Закон Гука степени

Закон Гука является приближенным. Для некоторых- материалов, таких, как, например, сталь, он соблюдается с большой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. В некоторых же случаях наблюдаются заметные отклонения от закона Гука. Например, для чугуна и некоторых строительных материалов даже при малых напряжениях закон Гука может быть принят только в грубом приближении. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, 2 в. И-. Феодосьев [c.33]

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию и внести тем самым некоторые обобщения в анализ конкретных конструкций. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р.. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и р зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки. [c.48]

Величина предела пропорциональности зависит от той степени точности, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой а=г/(е) от прямой а —Ее определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью о. В пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1/Я Обычно считают, что если величина й е/й)а оказалась на 50% больше чем 1/ , то предел пропорциональности достигнут. [c.61]

Вся изложенная теория упругих колебаний является приближенной в том же смысле, в[каком приближенна вообще вся теория упругости, основанная на законе Гука. Напомним, что в ее основе лежит разложение упругой энергии в ряд по степеням тензора деформации, причем оставляются члены до второго порядка включительно. Соответственно этому компоненты тензора напряжений оказываются линейными функциями компонент тензора деформации, и уравнения движения — линейны. [c.144]

Объяснение этому поразительному факту можно найти в рамках классической физики, если исходить из известного закона равномерного распределения энергии по степеням свободы. Если на каждую степень свободы системы приходится энергия, равная kT 12 (где А = 1,3807-10-23 Дж-К — постоянная Больцмана), то в соответствии с этим законом средняя энергия такой системы равна произведению числа степеней свободы на кТ/2. Этот результат, справедливый для идеальных газов, можно распространить на системы частиц, взаимодействующих между собой в том случае, когда силы взаимодействия гармонические, т. е. подчиняются закону Гука. [c.164]

Ранее установлено, что степень нагруженности растягиваемого стержня любого размера следует связывать с нормальным напряжением о в поперечном сечении. С возрастанием величины а материал конструкционного элемента последовательно проходит стадию упругого деформирования (с соблюдением закона Гука), стадию упругопластического деформирования и стадию разрушения. Границей между первой и второй стадиями служит состояние предельной упругости, когда напряжение равно пределу текучести, т. е. имеем условие [c.133]

При деформации металла расстояния между атомами под действием внешних сил изменяются по определенным направлениям, линии и плоскости, проходящие через атомы, искривляются, кристаллическая решетка искажается. Так как при этом равнодействующие сил притяжения и отталкивания между атомами уже не равны нулю, то в решетке будут действовать внутренние силы, стремящиеся вернуть атомы в положение равновесия. Зависимость между малыми смещениями атомов и силами взаимодействия с известной степенью приближения можно считать линейной. Суммарно это проявляется в линейной зависимости между смещениями точек тела и внешними силами, выражаемой законом Гука. [c.114]

Рассмотрение произвольной анизотропии не представляет каких бы то ни было принципиальных трудностей, вся техническая трудность состоит в необходимости решения алгебраического уравнения четвертой степени, корни которого, вообще говоря, комплексны. Для приложений нам будет достаточно ограничиться плоской задачей для ортотропного материала. Будем записывать уравнения закона Гука по отношению к осям упругой симметрии материала следующим образом [c.343]

Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду. Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию е = f(a) можно было бы с заданной точностью рассматривать как линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения = /(o ) С таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной при испытании материала. [c.43]

Найдем уравнение движения сечения 1 системы с одной степенью свободы (рис. XV. , а), в котором расположена сосредоточенная масса т под действием приложенной к ней силы Р = Р(с), изменяющейся по произвольному закону (рис. XV. 1,6). Пусть 5 — перемещение массы т в текущий момент времени от положения статического равновесия. По принципу Даламбера, если сила сопротивления не учитывается, масса т может считаться находящейся в равновесии под действием силы Р и силы инерции Q = —т5. Тогда по закону Гука в силах и перемещениях (1.14) [c.415]

Зависимость напряжений а от относительных удлинений при растя кении образца (рис. 10.1) для большинства материалов имеет начальный участок (о<о ц), который с достаточной степенью точности можно принимать прямолинейным. Это область, где считается справедливым закон Гука. [c.269]

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности (Стп)- Предел пропорциональности зависит от условно принятой степени приближения, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень [c.68]

При упругих деформациях на участке ОА (рис. 350) диаграмма растяжения близка к прямой, и можно с весьма большой степенью точности принять, что а пропорционально е. Так устанавливается закон Гука. [c.349]

Для материалов, не подчиняющихся закону Гука, как-то камень, цемент, кожа, чугун и др., — пользуются степенной зависимостью о " = е. Показатель ш, иногда близкий к единице, подбирается опытным путем. [c.25]

В общем случае анизотропии для описания закона Гука необходимо знать 36 упругих постоянных материала, из которых 21 будет независимой постоянной вследствие существования упругого потенциала. При этом упругий потенциал является функцией второй степени, инвариантной по отношению к любой координатной системе, тогда = с,- . [c.20]

Согласно (15.55) 1Г представляет собой однородную функцию второй степени относительно 2. , Ву,. .., Аналогично, подставляя в (15.52) выражения для в ,. .., угх, согласно закону Гука, через Од.,. .., т х, после интегрирования получили бы W в виде однородной функции второй степени относительно компонентов напряжения. [c.475]

Во 2-й строке таблицы приведены показатели степени у амплитуд перемещений (или деформаций) в выражениях рассеяния при циклических процессах, а в 3-й строке — вид замкнутых петель гистерезиса в координатах сила трения — перемещение. В 7-й. .строке те же петли перестроены относительно прямых, изображающих закон Гука. Здесь видно, как изменялась бы форма обычно записываемых петель, если бы законы трения соответствовали той или иной гипотезе. Площади петель относятся между собой как величины рассеяния в единице объема материала, причем все петли построены для пропорционального отношения амплитуд относительных деформаций е, eg eg = 1 2 3. [c.107]

Гистерезис. Вследствие внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании наблюдаются некоторые отклонения от закона Гука (даже при малых амплитудах) и связь между напряжениями и деформациями описывается не линейной зависимостью, а двумя криволинейными ветвями, образующими петлю гистерезиса. То же относится и к связи между нагрузкой на механическую систему с внутренним трением и соответствующим перемещением х. На рис. 11.18 показано, что в системе с одной степенью свободы полная сила сопротивления Р состоит из линейной составляющей, которая соответствует закону Гука, и неупругой составляющей Я, знак которой зависит от направления деформирования (плюс — при нагружении, минус — при разгрузке). [c.49]

Второе обстоятельство связано с тем, что закон Гука (3.47) как линейное соотношение вступает в противоречие с характером деформации прессовки в глобальном смысле. Например, при прессовании металлических и керамических порошков степень прессования может составлять 2 — 3 единицы, при прессовании некоторых материалов природного происхождения, таких, как торф, дисперсная древесина— 5 — 6. Таким образом, деформация всей прессовки в целом не является малой. [c.78]

Условия линеаризации третьей группы формул — закона упругости — определяются физическими свойствами материала тела, следует ли он линейному закону, Гука в пределах деформаций, которые Представляют интерес в рассматриваемой задаче. Хотя область, в которой закон Гука справедлив, ограничивается степенью малости деформаций, однако сравнивать их надо не с единицей, а с некоторыми характерными для каждого конкретного материала физическими константами, которые, как правило, сами весьма малы по сравнению с единицей. [c.281]

Когда перемещения достигают конечной величины, точки приложения сил двигаются по мере возрастания деформации (в общем) по кривым. И ясно, что закон Гука не может сохраняться по отношению ко всем составляющим какого-нибудь одного перемещения (ср. 21). Сохраняется ли он действительно в отношении соответствующей составляющей, является вопросом, на который путем эксперимента очень трудно ответить, так как необходимы в высшей степени точные измерения. Но в действительности границы упругой деформации столь узки, что едва ли необходимо такое уточнение. Нужно только (как и выше) установить, какие предположения были использованы при наших доказательствах, и помнить, что в практике перемещения почти всегда очень малы. [c.36]

Величина, обозначенная через Д, имеет важное физическое значение. За исключением одного или двух материалов, как, например, резина, все реальные материалы перестают подчиняться закону Гука, когда деформации имеют еще очень малые величины, и превышение их не допустимо в практике. Следовательно, мы не уменьшим ценности нашей теории, если примем, что произведениями двух деформаций, по сравнению с самими деформациями, можно пренебречь. Тогда с достаточной степенью точности мы можем принять, что объем прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рис. 37, после деформирования будет [c.159]

Эта формула выражает закон Гука при кручении. Входящий в нее коэффициент пропорциональности к в значительно большей степени зависит от радиуса цилиндра, а не его длины. Тонкие проволоки под влиянием даже очень малого вращающего момента закручиваются на значительный угол. Это их свойство используется для создания чувствительных подвесных систем в измерительных приборах, таких, как, например, крутильные весы Кавендиша (см. 25). [c.161]

Таким образом, упругий потенциал представляет собой однородную функцию второй степени относительно компонент деформации. Заметим, что закон Гука можно было бы а рг1ог1 определить как такое соотношение между напряжениями и деформациями, при котором упругий потенциал представляет собой однородную квадратичную функцию. [c.220]

Здесь напр1яжения выражаются не только через перные степени деформа-miii, k ik в обобщенном законе Гука (линейная упругость), но зависят и от ква-Д()атов деформаций (квадратичная теория упругости). [c.149]

Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности сгпц-Предел пропорциональности зависит от условно принятой степени приближения, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую. Степень отклонения кривой ст = f e) от прямой а = Ее определяют по величине угла, который составляет касательная к диаграмме с осью а. В пределах закона Гука тангенс этого угла определяется величиной 1/Е. Обычно считают, что если отношение dejda оказалось на 50 % больше, чем 1/ , то предел пропорциональности достигнут. [c.80]

Пример 21.16А. Маятник на упругой нити. Эта задача отличается от обычной задачи о колебании маятника тем, что неунругая нить заменена упругой, подчиняющейся закону Гука. Система имеет две степени свободы и та = 4. [c.428]

Отметим, что выражения передаваемых сил лучше отражают реальные петли гистерезиса, так как степень косинусов обеспечивает появление высших гармоник у сил внутреннего трения. За счет резкого уменьшения второго члена вблизи фазы a>t = nl2 петли получают острые вершины (табл. 2.3, д, ж), наблюдаемые и в экспериментах. Максимальные напряжения при этом можно определять без поправок на силы трения, как это делалось пофиг. 2. 1 и формулам (2. 3) и (2. 6), прямо по закону Гука. = Bbq и Yoi [c.100]

При сборке ответственных шпилек, болтов компрессоров, турбин и т. п. применяется измерение величины деформации болта (его удлинение) под действием затяжки. Удлинение болта характеризует степень затяжки. Контроль удлинения болта производится микрометром (рис. 298) или индикатором (рис. 299). В первом случае вначале осуществляется замер микрометром длины болта перед затяжкой и затем замер болта после затяжки. Разница в измерениях дает величину затяжки "кзат- Во втором случае ножка индикатора касается не стержня болта, а металлического контрольного штифта I (см. рис. 299). При затяжке болта, как было указано выше, он удлиняется вследствие упругой деформации металла, а штифт не меняет своей длины, поэтому его торец углубляется в отверстие болта. Так как удлинение болта прямо пропорционально (по закону Гука) прилагаемому усилию при затяжке гай- [c.501]

Вообще говоря, зависимость I (tf) на изотерме имеет, конечно, более сложный характер. Однако с точностью, вполне достаточной для выполнения подавляющего большинства ответственных прочностных расчетов, оправдывается закон Гука — наиболее простое уравнение изотермы упруго деформируемого стержня. Иными словами, для подавляющего большинства материалов модуль Юнга Е при Т = onst сохраняется постоянным при любых значениях упругих деформаций е. (Понятно, что линейная зависимость может быть справедливой лишь для малых деформаций. Однако поскольку для большинства веществ лишь малые деформации являются упругими, уравнение (10-16) оказывается тем самым справедливым для любых упругих деформаций следовательно, отпадает необходимость в использовании более сложных степенных зависимостей.) Вместе с тем следует отметить, что для некоторых материалов, таких как камень, бетон, чугун и в особенности ряд пластмасс, Е заметно меняется с изменением е. В дальнейшем, однако, мы будем считать, ч чэ величина Е не зависит от е. [c.205]

Переменной жесткостью обладают муфты с неметаллическими упругими элементами, материалы которых (резина, кожа и т. д.) не подчиняются закону Гука, а также муфзы с металлическими упругими элементами, условия деформирования которых задаются конструкцией. От характеристики жесткости упругой муфты в значительной степени зависит способность машины переносить резкие изменения нагрузки (удары) и работать без резонанса колебаний. Например, допустим, что работа в точке А муфты с переменной жесткостью (рис. 17.9) соответствует условиям резонанса. При этом будет возрастать амплитуда колебаний и максимальные значения Т и q> дойдут до точки В. Но в точке В муфта имеет другую жесткость, при которой резонанса нет. Система будет возвращаться к точке Лит. ц. Следовательно, при муфте с переменной жесткостью не может быть резонанса в полном смысле этого понятия. [c.374]

Обсуждаемые в данной книге приложения будут относиться к случаю упругого материала, для которого зависимости напряжения от деформаций выражаются хорошо известным и относительно. простым законом Гука, который будет формально выписан в 3.1 при обсуждении задач, теории упругости. Реальные материалы не следуют этому закону в точности. Некоторые, подобно чугуну, обладают слабо, нелинейной зависимостью напряжения от деформаций. Но даже те, у которых на первый взгляд эта зависимость линейна вплоть до предела упругости, демонстрируют едва заметное различие в поведении при нагружении и разгрузке (упругий гистерезис, который имеет, по-видимому, существенное значение в связи с усталостью материалов) при этом обнаруживаются и температурные эффекты, проявляющиеся в различии температурных постоянных при изотермическом (при очень медленном изменении деформаций) и адиабатическом (при очень быстром изменении деформаций) нагружении, они до некоторой степени аналогичны электростатическим эффектам. Подобные отклйнения от закона Гука, как правило, не важны для практических задач и не будут рассматриваться здесь. [c.28]

Судя по публикациям, нет единого мнения в оценках области применения линейного закона Гука в зависимости от деформаций. В работах Г. М. Бартенева [9, 10] установлены пределы пропорциональности для мягких рези11 200-300%, для наполненных резин до 50%. По данным Е. Т. Григорьева [50] линейный закон для истинных напряжений остается справедлив до деформаций 25%. В. Н. Потураев [147] утверждает, что допустимо использование закона Гука при деформациях, не превышающих 5-10%, причем область применения несколько расширяется — до 20-30%, если формулировать закон для истинных напряжений. Авторы [149] полагают, что предел пропорциональности в зависимости от степени наполнения резины изменяется от 1-10 до 50% и более для слабонаполненных резин. [c.12]

Раньше уже отмечалось, что среди специалистов нет единой точки зрения относительно пределов изменения деформаций резиноподобных материалов, когда применим линейный закон Гука. Пределы пропорциональности зависят от степени наполнения резины и множества других факторов. Для слабоиа-полненных высокоэластичных ре зип, которые используются при изготовлении многослойных резинотехнических элементов, предел пропорциональности составляет 30--50%. [c.282]

Трудно найти область человеческих знаний, в которой в той или иной степени не использовались бы соображения симметрии. Широко ими пользуются и в теории упругости при рассмотрении как естественных, так и искусственно созданных анизотропных сред. В параграфе 17.1 приводятся сведения о преобразованиях симметрии, необходимые для выяснения структуры закона упругости для анизотропных тел. В параграфах 17.2—17.8 излагается круг вопросов, связанных с законом Гука для анизотропных материалов. Особое внимание уделяется несжихмаемому ортотроп-ному материалу в плоском напряженном состоянии. Оригиналь- [c.285]

Однако несмотря на это, для ряда практически важных конструкционных материалов степень отклонения этой зависимости от линейной в достаточно большом и именно рабочем диапазоне значений напряжений итоль невелика, что при построении инженерной теории вполне может быть принят закон Гука. Линейная зависимость с этой точки зрения рассматривается как аппроксимация экспериментально обнаруживаемой зависимости, но аппроксимация, практическое значение которой трудно переоценить. [c.13]

Важный вывод, отмеченный как Мемке, так и Бахом, состоял в том, что степенная зависимость между напряжением и деформацией описывала малые деформации таких несходных материалов, как медь, чисто цементный камень или кожа. Им казалось совершенно естественным считать, что это открытие было столь же фундаментальным, как открытие закона Гука более двухсот лет тому назад. [c.164]

Никто из участников этой дискуссии конца столетия, по-видимому, не был настолько хорошо знаком с тонкостями механики сплошных сред для того, чтобы изучить далеко идущие следствия, вытекающие из принятия нелинейной зависимости между напряжением и деформацией при инфинитезимальных деформациях в области перехода от растяжения к сжатию через нулевую точку. Примерно в одно и то же время мы видим попытки Вильгельма Шюле (S hflle [1902,1]) обобщить степенной закон для изучения изгиба и Марселя Бриллюэна (Brillouin [1898,1]), пытающегося использовать герцевскую теорию контакта для доказательства того, что влияние захватов и соответствующее смещение точки приложения нагрузки может объяснить получающуюся нелинейность, т. е. что закон Гука только кажется нарушенным. Эти доводы Бриллюэна (там же), по-видимому, не заинтересовали никого, а эксперименты [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...