Соображения симметрии и теория групп

СООБРАЖЕНИЯ СИММЕТРИИ И ТЕОРИЯ ГРУПП [c.24]

Соображения симметрии и теория групп 25 [c.25]

В этом параграфе мы выясним, каким образом теория групп позволяет реализовать всю силу соображений симметрии и получить нетривиальные результаты, исходя из симметрии структуры. Мы [c.24]

Книга адресована читателю, серьезно изучающему молекулярную спектроскопию, и хотя предполагается, что он знаком с основными постулатами квантовой механики, теория групп рассматривается здесь из первых принципов. Идея группы молекулярной симметрии вводится в начале книги (гл. 2) после определения понятия группы, основанного на использовании перестановок. Далее следует рассмотрение точечных групп и групп вращения. Определение представлений групп и общие соображения об использовании представлений для классификации состояний молекул даны в гл. 4 и 5. В гл. 6 рассматривается симметрия точного гамильтониана молекул и подчеркивается роль перестановок тождественных ядер и вращения молекулы как целого. Чтобы классифицировать состояния молекул, необходимо выбрать подходящие приближенные волновые функции п понять, как они преобразуются под действием операций симметрии. Преобразование волновых функций и координат, от которых волновые функции зависят, особенно углов Эйлера и нормальных координат, под действием операций симметрии подробно описывается в гл. 7, 8 и 10. В гл. 9 рассматриваются определение группы молекулярной симметрии и применение этой группы к различным системам. В гл. 11 определяется приближенная симметрия и описывается применение групп приближенной симметрии (таких, как точечная группа молекул), а также групп точной симметрии (таких, как группа молекулярной симметрии) для классификации уровней энергии, исследования возмущений, при выводе правил отбора для оптических [c.9]

Ясно, что теория групп в принципе играет существенную роль при определении структуры Жа, поскольку в разложение Жа по нормальным координатам входят только те комбинации (произведения), для которых выполняются все условия, налагаемые симметрией. Напомним, что в соответствии с (т. 1, 109.69) — (т. 1, 109.75) и последующими равенствами в ряде для Жа появляются только такие слагаемые данной степени координат, для которых отличны от нуля соответствующие коэффициенты приведения, т. е. такие произведения, из которых можно образовать инварианты кристалла. Таким образом, первое приложение соображений симметрии, а именно ограничения на возможные слагаемые в Жа, уже знакомо нам из предыдущего. [c.67]

Польза от применения теории групп была уже продемонстрирована во многих случаях и в первом выпуске. Исследования симметрии позволяют высказать ряд качественных соображений [c.10]

Приложения теории групп к классификации состояний электронов и к молекулярным колебаниям представляют собой, пожалуй, простейшие нетривиальные примеры использования соображений симметрии. Теперь мы перейдем к приложениям, более тесно связанным с физикой твердого тела. [c.57]

Уравнения баланса дефектов в данной модели строятся из интуитивных геометрических соображений, как правило, без учета временной зависимости [24, 25]. В настоящее время используются представления калибровочных полей [26—28], что позволяет изучать процессы, обусловленные взаимосвязью механических изменений внутри структурного элемента с соседними элементами и внешними объектами [27, 28]. Обычно внутренняя (локальная, описывающая структурный элемент) и внешняя (глобальная) симметрии представляются группой Лоренца. В ряде работ, например [29], рассмотрены идеи нарушенной симметрии, в которых поведение дислокаций описано аналогично теории сверхпроводимости Гинзбурга — Ландау с некоторым параметром порядка. Следует отметить, что введение группы Лоренца как для внешних, так и для внутренних переменных не убедительно, поскольку в неоднородной среде отсутствует единственная скорость передачи сигнала — скорость звука. Теория, содержащая малый параметр, представляет собой скорее описание фазового перехода типа плавление , чем поведение механической среды, в которой заведомо отсутствуют какие-либо параметры порядка. [c.43]

В случае внутр. симметрий требования инвариантности не так универсальны выбор группы симметрии по существу фиксирует модель, описывающую определ. круг физ, явлений. Напр., группой внутр. симметрии, скаляром относительно к-роп должны быть действие и Л., для электродинамики является f7 (1), ДЛЯ теории электрослабого взаимодействия — SU 2) U ), ДЛЯ кеаитовой хромодинамики— 5f/(3). На языке теории групп в качестве Л. можно взять любую ф-цию Казимира операторов соответствующе группы. Далее выбор Л. определяется соображениями простоты чтобы ур-ния движения были дифференциальными не выше 2-го норядка, суммарная степень производных о отд. слагаемых в Л. не должна превьппать 2. В реальных ситуациях этих принципов отбора всё же пе хватает для одпозначпого выбора Л. В общем случае Л. оказывается полиномом по полям н их производным. Били-иейпая по ним часть в Л. кинетические плюс массовые члены) наз. свободным Л., а остальные члены образуют Л. взаимодействия. [c.545]

Следует отметить, что в последующих разделах пспользуются некоторые постулаты п предположения, содержание которых пе излагается и которые часто вообще не указываются. Ниже в ряде мест эти молчаливо принимаемые предположения по возможности будут сформулированы и пояснены. Здесь отметпм только, что в разд. 1 и 2 ( Корреляция электронных состояний и Электронные конфигурации ) предполагается, что точечная группа симметрии, к которой принадлежит равновесная конфигурация ядер молекулы, известна. Следовательно, в этих разделах теоретические соображения (теория групп и квантовая механика) не используются для установления равновесной геометрической конфигурации ядер молекулы и ее элементов симметрии. Если рассматривается реальная молекула, то предполагается, что данные по геометрии равновесной конфигурации ядер (по меньшей мере точечная группа симметрии равновесной конфигурации) известны из эксперимента. Если рассматривается какая-либо пробная модель молекулы, то указанные данные задаются как исходные прп рассмотрении возможных электронных состояний этой модели. В отличие от этого в разд. 3 ( Стабильность молекулярных электронных состояний. Валентность ) ставится вопрос об определении равновесной геометрической конфигурации ядер или ее отдельных параметров пли, наконец, только точечной группы симметрии, к которой относится равновесная конфигурация, исходя не из экснеримента, а на основании теоретических положений квантовой механики. [c.276]

Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными. [c.38]

Однако мы вовсе не хотим этим сказать, что во всех других случаях будет наблюдаться такая же картина, как и для веществ, приведенных в табл. 19. Для объяснения наблюдавшейся дисперсии, оставаясь в рамках молекулярной теории, можно для вычисления дисперсии принимать в расчет не все собственные частоты молекулы, а только определенные группы частот, руководствуясь при отборе частот теми или иными соображениями. Песин 136] показал, что если среди собственных частот бензола отобрать такие, которые относятся к -типу симметрии (10 частот [c.308]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...