Норма кватерниона

Нормой кватерниона h = а Ч- 61 Ч- j -Ь dk называется величина h > О, определенная равенством [c.111]

При этом норма кватерниона равна детерминанту соответствующей ему матрицы [c.39]

Определим понятия сопряженного кватерниона и норм кватерниона. Кватернионом, сопряженным данному кватерниону (П3.47), называется [c.569]

Рассмотрим произведение кватернионов Я и Л. Поскольку векторные части кватернионов А. и Л отличаются только знаком, нх произведение коммутативно. Это произведение называется нормой кватерниона Я и обозначается как А.1, [c.570]

Необходимость в проверке и коррекции нормы кватернионов и связей между направляющими косинусами при выполнении численных расчетов возникает вследствие накопления погрешностей из-за методических ошибок и ошибок округления. Методы подобной коррекции описаны в [8]. [c.95]

Множество кватернионов с нормой, равной единице, обозначим Til- Если h G то h = h. Очевидно, что множество ii есть группа по умножению. Эта группа изоморфна группе SU 2). Изоморфизм устанавливается с помощью равенств [c.112]

Векторная часть Vq, скалярная часть Sq, сопряженный кватернион Kq, норма Nq я обратный кватернион — определяются следующими формулами ) [c.48]

Векторную часть Vq можно рассматривать как обыкновенный вектор, при этом г, /, к являются единичными векторами координатных осей. Если Sq = О, кватернион q вырождается в вектор с нормой Nq = 1, если это единичный вектор. [c.48]

Это отображение алгебры кватернионов в себя (Тг — произвольный кватернион) определяется фиксированным кватернионом Л, имеющим единичную норму Л = 1. [c.36]

Представление поворотов при помощи кватернионов единичной нормы представляет собой многообразие, являющееся трехмерной сферой в четырехмерном пространстве + Л = 1. Это [c.51]

Рассмотрим группу 5p(l) — мультипликативную группу кватернионов q = X + Шс единичной нормой + + = 1. Каждому такому кватерниону соответствует линейное отображение Г, алгебры всех кватернионов К на себя, определенное формулой Тд г) = qrq (г Е К). Легко проверить, что Г, отображает множество чистых кватернионов (у которых х = 0) на себя. Если отождествить это множество с евклидовым пространством то Тд будет ортогональным преобразованием —> —> R . Рассмотрим теперь твердое тело с закрепленной точкой. Зафиксируем некоторое положение этого тела. Тогда его поворот из начального положения в произвольное задается некоторым ортогональным преобразованием, которому, в свою очередь, соответствует некоторый кватернион д Е Sp(l). Таким образом, каждому кватерниону g Е Sp(l) можно поставить в соответствие положение твердого тела с неподвижной точкой, причем кватерниону —д (и только ему) соответствует то же самое положение тела в R . Эти наблюдения восходят к Гауссу. Таким образом, переменные (Xi С) можно считать избыточными координатами в задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.35]

Нетрудно убедиться, что ХоЛ/ = 1Х - М , т.е. норма произведения кватернионов равна произведению их норм. Величина Х = называется модулем кватерниона. Кватернион, норма которого равна единице, называется нормированным. [c.570]

Можно также распространить подход, основанный на собственных значениях для парных сравнений, на использование комплексных чисел. Процесс будет соответствовать сравнению объектов относительно двух независимых признаков одновременно. При согласованном случае остается А- = пш с п, являющимся наибольшим собственным значением А, и отношение согласованности а к = ац,/а1 также остается в силе. Малые возмущения в коэффициентах могут теперь произвести малое комплексное возмущение в п, в результате чего получим — комплексное число, и, конечно, решение в общем случае б> ет комплексным. Нормализация к единице прямым сложением больше не имеет смысла. Может стать необходимым применение евклидовой нормы (а1, ао) =а[- -1а-2, которая будет (01 + 02) . Обобщение может быть проведено на кватернионы, т. е. числа вида [c.86]

Действительно, линейные преобразования кватернионного пространства А (не изменяющие коммутационных соотношений и нормы кватерниона) вида [c.217]

Как отмечалось выше, элементы матрицы направляющих косинусов параметры Родрига-Гамильтона представляют собой совокупности юыточных параметров ориентации, которые подчинены естественным ловиям связн. Для матрицы направляющих косинусов данные условия (ЯЗИ определяются свойством ее ортогональности, а для параметров одрига-Гамильтона - свойством равенства нормы кватерниона, писывающего врашсние твердого тела, единице. [c.249]

Вопрос коррекции нормы кватерниома при интегрировании нематических уравнений может решаться аналогичным образом. При эм достаточно производить контроль нормы кватерниона и при дчимом отклонении нормы от единицы, Л - I г осуществлять ррекцию кватерниона по обычной формуле его нормирования [c.251]

Существуют также иные подходы к задаче коррекции кватерниона зи интегрировании кинематических уравнений. В работе [3] изложен юсоб преобразования кинематических уравнений к виду, при котором Зсспечивается асимптотическая близость нормы кватерниона к единице гзавнси.ую от погрешностей интегрирования кинематических уравнений, ассмотрим содержание этого способа. [c.251]

К. — К. п. а, Ь однозначно определяют вращение Л, но а, Ь и —а, —Ь описывают одно п го же вращение, что соответствует двухзначным (спинорным) представлениям группы вращений (см. Вращений группа, Спинор). Определение К.— К. п. в форме (1), (2) есть по существу прсдстав-тенио элементов группы вращения ГР через кватернионы с единичной нормой. Неявно такая связь прослеживается в работах А. К.чли (А. ayley) в 1847, а точные соотношения появились в работах Ф. Клейна (F, Klein) в 1897. [c.537]

Так что кватернионы единичной нормы, служащие для определения положения твердого тела, описываются комплексными матрицами 2x2, удовлетворяющими двум условиям ЛЛ = Е, det Л = 1. Элементы таких матриц, являющиеся комплексными комбинациями компонент кватерниона, называются параметрами Кейли-КлеИна [c.39]

Как было замечено еще К. Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов А = Ао + Al + j 2 + feAs с единичной нормой Ад + А + А + А = 1. Они образуют группу Зр 1), которая является универсальной накрывающей группы S 0(3) (S O(S) и Sp l)/ 1) [75]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига-Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [167]. Проясним геометрический смысл параметров А [108, 167]. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...