Аффинное преобразование пространства

Об аффинном преобразовании пространства [c.48]

Американский способ расположения проекций 71 Антипризма 84 Апполония теорема 349 Архимедова спираль 187, 234, 237 Асимптоты гиперболы 169 Аффинное преобразование пространства 48, 267 [c.413]

Доказательство. Пусть задано событие В. Выберем опорное событие О. Тогда в соответствии с галилеевой структурой будем иметь В = (С, <(ОВ)), где С принадлежит пространству всех одновременных с В событий. В пространстве выберем опорную точку О. Событие В можно охарактеризовать временем t и радиусом-вектором X с началом в точке О и концом в точке С. В общем случае аффинное преобразование А —> А записывается следующим образом [c.155]

Аффинным преобразованием (отображением) называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором любая прямолинейно расположенная тройка точек переходит в тройку точек, расположенную на одной прямой . [c.40]

Начиная с 1937 г , винтовое исчисление получило новое развитие в работах советского ученого С. Г. Кислицына, разработавшего винтовые аффиноры [23], являющиеся перенесением операторов аффинной геометрии на винтовое пространство. Элементами матриц аффинного преобразования служат комплексные числа с множителем си. [c.7]

Преобразование (95) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном пространстве (так называемом проективном пространстве), определяемое оператором или тензором (см. гл. 8) с соответствующей матрицей 4-го порядка (см. гл. 4). [c.47]

Аффинным преобразованием (отображением) называется такое преобразование плоскости или пространства, при котором любая прямолинейно расположенная тройка точек переходит снова в тройку точек, расположенных на одной прямой. Отличительные свойства аффинных преобразований состоят в том, что всякая тройка координатных векторов (репер) переходит при таких преобразованиях также в тройку векторов (репер), каждая точка М [c.72]

В теории пространственных механизмов преимущественно используется разновидность аффинных преобразований, называемая ортогональным преобразованием, при котором метрика пространства не меняется и преобразование в сущности представляет собой движение. [c.73]

Из этих формул 1) непосредственно следует, что два равных вектора (т. е. имеющих одинаковые компоненты т], О переходят после преобразования в два равных вектора и что два параллельных вектора переходят в два параллельных, причем отношение их длин остается неизменным ), Из первого свойства следует еще, что две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры (расположенные в разных частях пространства), составленные из прямолинейных отрезков, преобразуются также в две одинаковые и одинаково ориентированные фигуры. Но так как всякая геометрическая фигура может быть рассматриваема как предел фигуры, составленной из прямолинейных отрезков, то указанное свойство имеет место для всяких фигур. Это значит, что все части тела, независимо от их положения, деформируются одинаковым образом. Поэтому деформация, производимая аффинным преобразованием, часто называется однородной. [c.38]

Алгебраическая динамика сдвиги на однородных пространствах и аффинные преобразования [c.240]

Наконец, существует естественный алгебраический класс динамических систем, включающий в себя и сдвиги на однородных пространствах, и автоморфизмы, а именно аффинные системы, которые представляют собой проекции аффинных отображений группы С на однородное пространство с конечным объемом. Аффинное преобразование группы — это композиция эндоморфизма и сдвига. Самые простые нетривиальные примеры аффинных преобразований, которые обладают свойствами, отличными от свойств сдвигов и автоморфизмов, — это преобразования на двумерном торе, встречающиеся в упражнениях 1.4.4, 3.2.6 и 4.2.3. Последующие упражнения из 4.2 показывают тесную связь между динамическими свойствами этих отображений и их естественных многомерных обобщений и равномерным распределением дробных долей значений полиномов. Это первое проявление исключительно плодотворной взаимосвязи между динамикой алгебраических систем (сдвигов и аффинных преобразований) и теорией чисел. [c.241]

Принцип относительности. Прямое произведение Е Х XR t (пространство-время) имеет естественную структуру аффинного пространства. Группой Галилея называется группа всех аффинных преобразований E xR, которые сохраняют промежутки времени и при фиксированных if R являются изометриями . Таким образом, если g (s, t ) — преобразование Галилея, то [c.14]

Если сфера преобразуется в эллипсоид так, что главные направления меняют свою ориентацию в пространстве, то говорят, что имеет место общий случай аффинного преобразования, который сводится к чистой деформации (растяжениям по трем главным осям) и повороту в пространстве. Заметим, что в случае чистой деформации любые отрезки в частице, не направленные по главным осям, меняют, вообще говоря, свое направление в пространстве. [c.95]

Рис. 54. Пуассоновы листы в двойственном пространстве алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой

Только с 1937 г. начали появляться работы, которые можно считать продолжением теории винтового исчисления. С. Г. Кислицыным разработаны винтовые аффиноры [ ], являющиеся перенесением операторов аффинной геометрии на винтовое пространство. Элементами матриц соответствующего аффинного преобразования служат комплексные числа с множителем со. [c.14]

Замечание 3.1. В случае Р = Р/(со ), т.е. Р является сужением на со пространства полных многочленов степени I, аффинное преобразование вновь переводит его в пространство полных многочленов степени I, но с другой областью определения. Поэтому Р будет равно Рг(сод. ). [c.92]

Проективная геометрия указывает, что такое взаимное положение плоскостей существует, что любые два треугольника, лежащие в разных плоскостях, можно расположить в пространстве так, что точки одного треугольника будут параллельными и даже ортогональными проекциями соответствующих точек другого треугольника, для чего может потребоваться предварительное преобразование одного из этих треугольников методом подобия (подобием увеличения или уменьшения) . Другими словами, два любых треугольника можно привести в перспективно-аффинное, родственное соответствие. Это положение устанавливает, что плоскость, в которой лежит горизонтальная проекция искомого треугольника, и плоскость, в которой лежит треугольник, подобный любому наперед заданному треугольнику, должны иметь одно, единственно возможное, вполне определенное взаимное положение, т. е. эта задача имеет однозначное, вполне определенное решение Теперь надо найти и научно обосновать метод решения этой задачи. В данной главе излагается метод, пользуясь которым, можно решить не только данную задачу, но и любую другую, аналогичную данной, в которой фигурируют любые многоугольники и фигуры с криволинейным очертанием. Решения задач, объединенных в I главе, являются основанием построений, излагаемых в последующих главах. [c.5]

Курс начинается с раскрытия понятия аффинного точечно-векторного пространства как формальной аксиоматической основы построений теоретической механики. Строится теория преобразований системы скользящих векторов к простейшему виду. Вводится понятие центра масс и тензора инерции и развивается геометрия масс. Весь этот аппарат, помимо теоретической механики, может быть эффективно применен и в некоторых разделах математики [7, 50]. Чтобы подчеркнуть это, ему придана векторно-алгебраическая форма. [c.10]

Пример. Аффинно-изменяемое тело. Пространство х, у, z неподвижно. Преобразование, в котором нулевым значениям параметров (Zi, р, q, г, 8,, б2, 8з, О), 02, Оз отвечает тождественное преобразование, возьмем в виде [c.306]

Формально закон движения среды в евклидовом пространстве (3.22), (3.23) представляет взаимно однозначное непрерывно дифференцируемое преобразование множества точек, заключенного в объеме Уо и ограниченного поверхностью Еа Уо — начальный объем, 2о — граница среды) во множество точек х, заключенное в объеме У с границей 2 время I является параметром преобразования. При этом окрестность каждой точки х аффинно преобразуется в окрестность соответствующей точки х. Теория деформаций, следовательно, опирается на дифференциальную геометрию, соответствующую преобразованиям координат (3.22), (3.23). [c.68]

ГЕОМЕТРИЯ АФФИННАЯ (от лат. affinitas — родство, свойство). Математическая наука, изучающая свойства геометрических образов, остающиеся неизменными (инвариантными) при аффинных преобразованиях пространства, к числу которых относится и родственное соответствие. Его основные особенности сводятся к следующему [c.24]

Галилеево преобразование — это аффинное преобразование Л" Л , сохраняющее структуру галилеева пространства, т.е. сохраняющее интервалы времени и расстояния между одновременными событиями. [c.154]

Преобразование (5) может быть истолковано как ортогональное аффинное преобразование координат в четырехмерном эвклидовом пространстве, определяемое тензором второго ранга, который может быть представлен квадратной матрицей 4-го порядка [c.153]

Теорема. Аффинные преобразования координат, перемещений, деформаций и напряэюений позволяют для ортотропного материала (А) получить бесконечное множество изоморфных представлений в модифицированных пространствах, в которых материалы отличаются друг от друга только механическими характеристиками. [c.179]

Интерпретируя геометрически эти аналитические операции, приходим к выводу, что пространство в окрес1ностях каждой точки подвергается прн деформации аффинному преобразованию. Бесконечно малый шар превращается прн этом в эллипсоид три главные оси этого эллипсоида возникли из трех перпендикулярных друг другу диаметров шара, направления которых совпадают с направлениями главных осей деформации. [c.25]

АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ (лат. а 11п11аз — родство, свойство). Взаимно однозначное соответствие точек плоскости или пространства, при котором всякая прямая линия переходит в прямую линию. Учение об инвариантных свойствах таких преобразований составляет содержание аффинной геометрии. Прямолинейность (коллинеарность) и параллельность прямых — инварианты аффинного преобразования. [c.11]

Замечание 2. Структура ж, у = у типа А — это стандартная пуассонова структура дуального пространства алгебры Ли группы аффинных преобразований прямой. Эта структура рассматривалась в 1965 г. в связи с изучением уравнений Эйлера левоинвариантной метрики на группе (в данном случае — метрики Лобачевского на полуплоскости), причем сразу же выяснилось, что она устойчива и локально эквивалентна любой структуре вида х, у = у +. . где точки обозначают нелинейные члены (с нулем выше первого порядка). Это (очевидное) наблюдение противоречит гипотезе А. Вейнстейна, согласно которой подобная линеаризуемость всех не содержащих линейных членов возмущений — признак линейных пуассоновых структур дуальных пространств полупростых алгебр Ли. [c.427]

Математическая характеристика различных преобразований симметрии, входящих в пространственные группы, состоит в том, что они являются линейными, вещественными, неоднородными, дискретными (специальными аффинными) преобразованиями трехмерного евклидова пространства. Аффинное преобразование можно понимать как преобразование, переводящее одну точку в трехмерном пространстве в другую точку в трехмерном пространстве (активная интерпретация). С другой стороны, аффинное преобразование можно истолковывать как преобразование координат фиксированной точки в результате изменения системы координат, используемой для описания точки (пассивная и11терпретация). В любой интерпретации это преобразование [c.24]

Эта система координат характеризуется тем, что все двумерные плоскости Е , в которых расположены геодезические пространства А , проходят через начало координат. Разумеется, такая проективная система координат определена пеодиозпачио. Во-первых, из геометрических соображений ясно, что соотношение (1) не нарушается при любом аффиниом преобразовании [c.165]

В римановом субпроективном пространстве вектор р всегда является градиентом2), и если не считать исключительного слу-чш, в котором в —однородная функция первой степени, то всегда можно перейти в каноническую систему координат. Это во многих случаях значительно облегчает выкладки ). Заметим еще, что каноническая система координат задана с точностью до любого аффинного преобразования (2) при этом условие /> = 0 сохраняется. [c.167]

Г. Врэнчану ) исследовал группы аффинных преобразований (сохраняющих связность) в субпроективных пространствах аффинной связности А . Предполагая, что введена такая система координат, в которой имеют место формулы (11), он получил сле- [c.194]

Аффинная и проективная система координат. За аффинную (или проективную) систему координат можно принять любой геометрический образ 3), обладающий следующим свойством аффинное (или проекгивное) преобразование пространства, оставляющее образ Ф в покое, необходимо является тождественным преобразованием (т. е. оставляет в покое каждую точку пространства). Образ, не обладающий этим свойством, не годился в качестве системы отнесения в аффинной (или проек пвной) геометрии если существуют аффинные (илт проективные) преобразования, оставляющие в покое , но перемещающие точку М, то все по/ ожения, проходимые при эт( м точьой М, неразличимы относительно [c.114]

Скалярное произведение двух функций и норма функции в Ф определяются формулами (9.30) и (9.31). Наконец, аффинные преобразования биортогонального базиса в пространстве Ф описывают->ся формулами (9.32) и (9.33). [c.74]

Из (1) следует, чго изображение любой точки, лежащей в плоскости Ро=0, находится на бесконечносги. Аналогично из (3) вытекает, чго все точки пред-ме1а, изображения которых лежат в плоскости / -О, расположены иа бесконечности. Плоскость называегся фокальной плоскостью пространства предмета, а плоскость / ,=0—фокальной плоскостью пространства изображения ). Лучи, параллельные в пространстве предмета, преобразуются в лучи, пересекающиеся в некоюрон точке, лежащей в фокальной плоскости Р = 0. Лучи же, выходящие нз точки, расположенной в фокальной плоскости Ро= О, преобразуются в пучок параллельных лучей В некоторых слу чаях обе фокальные плоскости находятся иа бесконечности Преобразовании такого рода называются аффинными или телескопическими При телескопических преобразованиях всегда О и Р Ф О, так как конечным значением х, у, г) должны соответствовать конечные значения (х, у, г ). Разумеется, это возможно лишь в том случае, если ао= 6о= с —О и а = Ь = с = 0. [c.152]

По соображениям, которые сделаются ясными из последующего излон епия, я пришел к следующему обобщению этого понятия. Я буду называть пространство аффинной связности, заданное коэффициентами Несуществующего и нем параллельного перенесения, к -кратно проективным, если его геодезические линии выражаются в соответствующей координатной системе системой уравнений, среди которых имеется к линейных. Такое /с-кратно проективное пространство п измерений мы будем обозначать Р . Это обобщение представляется тем более целесообразным, что свойство, которым определяется /с-кратно проективное пространство, остается инвариантным относительно линейного преобразования координат (относительно коллинеа-ции). В соответствии с этим мы будем называть координатную систему, в которой осуществляется указанное выше свойство пространства Р , проективной. Обыкновенное [c.23]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...