Больцмана функции разложение

Для каждого из этих предельных случаев главным членом разложения функции распределения в ряд является максвелловская функция распределения [1]. В общем случае можно попытаться построить интерполяционные формулы для расчета кинетических коэффициентов, используя их представление для каждого из предельных случаев. Однако гораздо удобнее прибегнуть к решению интерполяционного линейного интегрального уравнения, в этом случае интерполяционные формулы для кинетических коэффициентов получают как естественное следствие решения упомянутого линейного интегрального уравнения. Изложение указанного подхода (обобщенного метода Энскога), предложенного Б. В. Алексеевым, а также методов возмущений для уравнения Больцмана с неупругими столкновениями можно найти в [1]. [c.127]

Решение уравнения Больцмана ищется методом разложения по параметру в ряд функции распределения. Таким параметром является параметр возмущения е, выбираемый из тех соображений, чтобы при произвольном изменении частоты столкновений относительное число столкновений определенного вида оставалось неизменным. [c.41]

Групповое разложение интеграла столкновений. В этом разделе нашей задачей будет вывод поправок по плотности к уравнению Больцмана путем последовательного разложения двухчастичной функции распределения по степеням параметра п = пгд. Точнее говоря, мы намерены получить эту функцию в виде функционального ряда [c.174]

Его можно рассматривать как очевидное обобщение формулы (3.2.27)). В оригинальной работе Ландау [37] интеграл столкновений для слабо неидеальной плазмы был получен путем разложения интеграла столкновений Больцмана по степеням потенциала взаимодействия. Это приводит к марковскому кинетическому уравнению, в котором, к тому же, не учитывается нелокальность столкновений, т. е. аргументы и одночастичных функций распределения считаются равными. Выражение (3.4.27) является более общим, чем интеграл столкновений Ландау, так как оно учитывает нелокальность и запаздывание. Иногда это выражение называют обобщенным интегралом столкновений Ландау. [c.220]

Значительное число разложений, используемых при решении уравнения Больцмана, обладает тем свойством, что нулевой член разложений есть максвелловское распределение. Это свойство следует или из уравнения нулевого приближения, или из предположений, на которых основан метод возмуш ений. Мы будем изучать здесь именно такие разложения. Отметим, однако, что параметры в максвелловском распределении (плотность, массовая скорость, температура) могут произвольным образом зависеть от времени и пространственных переменных (в общем случае не требуется, чтобы максвелловское распределение удовлетворяло уравнению Больцмана). Но это не существенно при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не действует на пространственно-временную зависимость функции /. [c.80]

Рассмотрим теперь коэффициенты ( 1) определяемые соотношением (1.3). Легко видеть, что первый и последний члены суммы содержат функцию /о, которая, согласно сказанному выше, есть максвелловское распределение, и функцию / , т. е. /г-й коэффициент в разложении / в остальные члены (1 /г — 1) входят только //г порядка, меньшего чем п. Если подставить разложение (1.1) в уравнение Больцмана, то получим последовательность уравнений. Очевидно, что рекуррентное решение ее дает па /г-м шаге при к /г — 1. Следовательно, можно представить в виде суммы [c.80]

Наше разложение по существу равносильно перегруппировке разложения Гильберта в соответствии с некоторым новым критерием. Поэтому мы должны сохранить основной результат разложения Гильберта, являющийся необходимым условием построения замкнутой макроскопической теории из уравнения Больцмана, а именно то, что функция распределения зависит от временной и пространственных переменных только через р° . Другими словами, [c.123]

Как известно, ряд Чепмена — Энскога по существу есть разложение оператора таким образом, его сходимость имеет смысл только для определенного класса функций, на которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана для любого вида оператора столкновений легко получить нормальные решения, разложения которых определенно сходятся, так как оии состоят из конечного числа членов. Решения эти — полиномы по пространственным и временной переменным. Например, легко проверить, что не зависящая от времени функция [c.168]

Как мы знаем, теория Чепмена — Энскога в значительной мере заключается в разложении оператора поэтому сходимость имеет смысл только по отношению к определенному классу функций, па которые действует этот оператор. В случае линеаризованного уравнения Больцмана легко указать нормальные решения, разложения которых сходятся тривиальным образом, так как содержат только конечное число членов. Такова, например, асимптотическая часть На общего решения одномерных задач (IV. 7.44). [c.279]

РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ БОЛЬЦМАНА [c.344]

Допущения теории переноса. Ввиду того что для получения газодинамических уравнений используются только два члена в разложении Энскога для функции распределения, а также ввиду того, что решается только уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения скорости, здесь перечисляются условия, при которых можно ожидать, что будут иметь силу получающиеся газодинамические уравнения переноса. Только исследование этих условий позволяет полностью оценить ту скудную основу, на которой построена газовая динамика как наука в настоящее время, и понять, каким триумфом является то, что наука, построенная при таких ограничивающих предположениях, находится в разумном согласии с экспериментом в широком диапазоне условий. Это же помогает осознать необъятность задачи, которая возникает при распространении этой теории на области, которые в настоящее время не могут быть описаны теорией в ее теперешнем состоянии. [c.366]

Даже линеаризованное уравнение Больцмана ие так-то просто решить, поскольку оно остается интегральным уравнением. Общий подход заключается в разложении поправки к равновесной функции распределения по полному набору взаимно ортогональных функций. Выбор этих функций определяется тем соображением, чтобы можио было эффективно использовать нх ортогональность прн получении уравнений для коэффициентов разложения. Так как условие ортогональности должно содержать, как было сказано выше, и равновесную функцию распределения, т. е. максвелловскую экспоненту, требуется выбрать функции, для которых весовая функция в условии ортогональности была бы экспонентой. Как известно из математической физики, таковыми функциями являются обобщенные полиномы Лагерра. В кинетической теории газов обычно используют так называемые полиномы Сонина, отличающиеся от обобщенных полиномов Лагерра только нормировочным множителем. [c.215]

Из оценки (11.51) следует, что решения уравнения (11.49) при любых начальных данных экспоненциально быстро приближаются к решению У(0, /о, 0), зависящему только от длинноволновой компоненты гидродинамических функций. Решения уравнения Больцмана f f fo)=fo+V 0,fo,0) естественно считать нормальными. Их отличие от обычно рассматриваемых нормальных решений состоит в том, что оператор V нелокален для вычисления f fo) в точке х, I нужно знать значения /о 7 Х [0, ]. Однако при малых е вне начального слоя оператор ру хорошо аппроксимируется локальным. Действительно, рассмотрим формальное разложение [c.304]

Решение. Представим решение линеаризованного уравнения Больцмана х( < р) в виде разложения его по собственным функциям оператора столкновений [c.421]

Представление о нормальных функциях распределения лежит в основе традиционных методов решения уравнения Больцмана (или других кинетических уравнений). Оно было введено Гильбертом в 1912 г. Для этого великого математика уравнение Больцмана явилось прекрасным примером нелинейного интегродиффе-ренциального уравнения, и Гильберт рассмотрел его с математической точки зрения. Предложенный им метод решения не очень удобен для физических приложений. Проблема была рассмотрена вновь с аналогичной точки зрения Чепменом и независимо Энско-гом. Их методы (незначительно различающееся в деталях) дали идентичные результаты и с тех пор были объединены в известный метод Чепмена — Энскога. Сущность этого метода заключается в систематическом построении нормального решения в виде разложения в ряд вблизи состояния локального равновесия. Параметром разложения фактически служит величина градиентов однако разложение не является тривиальным рядом Тейлора (что приводило бы к некоторым трудностям), а представляет собой более тонкую процедуру. В качестве окончательного результата в приближении первого порядка непосредственно получаются выражения для коэффшщентов переноса, которые можно вычислить в явном виде для различных межмолекулярных потенциалов. Численные значения этих коэффициентов во многих важных случаях прекрасно согласуются с экспериментом. [c.94]

Многие разложения теории возмущений, которые применяются к уравнению Больцмана, обладают тем свойством, что членом нулевого порядка в них служит максвелловское распределение или как решение уравнения нулевого порядка, или как следствие предположений, лежащих в основе метода возмущений. Ограничиваясь далее этим случаем, заметим, однако, что параметры максвеллиана (плотность, массовая скорость и температура) могут произвольным образом зависеть от времени и координат (при этом он, вообще говоря, не является решением уравнения Больцмана), но это можно не принимать во внимание при рассмотрении оператора столкновений, поскольку он не затрагивает зависимости функции / от координат и времени. [c.182]

Следует особенно подчеркнуть замечательный успех описанных выше методов, потому что другие методы, основанные на разложении решения линеаризованного уравнения Больцмана в ряды по ортогональным полиномам, не оправдали ожиданий. В первом из этих методов, которым пользовались Ван Чан и Уленбек [57], а также Пекерис и его сотрудники [58], решение раскладывалось по собственным функциям максвелловского оператора результаты совершенно не согласовались с экспериментом. Поскольку Пекерис с сотрудниками использовал 483 момента ( ), мы заключаем, что их разложение, если оно и сходится, не приводит к правильному решению для больших значений со. [c.376]

Те же выводы косвенно подтверждаются результатами Миллера и Андреса [176], которые, стремясь сделать межмолекулярный потенциал реальным, взяли функцию распределения в форме (6.27), справедливую, согласно Виллису, Хамелю и Лину [177], только при Гц/Г1 2. В результате поведение Т ие следует закону г- вытекающему из (8.12). Законность пред положения о том, что свободную струю можно аппроксимировать сферическим источником, была подтверждена Гранди [178] при исследовании решения уравнения Больцмана для полностью осесимметричной свободной струи. Чтобы построить правильное решение уравнения Больцмана для максвелловских молекул, Гранди использовал сращиваемые асимптотические разложения. [c.427]

С математической точки зрения система уравнений Навье — Стокса представляет собой совокупность нелинейных уравнений в частных производных первого н второго порядка смешанного гинерболо-параболического типа. Эта система уравнений может быть получена феноменологически [1, 2] или при помощи кинетической теории газов в результате применения к решению уравнения Больцмана известного метода Чепмена — Энскога [6, 8—10] разложения функции распределения молекул по скоростям в ряд по степеням малого параметра. [c.13]

Значения коэффициентов Л] и Л2 приведены в диапазоне Кп = 0,01-100. В [9] для решения стационарного линеаризованного уравнения Больцмана в задаче о стоке на черную сферу пара из максвелловских молекул использовано разложение по ортогональным барнеттовским функциям и приведение уравнения Больцмана к системе связанных обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения. Для случая малого отличия параметров насыщения от параметров пара на бесконечности получено [9] [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...