кватерниопными единицами i, j, к il — и и т. д.). Приставка би ( двойной ) указывает на то, что бикватернион задается не четырьмя, а восемью действительными числами. [c.339]

Были сделаны многочисленные попытки (Гросман, Гамильтон) построить более сложные комплексные числа т. о., чтобы действия над ними сохраняли законы обычных арифметических операций. Это однако оказалось невозможным. Различные системы так наз. гиперкомплексных чисел построены, но действия над ними всегда в том или ином отношении отличаются от действий над обыкновенными числами. Наибольшее значение имеюг т. наз. кватернионы Гамильтона, приведшие к современной теории векторов (см. Векторное исчисление). Кватернионы—гиперком-плексные числа с 4 независимыми единицами 1, i, j, к. Общий вид кватерниона q = d га jb + кс [c.379]

В. Р. Гамильтон родился в Дублине в 1805 г., умер в Дунсинке в 1865 г., был профессором астрономии Дублинском университете и президентом Ирландской академии. Изобрел метод кватернионов, представляю щий собой алгоритм полного и систематического геометрического исчисления. Под влиянием трудов Гамильтона, Грассмана и Бсллавитиса возникло менее полное, но более элементарное понятие о векторах, которое теперь всюду в употреблении. Классическими являются и вклады Гамильтона в геометрическую оптику, в дифференциальную геометрию систем прямых, в теорию уравнений с частными производными и в аналитическую механику, на основе которой он построил теорию распространения света. [c.240]

Для исследования параметров движения различных механических систем применяют также гиперкомплексное представление величин при п = 3 или так называемое исчисление кватернионов, введенное в математику знаменитым ирландским математиком Вильямом Роаном Гамильтоном (1805—1865) [134]. Это исчисление было призвано заполнить пробел в векторном исчислении, для которого не определена операция деления. Отсутствие операции деления в векторном анализе весьма ограничивает возможности его применения при решении всевозможных задач нелинейной механики, геометрии и других отраслей науки. [c.9]

Гамильтон с большой глубиной и иодробностыо разработал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он носвятил почти целиком последние двадцать два года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием Лекции о кватернионах . [c.211]

Второй подход при построении алгоритма ориентации базируется на использовании промежуточных параметров ориентации. При создании БИНС наиболее часто в качестве таковых используются параметры Родрига-Гамильтона (кватернионы). Матрица пересчета из связанной в географическую систему координат получается путем перемножения двух матриц, из которых одна пересчитывает из связанных в инерциальные оси, вторая — из инерциальных в географические. Каждая из двух матриц вычисляется на основе параметров Родрига-Гамильтона, которые в свою очередь определяются численным алгоритмом второго порядка, построенным на основе метода поеледовательных приближений Пикара [c.89]

Векторное исчисление впервые возникло благодаря потребностям механики и физики. Понятие векторной величины в механику ввел, по-видимому, голландский математик и инженер Стевин, установивший закон сложения сил по правилу параллелограмма, хотя аналогичный закон сложения сил ул е был известен Архимеду. Окончательное развитие векторное исчисление получило лишь в XIX в. в работах У. Р. Гамильтона (1805—1865), Г. Грассмана (1809—1877) и Р. Болла по гиперкомнлексным числам и теории кватернионов, а также казанского математика А. П. Котельникова (1865—1944), разработавшего теорию винтового исчисления и приложившего ее к механике. [c.11]

Гамильтон (Hamilton) Уильям Роуан (1805-1865) — ирландский математик и физнк. Окончил Тринити Колледж (1827 г.), профессор Дублинского университета и директор астрономической обсерватории. Исследования в области оптики и механики. Разработал математический аппарат для решения задач геометрической оптики развил аналогию между корпускулярной и волновой оптикой, использованную через сто лет Э. Шре-дингером при разработке волновой механики. Распространил теорию оптических явлений на механику (1834-1835 гг.), разработав общие принципы, в частности вариационный принцип получил канонические уравнения механики. Построил своеобразную систему чисел кватернионов. Идеи Гамильтона в настоящее время получают развитие в теории нелинейных волн, теории динамических систем и др. [c.359]

Вектор эксцентриситета и тензорное исчисление. Гамильтон [2] использовал вектор эксцентриситета (который называется также перивектором) для иллюстрации своего метода векторного исчисления исчисления кватернионов. Позднее Гиббс [1] предпочел векторное исчисление, основанное на понятии векторного произведения, и также написал формулу, выражаюш,ую в этой системе вектор эксцентриситета, так называемую формулу Гиббса-Хэвисайда. Согласно с духом нашего вопроса 1.1, мы отказываемся от систем, предполагаюш,их размерность 3. Мы запишем многомерные формулы, используя тензорное исчисление и его частный случай внешнее исчисление. Итак, мы встаем на сторону Грассмана и Сент-Венана (см. Крау [1]). [c.33]

Кватернионные параметры Родрига-Гамильтона [c.42]

Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов А = Ао + Al + j 2 + feAs с единичной нормой Ад + А + А + А = 1. Они образуют группу Зр 1), которая является универсальной накрывающей группы S 0(3) (S O(S) и Sp l)/ 1) [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига-Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров А [108, 167]. [c.42]

Рис. 2. Кватернионные параметры Родрига-Гамильтона.

Систематическое исследование уравнений движения тяжелого гироскопа твердого тела в параметрах Родрига-Гамильтона (а также Кэли-Клейна) развивается в замечательной книге Ф. Клейна, А. Зоммерфельда Теория волчка [238] (разумеется, что основные результаты в этом вопросе принадлежат Ф. Клейну, см. также [237]). В то время еще не была известна гамильтонова структура этих уравнений (как уравнений на алгебре Ли), тем не менее эти параметры оказались удобными как для явного интегрирования в эллиптических функциях, так и для анализа различных частных решений. Близкую к кватернионам систему избыточных переменных (типа плюккеровых координат) в своей книге Геометрия динамы исследовал Э. Штуди. Он также вычислил в этих координатах кинетическую энергию твердого тела. [c.47]

Замечание 2. Для реальных систем, происходящих из динамики твердого тела, гамильтониан Н — однозначная функция на группе SO 3), и вследствие двукратного ее накрытия кватернионами (3.11) функция Гамильтона зависит лишь от квадратичных комбинаций AiAj. Тем не менее, системы с гамильтонианом, произвольно зависящим от кватернионов, встречаются в других разделах механики искривленная небесная механика, система Леггетга, квантовая механика спинов (см. гл. 3, 4). Возможно, что форма (4.24) имеет более важный смысл именно в квантовой механике, где имеются эффекты, существенно связанные с дополнительными спиновыми переменными. [c.53]

Замечание 2. Рассматривая в качестве гамильтониана и используя кватернионное представление (см. 3 гл. 5), получим интегрируемую задачу о движении четырехмерного твердого тела в квадратичном потенциале специального вида. Эта система также может рассматриваться как обобщение случая Клебша ( 1 гл. 3). [c.211]

Равенства (2.106) получаются обычным естественным путем, как в учае использования векторов. Полезность такой записи уравнении [вигацни определяется тем, что, используя алгебру кватернионов, (ается формализовать получение навигационных алгоритмов прн феделении ориентации объекта управления лараметрами Родрн--Гамильтона. После интегрирования первого уравнения (2.106) имеем алее полагаем = 0) [c.219]

Как отмечалось выше, элементы матрицы направляющих косинусов параметры Родрига-Гамильтона представляют собой совокупности юыточных параметров ориентации, которые подчинены естественным ловиям связн. Для матрицы направляющих косинусов данные условия (ЯЗИ определяются свойством ее ортогональности, а для параметров одрига-Гамильтона - свойством равенства нормы кватерниона, писывающего врашсние твердого тела, единице. [c.249]

Определение. Компоненты кватерниона вращения в базисе, преобразуемом этим кватернионом по формулам (П3.61) и заданные в форме (П3.64),называются параметрами Родрига-Гамильтона. Параметры Родрига-Гамильтона подчинены условию связи [c.572]

Итак, кватернион, компонентами которого являются параметры Родрига - Гамильтона, имеют равные компоненты в двух системах координатвследствиетого, что именно этим кватернионом определяется переход ог одной системы координат к другой. Такой кватерннон называется собственным кватернионом преобразования вращения. Ниже мы воспользуемся этим понятием. [c.573]

Родрнга-Гамильтона. С этой целью воспользуемся формулами (П3.47) н (ПЗ.бЗ), перемножим кватернионы и А по формуле (0162) и [c.573]

Перемножим кватернионы (П3.72) по формуле (П3.71) и приравняем компоненты произведения одноименным компонентам кватерниона результирующего поворота Я = Яд + Ajij + >>2 2 Vs- итоге получим следующие формулы, выражающие параметры Родрига - Гамильтона через самолетные углы [c.575]

Как видим, кинематические уравнення вращательного движения в параметрах Родрига - Гамильтона линейны и не имеют особых точек. Они подчинены одному условию связи (П3.65), определяемому свойством нормированности кватерниона вращения. Аналогичные уравнения для случая проектирования вектора угловой скорости на оси неподвижного базиса нетрудно получить из (П3.79). [c.577]

Эти же уравнения в функции параметров Родрига — Гамильтона, которые представляют собой компоненты кватерниона и называются иногда также паратиетрами Эйлера, имеют вид [8] [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...