Теория групп

В связи с все более ощутимым проникновением теории групп в физику твердого тела элементы этой теории будут изложены в отдельном параграфе. [c.125]

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [c.130]

Своеобразной является группа законов сохранения, связанная с различного рода отражениями. Все операции отражений имеют два общих свойства. Во-первых, будучи произведено два раза подряд, отражение возвращает физическую систему в исходное состояние. Во-вторых, отражение является существенно дискретной операцией. Чтобы пояснить второе свойство, укажем, что, например, поворот на 180° вокруг какой-либо оси хотя и удовлетворяет первому свойству, но отражением не является, так как непрерывным уменьшением угла поворота это преобразование может быть переведено в поворот на нуль градусов, т. е. в тождественное или, как говорят в теории групп, в единичное преобразование. [c.293]

Несколько слов о содержании книги. Очевидно, изложение было бы проще и компактнее, если бы все внимание сосредоточить на голономных системах. Однако такое ограничение дало бы искаженное представление о предмете в целом. В то же время автор учитывал, что на практике мы обычно имеем дело с голономными системами, и потому уделил неголономным системам сравнительно немного места. Особое внимание было обращено на отдельные классические задачи динамики твердого тела, которые, по мнению автора, еще недостаточно полно освещены в литературе. Это мнение (о недостаточном внимании к динамике твердого тела) послужило причиной того, что в книгу включен раздел о теории поворотов твердого тела (гл. УП). Можно возразить, что эти вопросы составляют скорее предмет теории групп и вряд ли их следует включать в руководство по механике. Возможно, что [c.13]

Огромная литература, которая существует по вариационным принципам, конечно, не могла быть даже и в малой степени охвачена в одном сборнике. Естественно, что для помещения в сборник отобраны прежде всего основные работы, а также работы, освещающие связанные с вариационными принципами проблемы теории групп, теории преобразований и т. п. Из работ, относящихся к применению вариационных принципов в физике, взяты те, которые имели важное значение в развитии физики и в то же время помогали уяснению физического смысла, значения и границ применимости этих принципов за пределами аналитической механики. Вопросы, связанные с применением вариационных принципов механики для исследований в области механики сплошных сред и многочисленных прикладных задач, должны быть рассмотрены особо. Не включены в сборник также работы, относящиеся к применению вариационных принципов механики в современных исследованиях по теории квантованных полей и т. п., так как эти работы освещены в ряде монографий и сборников основных статей, вышедших в самое последнее время. [c.5]

Вариационные принципы механики неразрывно связаны с теорией групп преобразований, синтезом аналитического и геометрического аспектов механики, оптико-механической аналогией и единой волново-корпускулярной картиной движений, классической и квантовой теорией физических полей, вариационными методами решения задач движения, равновесия, устойчивости и структуры физических систем и другими фундаментальными проблемами. [c.780]

Таким образом, естественно формулируется связь между аналитической механикой вариационных принципов и теорией групп преобразования. Эта связь допускает дальнейшее обобщение. [c.877]

I) Необходимые элементы теории групп см. М и г п а g h а п, стр. 328 (цит. соч. в 10). [c.52]

С точки зрения теории групп G изоморфна прямому произведению k экземпляров группы целых чисел Z. Отложим обоснование этого утверждения, чтобы поскорее получить тор. [c.250]

В этой статье приведен и список литературы, относящейся к обсуждаемой проблеме. В статье показано, что свойства текстур и кристаллов можно задавать при помощи тензоров. Эта задача связана с теорией групп — с рассмотрением группы симметрии, образованной системами преобразований координат. [c.476]

Точечные группы симметрии кристаллов являются одним из частных объектов, рассматриваемых в разделе математики, носящем название теории групп. [c.610]

Здесь 8 —так называемый элемент идентичности, принадлежащий О, Ф"1 — элемент, принадлежат,ий (7 и обратный элементу ф. Теория групп изучает свойства действий (например, сложение векторов, последовательное выполнение преобразований) безотносительно к природе как действия, так и объекта, с которым выполняется последнее. В теории групп изучаются действия, обладающие тем свойством, что объекты действий и результаты их принадлежат группе. [c.610]

Совокупность всех операций симметрии [ 1,. .., данного кристалла образует группу симметрии О в смысле математической теории групп. Величину к называют порядком группы. [c.610]

Симметрия конструкций и ее следствия с исчерпывающей полнотой могут быть исследованы с помощью теории групп [29, 83]. Имея в виду, однако, лишь некоторые наиболее важные с точки зрения акустической динамики машин следствия [c.245]

Теория представлений групп — составная часть общей теории групп она является тем соединительным звеном, которое дает возможность количественного отображения (в функции от параметров, определяющих элементы групп) взаимоотношений между этими элементами, выраженных символами теории множеств и теории групп. К объектам изучения теории представлений [c.49]

Как инструмент для изучения произвольных голономных систем материальных точек получены уравнения Лагранжа второго рода и канонические уравнения Гамильтона [66]. Дается понятие о лагран-жевом формализме [1, 36]. Изучается поведение полной энергии системы в зависимости от структуры обобщенных сил и кинетической энергии. Дается метод циклических координат [5, 58]. Устанавливается, что для голономных систем интегргипы количества движения, кинетического момента и обобщенный интегргия энергии Якоби [70] всегда могут быть представлены как следствие существования соответствующих циклических координат. Указывается на возможность использования аппарата теории групп для поиска интегралов движения [5]. Изложение вариационных принципов Гамильтона и Мопертюи-Лагранжа-Якоби [17, 38, 70] выполнено в соответствии с современной теорией оптимальных процессов [2, 5, 13]. Геометрически наглядная трактовка придана теории малых колеба- [c.12]

Существенно большие успехи были достигнуты в схеме Sf/(3)-симметрии, основанной на теории групп. St/(3)-симметрия не только повторила результаты схемы Саката, но и позволила правильно классифицировать барионы и барионные резонансы. Наибольшим успехом 517(3)-симметрии было предсказание свойств 2 -ги перона, который вскоре после этого был открыт. [c.704]

Состояние магнитного иона может быть найдено с помощью уравнения Шредпнгера Жф = 1>,где Ш—гамильтониан. Для свободного иона уровни могут быть вырождены если же ион находится в поле кристалла, то степень вырождения в общем случае уменьшается но-разному для различной симметрии поля. При повороте координат на заданный угол (например, тс/2 вокруг оси четвертого порядка я/3 вокруг гексагональной осп) или отран<е-нии в плоскости и т. д. результирующее состояние системы должно совпадать с исходным. Этим свойством должны обладать и собственные функции уравнения Шредингера. Решения уравнений Шредиигера образуют группы с помощью теории групп можно выяснить некоторые особенности решений в кристаллическом поле, даже не зная точно формы потенциальной функции и ее величины. Так, например, состояние с /= /2, которое для свободного иона шестикратно вырождено в кристаллическом поле с кубической симметрией, расщепляетсм на один дублет и один четырехкратно вырожденный уровень. Взаимное расположение уровней и расстояние между ними нельзя определить, ие зная подробно функции V. [c.386]

Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. М. Мир, 1977. [c.45]

Важными понятиями в теории групп является изоморфизм и гомоморфизм групп. Понятие изоморфизма было уже введено ранее. Изоморфные группы — это группы с одинаковыми таблицами умножения или, что то же самое, это группы, произведения одинаковых элементов которых одинаковы. Очевидно, что изоморфными могут быть только группы одинаковых порядков. Таким образом, между элементами изоморфных групп существует взаимч но-однозначное соответствие. [c.133]

После выхода в свет первого издания предлагаемой книги появилось много новых приложений теории подобия и размерности к самым разнообразным вопросам физики, механики сплошной среды и к некоторым вопросам математического характера, связанным с привлечением теории групп для отыскания решений дифференциальных ypaвнeний ) и к статистическим проблемам выборки и браковки товаров и продуктов производства ). [c.8]

Марий Софус Л и родился в 1842 г. в Нордфиорде в Норвегии, умер в 1899 г., в Осло. После одного года преподавания в шведском университете в Лунде, он перешел в 1872 г. в университет в Осло, из которого в 1886 г. был приглашен заменить Клейна в Лейпцигском университете. Здесь в течение двенадцати лет он собрал вокруг себя большую группу учеников разных национальностей. В 1898 г., когда здоровье его было уже подорвано болезнью, приведшей его к могиле, он с большими почестями был приглашен на родину на кафедру теории групп преобразований, созданную им в университете в Осло. Он любил связывать свои работы с работами Понселе и Плюккера с одной стороны, и с работами Галуа — с другой. Но благодаря смелой новизне взглядов, силе геометрической интуиции и независимости мысли, не-подчиняющейся чьему бы то ни было влиянию, С. Ли занимает в истории математики совершенно самостоятельное место. Благодаря новой принадлежащей ему концепции задачи интегрирования дифференциальных уравнений он пришел, с одной стороны, к открытию преобразований прикосновения и к теории инвариантов этих преобразований, а с другой стороны, к теории конечных непрерывных групп преобразований, которая благодаря совершенной полноте, изяществу методов и результатов я неисчерпаемой возможности приложений остается вечным памятником его имени. [c.252]

Речь идет о вариационных задачах, которые допускают непрерывную группу (в смысле Ли) вытекающие отсюда следствия для соответствующих дифференциальных уравнений находят свое наиболее общее выражение в теоремах, которые формулируются в 1 и доказываются в последующих параграфах. Относительно этих дифференциальных уравнений, возникающих из вариационных задач, возможны высказывания, значительно более точные, нежели относительно любых допускающих группу дифференциальных уравнений, которые являются предметом исследований Ли. Итак, последующее изложение базируется на объединении методов формального вариационного исчисления с методами теории групп Ли. Для специальных групп и для вариационных задач это объединение методов не ново я упомяну Гамеля и Герглоца (Herglotz), занимавшихся специальными конечными группами, Лоренца и его учеников (например, Фоккера), Вейля и Клейна, занимавшихся специальными бесконечными группами ). Вторая статья Клейна и настоящая работа в особенности взаимно повлияли друг на друга в связи с этим я хотела бы указать на заключительные замечания в статье Клейна. [c.611]

Наконец, и з предыдущего получается еще доказательство утверждения Гильберта о связи отказа от собственных законов энергии с общей относительностью (первая статья Клейна, Gottingen Na hr., 1917, ответ, первый абзац) и именно в обобщенной формулировке, с точки зрения теории групп. [c.627]

В 1851 г. Сильвестр впервые ввел понятие об инвариантах алгебраических форм. В так называемой Эрлангенской программе Ф. Клейн, сформулировал принцип, что каждое многообразие (в том числе различные геометрии) задается системой инвариантов относительно некоторой группы преобразований. С другой стороны, в 70-х годах XIX в. Софус Ли установил связь между интегралами дифференциальных уравнений и инвариантами непрерывных групп. Отсюда вытекает возможность интерпретации механики в терминах непрерывной группы и ее инвариантов. Основываясь на объединении вариационного исчисления и методов теории групп Ли, Э. Нетер в 1918 г. дала алгоритм, позволяющий найти систему инвариантов любой физической теории, формулируемой при помощи лагранжева или гамильтонова формализма. [c.863]

В 15 станет ясным, что это преобразование — собственное. Доказательство см. Murnaghan (цит. соч. в 10, стр. 298), где обсуждается теория групп, связанная с матрицами Паули. [c.55]

Богатые перспективы в этом открывают такие разделы математики, как топология, Риманова геометрия, дифференциальная геометрия, теория групп, теория множеств, теория графов, стохастические теории оценивания, сглаживание, программирование и др. В то же время сама математика нуяедается в физическом и техническом подкреплении. Глубокое проникновение в явления, их технизацию и автоматизацию, особенно в условиях АПМП [c.78]

Важное значение в теории групп имеет понятие изоморфизма [171, 175], [1061. Изоморфизмом двух групп А м В называется взаимно однозначное соответствие как элементов й , О/ и Ь , Ь (а,- <--> <--> bj, ai <--> bj) этих групп, так и их произведений, т. е. а-а,- <—> bibj. [c.49]

Сконцентрируем основные условные обозначения, применяемые в теории множеств и теории групп, введенные преимущественно итальянским математиком Пеано [c.49]

Метод Г. С. Калицына занимает особое место в исследованиях пространственных механизмов, так как он содержит распространение основных понятий теории множеств и теории групп на кинематические цепи звеньев. Воззрение на механизмы с теоретикомножественных и теоретико-групповых позиций дает возможность обосновать применение к исследованию движений механизмов теорию представлений (преобразований) групп и, следовательно, применение операций алгебры матриц к анализу перемеш,ений механизмов. [c.135]

Опираясь на основные результаты теории множеств и теории групп, Г. С. Калицын приводит следующую интерпретацию основных понятий теории механизмов. Ограничиваясь рассмотрением лишь твердых звеньев, Г. С. Калицын определяет их как множества материальных точек, представляющих отдельные части изменяющихся систем, при движении которых расстояния между двумя произвольными точками этого множества неизменны [137, 139]. [c.136]

Логическим следствием концепции Г. С. Калицына, заключающейся в трактовке основных понятий теории механизмов в терминах теории множеств и теории групп, является операторное представление преобразования элементов групп движений и, в часТ ности, матричное представление. Им разработаны матричные уравнения плоских четырехзвенных механизмов — кривошипно-ползунного, кривошипно-кулисного, кривошипно-коромыслового, а также механизмов с профильными кривыми, планетарных и дифференциальных зубчатых механизмов на основе применения матриц 2-го порядка [137]. [c.137]

Колебательные и вращательные спектры многоатомных молекул (1949) -- [ c.16 , c.118 , c.122 , c.142 , c.148 , c.228 , c.255 ]

Теория твёрдого тела (1972) -- [ c.24 , c.27 , c.29 , c.43 ]

Формообразование поверхностей деталей (2001) -- [ c.561 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...