Обобщенно-потенциальная сила равновесия

Предположим теперь, что наряду с потенциальными силами упругости, стремящимися вернуть систему, отклоненную от системы устойчивого равновесия, обратно в это положение, на систему действуют возмущающие силы, зависящие от времени. Обозначая, как и выше, через Г и Я кинетическую и потенциальную энергии системы, а через t) я ( ) обобщенные силы, соответствующие возмущающим моментам, причем первая приложена к системе звездочки с приведенным моментом инерции а вторая — к системе обоймы с приведенным моментом инерции /а. имеем уравнения движения [c.52]

Как известно, при составлении дифференциальных уравнений малых колебаний механической стационарной системы относительно положения равновесия нужно определять квазиупругие коэффициенты характеризующие действующие на систему потенциальные силы. Величины Сг равны вторым производным потенциальной энергии П по обобщенным координатам причем эти производные вычисляются для положения равновесия. Для нахождения коэффициентов обычно предварительно строится выражение П(91, 2, Яп)- Такой путь в некоторых случаях может оказаться весьма трудоемким. Ниже излагается прием, позволяющий находить величины рассматривая некоторое движение системы в положении равновесия и решая соответствующую кинематическую задачу. [c.109]

Рассмотрим стационарную голономную систему с п степенями свободы, положение которой определяется независимыми обобщенными координатами равными нулю в положении равновесия. Пусть на систему действует некоторая совокупность потенциальных сил. Запишем выражение для второй производной потенциальной энергии по времени в некотором движении 9г = 9г(0 из положения равновесия, причем счи- [c.109]

Пусть на потенциальную систему с двумя степенями свободы, движущуюся около положения устойчивого равновесия, действуют, помимо потенциальных сил, еще силы вязкого трения. Обобщенные силы сопротивления вычислим по формуле (20.92) [c.497]

Примером применения преобразования Лежандра может служить обобщенная теорема Кастильяно. Рассматривается равновесное положение системы с идеальными связями, на которую действуют активные силы двух видов потенциальные силы, определяемые потенциальной энергией 11( 1.....и силы Р,,. .., / у, называемые нагрузками. Сумма элементарных работ всех сил на виртуальных перемещениях точек системы из положения равновесия должна быть нулем [c.501]

Начнем с рассмотрения системы, имеющей конечное число степеней свободы, могущей совершать малые колебания около положения устойчивого равновесия в поле потенциальных сил. В этом случае кинетическая и потенциальная энергии представляют квадратичные формы обобщенных скоростей и соответственно обобщенных координат с постоянными коэффициентами [c.689]

В предыдущем параграфе мы рассмотрели две системы уравнений равновесия в декартовых координатах и обобщенных. Они будут справедливы и для потенциальных сил. Если не стоит специальная задача по определению сил реакции, то система уравнений равновесия в обобщенных координатах предпочтительней, так как сил реакции не содержат. Итак, используем условие (19.10) [c.174]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Заметим, что в этой задаче обобщенная сила Q может быть легко вычислена и другим путем. Составим выражение потенциальной энергии системы, выбрав за нулевой уровень положение равновесия груза Я. Тогда [c.589]

Как только что было сказано, при изучении малых колебаний, принимают потенциальную энергию в положении устойчивого равновесия системы, равной нулю, следовательно, /7 о = 0. Кроме того, учтем, что производная от потенциальной энергии по обобщенной координате равна и обратив по знаку обобщенной силе (230), а обобщенная сила в положении равновесия системы равна нулю, следовательно, и второй член ряда равен нулю, и с точностью до величин второго порядка малости получаем выражение потенциальной энергии системы через обобщенную силу [c.268]

В положении равновесия механической системы каждая обобщенная сила Qi равна нулю. Для случая потенциального силового поля обобщенные силы через потенциальную энергию выражаются по формулам [c.409]

Потенциальную энергию /7о в положении равновесия при = О примем равной нулю. Величина дП/дд)о есть значение обобщенной силы Q в положении равновесия системы, равное нулю. [c.415]

Полагая в этом случае, что потенциальная энергия П задаваемых сил также выражена в независимых обобщенных координатах, будем иметь по (50) и (51) условия равновесия системы в виде [c.322]

Решение. Примем за обобщенные координаты углы отклонения стержней от вертикали qjj и ф2 Вычислим потенциальную энергию системы как сумму потенциальной энергии системы в поле сил тяжести //,, потенциальной энергии деформированных пружин Я,, и потенциальной энергии системы в положении равновесия Пд-. [c.17]

К звеньям механизма, помимо сил тяжести, могут быть приложены другие силы, которые, не будучи по своему характеру потенциальными, тем не менее в течение рассматриваемого интервала времени либо остаются постоянными по величине и направлению, либо изменяются сравнительно медленно ). Чтобы определить положение равновесия механизма, устанавливающееся в соответствии с воздействием этих сил, применим общее условие равновесия, согласно которому в положении равновесия обобщенный момент механизма равен нулю, [c.113]

Рассмотрим колебания твердого тела, находящегося в потенциальном поле сил (гравитационном поле Земли, поле упругих сил и т. д.). Положение твердого тела при его колебаниях относительно положения равновесия будем определять шестью обобщенными координатами , т), б, ф, ф, первые три из которых являются координатами центра масс тела, а остальные — углами Эйлера, выбранными по одному из известных способов. В рассматриваемой задаче будем считать, что перемещения т), и углы б, г[), ф не малые, но такие, что в уравнениях движения твердых тел с приемлемой точностью могут быть сохранены только члены не выше третьего порядка относительно координат и их производных. [c.264]

Название соответствующего раздела в первой из работ Лагранжа вполне характеризует суть дела Общий метод для определения движения любой системы тел, действующих друг на друга, в предположений, что эти тела совершают только бесконечно малые колебания около их положений равновесия ( тела и здесь, конечно,— материальные точки). Как это до сих пор излагается в курсах теоретической механики, Лагранж показывает, что живая сила системы Т, с точностью до величины высшего порядка малости, является квадратичной формой первых производных от обобщенных координат, а. потенциальная энергия V — квадратичной формой самих координат (коэффициенты в Г и F —постоянные) и составляет уравнения движения вида [c.265]

Система с одной степенью свободы характеризуется обобщенной координатой q. Если на эту систему действуют силы потенциального поля, то потенциальная энергия является функцией обобщенной координаты П(9). Положение равновесия системы соответствует условию dn/d9=0, а устойчивое равновесие — минимуму потенциальной энергии. Колебания системы с одной степенью свободы (одномерный осциллятор) описываются потенциальной энергией U x)= iX /2 и кинетической энерги- [c.150]

Эти же условия равновесия можно получить, не прибегая к вычислению обобщенных сил, а разыскивая экстремумы потенциальной энергии. По (5.5.6) она лишь аддитивной постоянной и несущественным положительным множителем отличается от квадратичной формы [c.269]

Сначала докажем сформулированную теорему, предполагая, что диссипативные силы отсутствуют, т. е. предполагая, что полная энергия системы сохраняется (Е=Ео). Положение де , в котором потенциальная энергия системы минимальна, является положением равновесия. В самом деле, обобщенные силы, приложенные к системе, покоящейся в этом положении, равны нулю (см. (5.76) и (6.21)) [c.264]

Решение. 1. Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания (рис. Д12, б). Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ф отклонения стержня от вертикали, считая ф малым, и составим для системы уравнение Лагранжа, Поскольку все действующие активные силы (сила упругости и силы тяжести) потенциальные, вырази.м обобщенную силу через потенциальную энергию II системы. Тогда исходным уравнением будет [c.106]

Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют как потенциальные силы, так и другие заданные силы F, F ,. .., Fn. Ограничиваясь случаем системы с двумя степенями свободы со стационарными связями, будем определять ее положение независимыми обобщенными координатами q и q , отсчет этих координат производится от состояния устойчивого равновесия, в котором система находилась бы при действии только потенциальных сил. Потенциальная энергия Xl(qi,q2) в этом положении имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил Fs малом отклонении от него в новое положение равновесия выражается знакоопределенной положительной квадратичной формой вида (4). [c.572]

Предположим, что к потенциальной системе, движущейся вблизи положения устойчивого равновесия, приложены также возмущающие силы. Обозначим обобщенную возмущающую силу, соответствующую обобщенной координате через Qj t). Тогда дифференциальные уравнения движения можно получить, присоединяя к уращениям (20.59) обобщенные силы Qj (/) (для простоты силами сопротивления пренебрегаем) [c.504]

Равновесие, устойчивое нри потенциальных силах, становится асимптотически уст011чивым прп добавлении диссипативных сил, если последние обладают полной диссипацией, т. е. если совокупность диссипативных сил явно зависит от всех обобщенных скоростей системы. [c.60]

Потенциальную энергию в положении равновесия (Я)п принимаем равной нулю величины (дШддУ = О, дГИЗд. = О как значения обобщенных сил в положении равновесия системы. Окончательно, удерживая члены второго порядка и пренебрегая слагаемыми третьего и более высокого порядка, потенциальную энергию выразим в форме [c.456]

Отбрасывая несущественную постоянную в выражении нотен-циальной энергии, можем положить П(0)=0 кроме того, как уже было показано ранее, в положении равновесия системы равна нулю обобщенная сила, а следовательно, и первая производная от потенциальной энергии [c.480]

Формула (У1.21) выражает теорему Клапейрона в положении статического равновесия потенциальная энергия деформации равна сумме половин произведений обобпденных сил на соответствующие им обобщенные перемещения. [c.210]

Пусть положение стационарной голономной системы определяется обобщенными координатами д, . .., < , которые выбираются таким образом, что в невозмущеином равновесии системы все они равны нулю. Под к понимается либо полное число параметров, характеризующих отклонение системы от ее невозмущенного равновесия, либо число тех параметров, которыми с достаточной точностью можно описать это отклонение. Активные внешние силы — консервативные и неконсервативные — полагаются пропорциональными параметрам риг соответственно. По-прежнему через и обозначается потенциальная энергия деформации системы, а через V и V — потенциал внешних сил и силовая функция единичной нагрузки, так что V = —р9. В случае малых перемещений системы эти функции могут быть представлены как квадратичные формы от обобщенных координат [c.431]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

В ЭТОМ разделе мы опишем частный критерий для хаотических колебаний в задачах с потенщ1алом, имеющим много ям. К числу таких задач относится продольный изгиб балки (гл. 2) и магнитный дипольный двигатель с многими полюсами. В физике твердого тела междоузельный атом, внедренный в регулярную решетку, может иметь несколько положений равновесия. Нередко силы, действие которых приводит к такого рода движениям, являются потенциальными. Пусть [д/] — набор обобщенных координат, а V(g ) — потенциал, связанный с консервативной частью силы, такой, что -дУ/дд/ есть обобщенная сила, соответствующая /-й степени свободы (координате д/). Для одной степени свободы частный случай уравнений движения имеет вид [c.193]

Рассмотрим виды равновесия для одномерного случая (система описывается одной обобщенной координатой). На рисунке 19.4 изображен график потенциальной энергии при наличии точек минимума, максимума и перегиба. Минимуму соответствует устойчивое равновесие системы, так как отклонение изображающей точки (в пространстве д) от положения равновесия ведет к росту энергии 11, т. е. к возникчовению сил, возвращающих систему к равновесию. Наоборот, максимуму соответствует неустойчивое равновесие, так как система, выйдя из него, удаляется от равновесия дальше и дальше. Точке перегиба соответствует седлообразное равновесие, система стремится к возвращению в положение равновесия при ее отклонении в сторону увеличения энергии и удаляется от положения равновесия в противоположном случае. Наконец, если график U представлен прямой, параллельной оси q, то равновесие системы безразличное. [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...