Шаблон разностной схемы

При записи разностного уравнения для какого-либо узла используют значения функции в узлах, лежащих в окрестности рассматриваемого. Конфигурацию этих узлов называют шаблоном разностной схемы. На рис. 3.7 показаны варианты шаблонов для нестационарной одномерной задачи. При составлении разностной схемы по шаблону, приведенному на рис. 3.7, а, для вычисления [c.61]

T. e. 1 ,1 = и условие Неймана выполняется при любом т. Рассмотренные явные схемы для уравнения (3.1) или неустойчивы (схема правый уголок ), или условно устойчивы при выполнении неравенства т//г<1. Последнее обстоятельство связано с взаимной ориентацией характеристик уравнения (3.1) и шаблона разностной схемы. [c.90]

Шаблон разностной схемы 76 Шаги сетки 75 [c.230]

Обычно разностная схема использует некоторое конечное множество точек сетки. Это множество называется шаблоном разностной схемы. Например, схема (1.11) имеет шаблон, показанный на рис. 7. Обозначим через й сеточную функцию, определенную на шаблоне разностной схемы и имеюш,ую вид [c.23]

Разностное уравнение не для всех узлов может быть записано по принятому шаблону. Например, для граничных узлов разностная схема имеет свои особенности. Узлы, для которых разностное уравнение записано по принятому шаблону, называют регулярными, а остальные узлы — нерегулярными. [c.62]

Можно выделить три основных способа составления разностных схем на заданном шаблоне метод разностной аппроксимации, метод баланса и метод неопределенных коэффициентов. [c.62]

Метод неопределенных коэффициентов заключается в том, что разностная схема формально представляется в виде линейной комбинации значений функции в узлах шаблона. Например, для уравнения [c.63]

Разностная схема (11) —(13) была использована для составления программы расчета пологих неоднородных анизотропных оболочек переменной толщины и кривизны. Шаблоны разностных уравнений показаны на рис. 5.16 в них содержится Г09 ненулевых [c.191]

Таким образом аппроксимация первой производной связывает значение функций как минимум в двух узлах сетки, а второй производной — в трех. Соответственно локальная аппроксимация дифференциального уравнения (2.102) осуществляется на шаблоне, содержащем не менее четырех узлов. Под шаблоном будем понимать конфигурацию узлов сетки, используемую для составления разностной схемы. Для одной и той же задачи можно составить несколько разностных схем. Например, для (2.102), (2.103), (2.104) при использовании шаблона на рис. 2.26, а система разностных уравнений будет иметь вид [c.100]

Рис. 2.26. Шаблоны для составления разностной схемы а — явной,

Здесь — значения функции в узлах, расположенных в окрестности центральной точки, которой соответствует / у. Информацию о коэффициентах при у и т в конечно-разностных выражениях очень удобно представлять с помощью вычислительных шаблонов, являющихся диаграммами, показывающими, какой вклад вносят узлы сетки в рассматриваемую производную. На рис. 5.5 представлены вычислительные шаблоны для некоторых часто встречающихся производных. Из этих элементов строятся более сложные вычислительные шаблоны для дифференциальных уравнений. Сложение производных осуществляется суперпозицией соответствующих вычислительных шаблонов. Этим методом собраны вычислительные шаблоны для Д/ и (рис. 5.6). Все приведенные вычислительные шаблоны имеют погрешность порядка Следует отметить, что можно построить и более точные (имеющие меньшую погрешность) вычислительные шаблоны, если пользователь готов включить в рассмотрение дополнительные узлы. В основе всех построенных до сих пор вычислительных шаблонов лежит центрально-разностная аппроксимация. Иногда, чтобы свести к минимуму распространение ошибок, пользуются левыми или правыми разностями. Вычислительными шаблонами следует пользоваться с осторожностью, так как построенное с их помощью разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение в частных производных, при счете может оказаться неустойчивым. Разностная схема считается неустойчивой, если погрешность, каково бы ни было ее происхождение, с течением времени не убывает. Трудности, связанные с неустойчивостью разностных схем, особенно часто возникают в эволюционных задачах [c.110]

Таким образом, задача исследования устойчивости разностной схемы сводится к определению условного максимума, стояш,его в левой части неравенства (3.20). В случае разностных схем с небольшой размерностью шаблона ко эта задача может быть решена с помош ью известных численных алгоритмов нахождения условного экстремума, а для простых схем с ко = 2,3,4 удается получить даже аналитические решения. [c.23]

Множество сеточных узлов ШСХ), используемых при написании разностной схемы в узле X, называется шаблоном этой схемы в узле X. Шаблон ШСХ) состоит из центрального узла X и периферийных узлов. Совокупность периферийных точек шаблона ШС ) называют окрестностью узла X и обозначают Ш С )- Шаблон ШСХ) будем называть минимальным, если координаты периферийных узлов отличаются от координат центрального узла X не более чем на шаг сетки по соответствующей переменной. Шаблон Ш л ) схемы (2.7) при г=1, 2,. .., 1— образуют три узла Хг, Хг+1, где Хг — центральный узел шаблона Хг- и Хг+1 — периферийные узлы, т. е. Ш(Хг) = Х1-Ь Хг, Ш (Xг) = Xi-l, Хгч- - ЭтОТ [c.37]

Для других разностных схем и граничных условий метод применяется аналогично. При этом важно проследить, чтобы при счете использовались последние приближения искомых функций в периферийных точках сеточного шаблона. [c.108]

Рис. 2,12. Шаблон двухшаговой разностной схемы

Для численного интегрирования уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя в работе [44—45] использован конечно-разностный метод повышенной степени точности,, предложенный для двумерных задач в работе [30]. Этот метод получил широкое применение при исследовании течений в двумерных ламинарных и турбулентных пограничных слоях [26]. Численный метод обеспечивает повышенный (четвертый) порядок точности интегрирования по нормальной к поверхности координате.. Используются граничные условия общего вида, при этом порядок точности интегрирования и вычислительный алгоритм остаются однородными. В направлениях, касательных к поверхности, задаются также неравномерные интервалы интегрирования в зависимости от интенсивности перестройки течения. Конечно-разностная схема основывается на двух- и трехслойных пространственных, шаблонах. [c.333]

МИ шаблонами. Суш ествуют конечно-разностные схемы, в которых производные по одному из двух направлений т] аппроксимируются явным образом, что с необходимостью накладывает ограничения на соотношение шагов интегрирования по и т]. В работе [2] приводятся разностные схемы, которые устойчивы для модельного уравнения. В работе [36] производные по т] аппроксимируются явным образом так, что конечно-разностное представление дифференциального оператора сой/йт] всегда остается положительным, что достигается слежением за направлением со. Отметим, что приведенные схемы, хотя и обладают хорошей устойчивостью и сходимостью, накладывают суш ественные ограничения на шаги интегрирования, и это приводит к трудностям при решении ряда сложных задач теории пограничного слоя. [c.340]

Конечно-разностный аналог можно построить и для другого расчетного шаблона (неявная схема), приведенного на рис 2.33. В такой схеме используются значения температур в соседних точках, но не для одного, а для соседних интервалов времени. Алгебраический аналог дифференциального уравнения при этом принимает вид [c.96]

Формы представления моделей определяются также используемыми языковыми средствами. Наряду с традиционным математическим языком применяют алгоритмические языки, а такл е те или иные графические изображения, облегчающие пользователю восприятие модели и приводящие к представлению модели в той или иной схемной форме, например представление моделей в виде эквивалентных схем, графов, к таким формам относится также представление разностных уравнений с помощью шаблонов (см. 4.4). [c.169]

Удобным геометрическим изображением схем построения разностных производных являются шаблоны. На [c.44]

В последнее уравнение не входит значение функции ы в центре шаблона (креста, см. рис. 7.7 г). Преимущество метода Дюфорта — Франкля состоит в том, что он является устойчивой схемой при произвольном отношении шагов т и /i. Аналогично можно также сформулировать в разностном виде начально-краевые задачи уравнения теплопроводности. [c.247]

Приведем, наконец, для уравнения (3.1) неявную двухслойную схему (схему прямоугольник ). Ее шаблон изображен на рис. 3.2, д. Она основана на линейной интерполяции разностных аппроксимаций производных на центр шаблона [c.79]

Если инварианты Ij в точках j находить по фиксированному правилу (например, только интерполяцией), то получившаяся схема, подпадая под теорему [1], не будет монотонной. С другой стороны, анализ, выполненный для линеаризованной системы (2.4), и расчеты, которые проводились для нелинейных уравнений газовой динамики, показали, что применение п.м.п. для вычисления Ij в точках j дает практически монотонную схему. Так как при использовании п.м.п. шаблон и коэффициенты разностных уравнений зависят от решения, то на СЗ упомянутая выше теорема [1] не распространяется. При равномерном с точностью до разбиении наклоны характеристик, т.е. j, и коэффициенты aij в выражениях для Ij из (2.4) достаточно находить по q в центре той ячейки, которой принадлежит точкам . Для произвольного неравномерного разбиения, чтобы обеспечить аппроксимацию, нужно находить и по параметрам в что вводит в их определение дополнительную итерацию. [c.191]

Аппроксимирующая алгебраическая система задачи получается при замене в уравнении Чаплыгина производных центральными разностными отношениями по схеме крест . Простейший итерационный процесс соответствует схеме простой итерации с переносом центральной точки пятиточечного шаблона в последующую итерацию (схема Якоби). Однако [c.116]

В работах [134, 135] был разработан метод численного решения прямой задачи сопла Лаваля, использующий схему разностной аппроксимации, предложенную в [153]. Рассматривается уравнение второго порядка смешанного типа для коэффициента скорости в ортогональной системе координат, связанной с линиями тока, что позволяет при формулировке задачи в полуполосе изучать сопла с крутыми стенками. Система разностных уравнений с изменяющимся в зависимости от типа уравнения шаблоном решается методом итераций с использованием прогонки на каждой итерации. В качестве примеров рассчитаны течения в соплах спрофилированных методом годографа. (Метод предназначен для расчета течений в хороших соплах (без скачков уплотнения), поэтому его неконсервативность не важна.) [c.124]

И ко - число точек шаблона разностной схемы, - мультииндекс, соответст-вуюш,нй узловой точке, в которой вычисляется вектор разностного решения по схеме (3.15), Jo- -Ik- мультииндекс, ссответствуюш ий к-й точке шаблона. Тогда условие устойчивости (3.18) можно переписать в виде [c.23]

Здесь использован сеточный шаблон, показанный на рис. 7.2, б при h X. Уравнение (7.33) соответствует неявной разностной схеме, в нем присутствуют значения функций в трех точках верхнего временного слоя. Хотя разностные уравнение и начальное условие при измельчении сетки стремятся к исходному дифференциальному уравнению и начальному условию, решение разностной задачи, как уже отмечалось, может не стремиться к точному. Сходимость может зависеть от выбора сетки, в частности, от параметра а = т/Л. Если заданы начальные условия на отрезке 1а, Ь], то, согласно общей теории, решение уравнения (7.25) может быть получено в треугольнике определенности с основанием [а, Ь], боковыми сторонами которого являются пересекающиеся характеристики разных семейств х t = onst, х — t = onst, проходящие соответственно через точки а и Ь (рис. 7.3), Угол наклона характеристик к оси абсцисс в этом случае равен л/4. [c.238]

Следует отметить, -что ввиду при- менения неявных конечно-разностных схем метод переменных направлений позволяет избежать строгшс ограничений на соотношение пространственно-временных шагов. Для выбранной сетки использовался шаблон, показанный на рис. 5.1. [c.139]

В предлагаемой модификации схемы [1, 2] повыгаение порядка аппроксимации и уменыаение эффектов размазывания обеспечивается дополнительным этапом, который предшествует вычислению так называемых больших величин в задаче о распаде разрыва. Указанный этап включает введение вспомогательных ( фиктивных ) точек, параметры в которых определяют в соответствии с ориентацией характеристик большие величины на полушаге. Параметры в фиктивных точках находятся интер- или экстраполяцией согласно принципу минимальных значений производных [3]. В результате счет ведется на шаблоне, который зависит от текущих параметров и на который не распространяется теорема [1] о немонотонности разностных схем второго порядка. В общем случае при наличии размазанных разрывов погрешности разностного решения в областях влияния разрывов пропорциональны их ширине А, а следовательно, порядок разностной аппроксимации задачи снижается до первого [2, 4]. Несмотря на это, использование схем повышенного порядка для сквозного построения разрывных решений целесообразно по следующим причинам. [c.186]

Уравнения конвекции выражают несколько физических законов сохранения (тепла, массы, завихренности). Дифференциальные уравнения получаются из законов сохранения (уравнений баланса) при достаточной гладкости функций, входяш,их в эти уравнения. В теории и практике метода сеток широко известен интегро-интер-поляционный метод построения разностных схем [12, 14], когда дискретизации на сеточном шаблоне подвергается не дифференциальное уравнение, а соответствую-ш,ее ему уравнение баланса. Метод позволяет конструировать схемы, отражающ,ие в дискретной форме интегральные законы сохранения на сколь угодно больших и на сколь угодно малых участках сеточной области. Такие схемы называются консервативными, или дивергентными. Консервативные схемы, как правило, улучшают точность решения, особенно в качественном отношении. Разностный оператор консервативных схем обладает свойством самосопряженности, которое является одним из определяющ,их условий сходимости различных итерационных алгоритмов решения разностных задач. [c.53]

Монотонная схема 2-го порядка аппраксима-ции. Не расширяя сеточного шаблона, модифицируем схему (3.29) так, чтобы повысился порядок аппраксима-ции при сохранении монотонных и консервативных свойств. Для этого введем в разностный оператор схемы [c.63]

Один из путей решения проблемы — увеличение порядка аппроксимации разностной схемы, хотя при этом весьма непросто выполнить взаимопротиворечивые требования устойчивости и точности. В принципе не составляет труда достигнуть на минимальном шаблоне 3-го и 4-го порядков аппроксимации, если не соблюдать условия монотонности, без которого, однако, не удается добиться устойчивого счета при больших Ка. [c.70]

Числа п и щ определяются шаблоном, на котором построена конкретная разностная схема. Оператор 8, называемый оператором перехода с одного временного слоя па следующий, позволяет в результате последовательного применения трансформировать начальные данные в разностное ретение на любом шаге но времепи. Для линейных схем оператор 8 линеен. [c.162]

Применить схему Лакса — Вендроффа к модельному уравнению диффузпи dydt = адК дх . Показать, что получающаяся при этом конечно-разностная схема с пятиточечным по пространству шаблоном условно устойчива и условие устойчивости имеет вид d = aAi/Ax /г- (Эту задачу предложил д-р Ф. Уорминг.) [c.536]

Наличие в потоке при обтекании тел сложной формы линий стекания и растекания, поверхностей раздела потоков определяет выбор конечно-разностных схем и пространственных шаблонов для расчета характеристик пограничного слоя. В данном разделе приводятся результаты расчетов, полученных с использованием неявных конечно-разностных схем, учитывающих направление линий тока, приводятся также характеристики пограничного слоя, соответствующие полуавтомодельному приближению (й/(3т1=0). Такие подходы дают возможность получить качественную и количественную характеристики течения, выделить основные особенности сложного характера перетекания потоков в пограничном слое и определить величины тепловых потоков и трения. [c.351]

При теоретическом исследовании используется численный подход [3, 4], позволяющий моделировать отрывные течения на основе нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса. Аппроксимирующая система уравнений Навье-Стокса получается на основе неявной конечно-разностной схемы при этом для аппроксимации конвективных и диффузионных членов дифференциальных уравнений в полуцелых узлах используются TVD-схема второго порядка точности и схема центральных разностей соответственно. Для решения нелинейных разностных уравнений применяется модифицированный метод Ньютона-Рафсона с пересчетом матрицы Якоби на усеченном шаблоне. На итерации по нелинейности используется итерационный GMRES-метод для решения системы линейных алгебраических уравнений. [c.167]

Обычные схемы четвертого порядка точности имеют вид явных разностных формул, построенных на пятиточечном шаблоне (точка i и соседние точки г 1, г 2). В компактной схеме берутся только три точки (i и i 1), но разностная формула получается неявной, т. е. пе локальной. Значения находятся из уравнения (3.3616) при помощи метода прогонки (см. приложение А), так что эти значения во всех точках i зависят от значений в других точках и, следовательно, зависят от fi и глобально, а не локально. (Из-за такой глобальной зависимости компактная схема подобна спектральным и исевдосиектраль-ным схемам см. Орсаг и Израэли [1974].) Компактная схема обладает также меньшим коэффициентом при ошибке аппроксимации порядка 0(А ), чем обычная схема четвертого порядка точности. Аналогично, сначала по явной схеме второго порядка точности вычисляется вторая производная, которая обозначается через Si и хранится в соответствующем массиве. Таким образом, [c.173]

В методе расчета распространения вектора ошибки для конечно-разностной аппроксимации лапласиана (см. разд. 3.3.10) можно использовать пятиточечный шаблон с диагонально расположенными узловыми точками и девятиточечные шаблоны. При этом неявная схема ухудшает характеристики ошибки, в то время как использование явной схемы с диагональным направлением продвижения расчета (решение для г15,ч 1,/+1) улучшает их при малом /. Другая заслуживающая внимания модификация заключается в использовании пятиточечного аналога четвертого порядка точности для в направлении, перпендикулярном направлению продвижения расчета. Это приводит к увеличению Р на 12% при 1, что позволяет также брать большие р при соответствующем увеличении Р. Метод расчета распространения вектора ошибок применим также и для других линейных эллиптических уравнений гидродинамики кроме того, его можно использовать при итерационном подходе для решения нелинейных уравнений Пуассона с переменными коэффициентами (подробности можно найти в работе Роуча [1971а]). При помощи этого метода возможно прямое решение уравнения =/(ф) (которое получается в неявном эйлеровом методе расчета движения сплошной среды (методе [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...