Продольные волны в цилиндрическом стержне

Распространение продольных волн в цилиндрических стержнях [c.465]

Продольные волны в цилиндрических стержнях по существу не отличаются от волн в пластине [127 140 152], но распространяются со [c.252]

В предыдущих двух параграфах мы занимались довольно экзотическими типами волн. Теперь перейдем к чаще всего встречающимся продольным волнам, имеющим в акустике наибольшее значение рассмотрим одномерную волну сжатия в упругой среде. Примерами могут служить плоские волны в неограниченной среде, продольные волны в газе или жидкости, заключенных в цилиндрическую трубу, продольные волны в упругом стержне. [c.26]

Приближенность приведенного подхода состоит в предположении, что плоские поперечные сечения стержня остаются плоскими при прохождении волн напряжения, а напряжение равномерно распределено по каждому поперечному сечению. Между тем продольные удлинения и сокращения отрезков стержня обязательно сопровождаются поперечными сокращениями и расширениями, причем отношение поперечных и продольных деформаций равно пуассонову отношению V. Это поперечное движение приводит к неоднородному распределению напряжений по поперечному сечению стержня, так что плоские поперечные сечения искажаются. Влияние поперечного движения в цилиндрических стержнях будет рассмотрено позже, причем будет показано, [c.48]

Элементарная теория распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней, описанная в начале этой главы, может быть распространена на стержни любого поперечного сечения, если только длина волны велика по сравнению с его поперечными размерами. Согласно этой теории, продольные волны распространяются с постоянной скоростью Со = (f/p) , а скорость крутильных волн должна зависеть от формы поперечного сечения, но для любой данной формы она постоянна. Изгибные же волны испытывают дисперсию фазовая скорость синусоидальных изгибных волн с длиной волны А равна 2т Л Со/Л, где К—радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной оси стержня и лежащей в нейтральной поверхности [см. уравнение (3.26)]. Когда длины волн становятся сравнимыми с поперечными размерами стержня, написанное соотношение теряет силу и для исследования природы распространения надо использовать точные уравнения теории упругости. Точная теория для цилиндрических стержней была рассмотрена в предыдущих параграфах, но для стержней некругового поперечного сечения анализ становится чрезвычайно сложным, и лишь в немногих случаях были сделаны попытки найти решения. [c.74]

При использовании продольной моды, изменяющейся по синусоидальному закону сила прикладывается к одному концу тонкого цилиндрического стержня, а продольные колебания измеряются на противоположном конце стержня. Датчик другой конструкции применяется для генерирования крутильных колебаний на возбуждаемом конце стержня на противоположном конце в этом случае измеряется амплитуда угловой скорости вращения. На самой низкой частоте резонанса стержень имеет длину в несколько полуволн, а его диаметр мал по сравнению с длиной волны. В этом низкочастотном диапазоне продольные волны в отсутствии поглошения распространяются без дисперсии со скоростью, определяемой модулем Юнга Су—( /р) / -. Можно показать, что в почти упругом тонком стержне продольные волны распространяются практически с такой же скоростью, а поглощение проявляется в экспоненциальном уменьшении амплитуды с расстоянием [см. формулу (4.32)]. Если, например, сила действует на один конец стержня (рис. 4.16), то волна распространяется в положительном направлении оси х, вызывая силу, пропорциональную лух На свободном конце волна отражается отра- [c.118]

ПИЙ ИЛИ поршней). Если пренебречь еще трением между различными слоями среды, то приходим к задаче о распространении плоских продольных упругопластических волн в стержне, заключенном в абсолютно твердую и гладкую цилиндрическую оболочку, причем концу этого стержня сообщается скорость v (t), закон изменения которой во времени определяется законом V (t) и формой боковой поверхности внедряющегося тела (рис. 178, б). [c.284]

Выражение (IX.7.16) представляет собой основное дисперсионное уравнение сплошного цилиндрического стержня, которое справедливо для всех целых п О. Уравнение (IX.7.16) определяет различные семейства нормальных волн. В частности, если /г=1, то имеется семейство изгибных нормальных волн, аналогичное семейству изгибных волн в пластине. При п 2 имеется семейство изгибных нормальных волн кругового порядка. Для п==0 дисперсионное уравнение сводится к произведению двух сомножителей — элемента второй строки третьего столбца и его минора. Первый сомножитель дает дисперсионное уравнение для крутильных волн, второй— дисперсионное уравнение для семейства продольных нормальных волн в твердом цилиндре. [c.426]

Позже будет показано, что уравнение (3.18) можно вывести из общих соотношений упругости и, в отличие от уравнения (3.12) для продольных волн, (3.18) дает точное описание распространения крутильных колебаний вдоль круглого цилиндра, когда каждое сечение цилиндра вращается как целое. Импульс крутильных колебаний такого вида распространяется вдоль цилиндрического стержня без дисперсии, если материал стержня совершенно упруг. [c.53]

Задачи о нестационарных волнах, возникающих в элементах конструкций при действии локальной неподвижной нагрузки, разбираются в главах V и VI. Здесь исследуются продольные и изгиб-ные волны в стержне, пластине, круговом кольце и в круговой цилиндрической оболочке. Сопоставляются результаты, вытекающие из теории упругости и из приближенных уравнений. Анализируется действие принципа Сен-Венана в динамике. [c.6]

Как указано в гл. 2, колебания в бесконечной пластине обладают многими свойствами, присущими колебаниям в круглом цилиндре. Так, например, можно провести аналогию между зависимостью задержки от, толщины в случае распространения волн в пластине и зависимостью задержки от диаметра для случая круглого цилиндра. Существует семейство продольных нормальных волн, напоминающее по характеристикам задержки продольные нормальные полны в проволоке. А характеристики задержки семейства изгибных нормальных волн по форме похожи на характеристики семейства изгибных нормальных волн п проволоке при п Однако никаких нормальных волн, соответствующих волнам в проволоке при /г > 1, не существует в этом состоит большое преимущество пластин перед цилиндрическими стержнями с точки зрения их применения для создания дисперсионных линий задержки. Как следует из кривых фазовой скорости, приведенных на фиг. 23, в области, где первая продольная нормальная волна имеет линейную характеристику задержки, не существует двух нормальных волн, обладающих одинаковыми фазовыми скоростями при данной частоте. Таким образом, в этом диапазоне частот не существует влияния критической частоты, которое наблюдается в проволочных линиях задержки. [c.534]

Поверхностные волны Релей 83 Полное отражеиие 43 Постоинные Ляме 17, 83, 178 Предел пропорциональности 150 Прибор Гопкинсона 85 Принцип суперпозиции 108 Продольные волны в цилиндрическом стержне 60 [c.190]

Таким образом, основная часть продольной волны в цилиндрической оболочке та же, что и в пластине, но скорость квазифронта здесь равна скорости квазифронта в стержне. [c.253]

Догадайся Сирс, что теория Герца применима к закругленным концам, в то время как теория Сен-Венана применима только вдали от произвольно выбранной точки у поверхности удара, эти закругленные концы подсказали бы ему возможность перехода от мгновенного скачка давления при ударе к постепенному его возрастанию. Корреляция между экспериментальными результатами и полуэмпи-рической теорией имела своим, достойным сожаления, следствием создание впечатления, что возникновение и распространение в цилиндрических стержнях волн в результате продольного удара уже хорошо поняты. В связи с этой корреляцией Сирс напомнил, что [c.421]

Еа = Кривые нанесены в безразмерной форме скорость взята в виде отношения / q, где q — скорость распространения при нулевой частоте, причем =.EJp, а демпфирование выражено через величину a fl/jo и пропорционально специфическому рассеянию в теле. Из фигуры можно видеть, что демпфирование максимально при /7t=1,18 и что при частотах выше или ниже этого значения оно быстро падает. Можно провести сравнение кривой скорости на фиг. 28 с дисперсионными кривыми, показанными на фиг. 14, для продольных волн в упругом цилиндрическом стержне. Дисперсия в последнем вызвана чисто геометрическими факторами, здесь же она обусловлена вязко-упругими свойствами тела. Интересно отметить, что тенденции дисперсии противоположны в этих двух случаях высокочастотные волны распространяются быстрее низкочастотных в вязко-упругом теле, тогда как в упругом цилиндре, диаметр которого сравним с длиной волны, имеет место обратное. Интересно было бы исследовать распространение волн в вязко-упругом цилиндре, диаметр которого сравним с длиной волны, поскольку здесь имеют место два противоположных эффекта. [c.115]

Основы теории волн в упругом цилиндрическом стержне были созданы Похгаммером и Кри еще в конце прошлого века. Было установлено наличие различных форм собственных волн. В дальнейшем исследования по распространению нестационарных волн в элементах упругих конструкций проводились, как правило, на основе приближенных уравнений, которые получали из соответствующих уравнений статики. Добавление к этим уравнениям инерционных членов позволило построить решения задач о распространении волн, однако некоторые выводы при этом оказались в противоречии с результатами теории упругости. Так, скорость распространения возмущений при динамическом изгибе стержня, определенная по уравнению Бернулли — Эйлера, не имеет верхнего предела, в то время как по теории упругости она должна быть ограничена скоростью продольных волн в сплошной среде. Упомянутое уравнение вообще не позволяет установить наличия фронтов волн. Скорость продольной волны, определяемая приближенным уравнением продольных колебаний стержня, хотя и ограничена, но не совпадает с соответствующей скоростью из теории упругости (см. 35). [c.10]

Одной из задач, которая детально изучена как теоретически, так и экспериментально, является задача о распространении волн напряжений в длинном цилиндрическом стержне. Она унро-ш ается, если длины волн гораздо больше диаметра стержня. Скорость распространения продольной волны вдоль стержня в этом случае [c.368]

Второй путь построения приближенных теорий заключался в введении гипотез физической природы относительно характера распределения смещений и напряжений. Использование вариационных принципов приводило к искомым уравнениям движения и граничным условиям. Таким образом были построены уточненные уравнения продольных и поперечных колебаний, учитывающие влияние инерции поперечного движения (Рэлей (1878)), теория изгибных колебаний круглой пластины (Кирхгоф (1852)), различные варианты теории цилиндрических и сферических оболочек [123]. С. П. Тимошенко (1921) показал, что учет деформации сдвига в поперечном сечении также важен при поиске адекватных моделей поперечных колебаний стержней. Отметим, что поправки на скорость распространения волн в бесконечном цилиндре, получаемые из уточненных теорий колебаний стержней, совпадали с несколькими первыми членами разложения точных решений Похгаммера — Кри. [c.14]

Прежде чем закончить описание теории распространения волн расширения в стержнях, следует упомянуть о подходе к ней Гибе и Блехшмидта [41], поскольку на основе этой теории было проведено большинство последующих экспериментальных исследований в Германии и в Америке. Согласно этой теории, вибрирующий стержень можно рассматривать как две отдельные механические системы, каждая из которых обладает своим спектром резонансных частот. Наблюдаемые резонансные частоты стержня рассматриваются как результат взаимодействия этих двух механических систем. Для цилиндрического стержня первый спектр резонансных частот берется таким же, как для стержня бесконечно малого поперечного сечения при продольных колебаниях, а второй спектр — таким, как в диске бесконечно малой толщины при радиальных колебаниях. Гибе и Блехшмидт предположили, что могут возбуждаться только фундаментальные частоты радиальных колебаний, которые комбинируются с различными возможными формами продольных колебаний. [c.66]

Собственные колебания цилиндрических стержней неоднократно использовались для определения упругих постоянных изотропных и кристаллических материалов. Так, Баламут [1661 использовал собственные колебания цилиндрических стержней для нахождения температурной зависимости постоянной с , а Розе [1753]—для нахождения температурной зависимости остальных постоянных каменной соли. Сигел [1930] получил этим методом следующие значения для упругих постоянных монокристалла натрия с 1=3,26-10 , с = = 1,79-101 и с, = 2,3- 0 дин см . Сигел [19311 дает также обзор различных методов возбуждения колебаний в таких стержнях и связанных с этим вопросов. Вслед за Бойлем и Спроулем [344] Нортвуд [1432] измерил скорость продольных волн во льду, определяя резонансную частоту длинных ледяных стержней. [c.390]

Основное явление, проиллюстрированное приведенным выше аналитическим примером, состоит в том, что нестационарная магнитная индукция, направленная по касательной к поверхности, вызывает волны с жимающих напряжений в проводящем теле. Чтобы показать это явление в эксперименте, удобней иметь дело с телом цилиндрической формы, чем с прямоугольной геометрической схемой, рассмотренной в аналитическом решении. Поэтому на конце цилиндрического медного стержня около 2 м длиной создавали радиально направленное нестационарное магнитное поле. Плоскую спиральную катушку диаметром около 7,5 см (3 дюйма) помещали на конце медного стержня диаметром 5 см (2 дюйма). Магнитное поле в продольном и радиальном направлениях создавали путем разрядки накопленного в батарее конденсаторов заряда через катушку (см. рис. 5). Три конденсатора по 850 мкФ были заряжены до 400 В, накопленная энергия составляла около 200 Дж. Нестационарный [c.109]

Подсчеты показывают, что первая форма ), даваемая кривой 1 на фиг. 14, соответствует колебаниям, при которых до определенного значения а/А, равного приблизительно 0,375 при v= 0,29, узловых цилиндрических поверхностей не возникает. При указанном значении узловой цилиндр появляется на поверхности стержня, а при ббльших значениях а/А эта форма колебаний имеет один узловой цилиндр. Вторая форма (кривая 2 фиг. 14) имеет два узловых цилиндра и т. д. Вид колебаний зависит от начальных условий, причем экспериментально обнаружено, что обычно возбуждается первая форма. Как и можно было ожидать на основании того факта, что при больших а/А фазовая скорость для первой формы стремится к скорости поверхностных волн, обнаружено, что продольное перемещение при этих условиях очень велико на поверхности цилиндра и быстро убывает с глубиной, что аналогично волнам Релея в поверхностных слоях полубесконечной среды. [c.64]

Адольф, Кнезер и Шульц [2286] выполнили измерения крутильных, продольных и изгибных колебаний цилиндрических стальных стержней вплоть до частот, при которых длина волны становится почти равной диаметру стержня. Отклонения от гармоничности, наблюдаемые при продольных колебаниях, находятся в согласии с расчетами Банкрофта [170]. Гатто [2868] исследовал теоретически и экспериментально вопрос об изменении собственных частот продольных колебаний стержня при наличии двух или многих отверстий, расположенных симметрично относительно середины стержня. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...