Схема с центральными разностями

Схема с центральными разностями. Пусть в области О введена равномерная сетка О. Для дифференциального оператора [c.60]

Тогда в схеме с центральными разностями (3.22), (3.31) имеем [c.66]

Сравнение разностных схем. Перечислим разностные схемы, выбранные для испытания на тестовых задачах А—монотонная схема 1-го порядка аппроксимации (3.5) В — консервативная монотонная схема 1-го порядка (3.29) С — монотонная схема 2-го порядка (3.7), (3.8) D — консервативная монотонная схема 2-го порядка (3.30) В—монотонная схема 4-го порядка аппроксимации (3,53) F — консервативная схема с центральными разностями 2-го порядка аппроксимации [c.119]

Уравнение (3.17) соответствует схеме с центральными разностями по пространственным переменным и по времени, которая, как уже было отмечено, безусловно неустойчива нри любых а > О и > 0. Но при применении только к конвективным членам (т. е. при а = 0) эта схема, называемая схемой со средней точкой (Лилли [1965]) или схемой чехарда со средней точкой или — чаще всего — просто чехарда (Курант, Фридрихе, Леви [1928]), обладает нужными свойствами устойчивости. Таким образом, уравнение [c.85]

По схеме с центральными разностями получаем [c.289]

В этом разделе мы сопоставим области влияния уравнений в частных производных и соответствующих конечно-разностных уравнений. Нашей целью будет показать, как при помощи конечных разностей против потока удается сохранить некоторое подобие правильного поведения характеристик дифференциальных уравнений. Отметим также, что в этом случае ошибки аппроксимации по пространственной переменной не столь сильно возрастают по сравнению со схемами с центральными разностями. [c.356]

Вязкость в схеме с центральной разностью для уравнения переноса. Рассмотрим устойчивость еще одной схемы для уравнения переноса при учете вязкости [c.185]

При (3 = 0 эта схема является схемой с центральными разностями по пространственной переменной, а при р=1—схемой с разностями против потока. Показать, что приведенная выше конечно-разностная схема дает точное решение следующего дифференциального уравнения в частных производных [c.532]

Производная по касательной к стенке б /б5 в уравнении (3.527) легко вычисляется с помощью центральных разностей. Заметим, что здесь при расчете можно брать любой метод, поскольку при решении уравнения Пуассона градиент не пересчитывается, а отсутствие обратной связи исключает возможность появления неустойчивости. Однако предпочтение отдается схемам с центральными разностями, согласующимися со вторым порядком точности О(А ) метода в целом. Для нестационарных решений в уравнениях (3.509) часто пренебрегают членами ди/д1 и ду/д1 и используют простейшее приближение дР/дп 0 ). [c.279]

Рис. 3.7. Асимптотическое распространение единичного возмущения е в точке / для уравнения диффузии, решаемого по схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственным переменным, а — начальное возмущение б — возмущение после одного шага по времени, d = в — возмущение после очень большого числа шагов по времени.

В схеме чехарда (и во всех схемах второго порядка точности с центральными разностями по пространственным переменным) имеют место и дополнительные ошибки. Рассмотрим ко-нечно-разностную схему, у которой наибольшее значение i равно IL. Применение схемы чехарда (3.145) для вычисления потребовало бы значения величины в точке, которая находится вне расчетной сетки. Поэтому в точке 1L нельзя провести расчеты и для определения требуется задать численное граничное условие в IL. [c.95]

В пределе при 0—>-п 1т(0)— 0 и из равенства (3.241) получаем, что 51п(А0)- О или (А0)к ру- О. Таким образом, фазовая ошибка будет полной, причем фурье-компонента с наименьшей длиной волны становится полностью стационарной. Этот эффект также имеет место в схеме чехарда со средней точкой (см. разд. 3.1.6) и типичен для всех схем, использующих центральные разности для члена б /бх (Фромм [1968]). [c.124]

Формальное разложение в ряды Тейлора указывает на то, что схемы с центральными разностями точнее односторонних схем с разностями против потока. Как было отмечено в разд. 3.1.3 при обсуждении свойства консервативности, нри использовании неконсервативной схемы можно точнее аппроксимировать производную, но если в каком-либо критерии точности учитывается свойство консервативности, то система в целом не будет точнее. Оказывается, свойство транспортивности имеет такой же физический смысл, как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока, обладающие свойством транспортивности, точнее, чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле, а не в смысле порядка ошибки аппроксимации. [c.109]

Эта схема устойчива при Сл + Су 1. Фромм [1968] построил изолинии модуля 0 и фазовой ошибки в зависимости от параметров Сх, Су и 0. Несмотря на то что схема формально имеет второй порядок точности, ее фазовые свойства существенно лучше соответствующих свойств схем четвертого порядка точности Робертса — Вейса [1966] и Кроули [1967], рассмотренных в предыдущем разделе. Как и для этих схем, затраты машинного времени для схемы Фромма значительно больше затрат для более простых схем. Как и в схеме Лейта и во всех схемах дробных шагов здесь имеется трудность, связанная с постановкой граничных условий на первом полушаге (3.352а). Эти трудности можно преодолеть, выбирая в качестве значений на стенке значения I с первого полушага или получая их итерационным путем (см. разд. 3.1.16). Фромм ) рекомендует вблизи границы переходить к более простым разностным схемам с центральными разностями или с разностями против потока. Разностные схемы типа (3.352) с учетом диффузионных членов пока еще не появлялись в открытой литературе. [c.159]

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности анпроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортивности приходится жертвовать немногим. Оценка точности аппроксимации центральными разностями, проведенная в разд. 3.1.1, основана на разложении функций, описывающих течение, в ряды Тейлора в предположении непрерывности этих функций и их производных. Однако в случае сверхзвуковых течений невязкого газа производные, входящие в уравнения, не обязательно будут непрерывными. Действительно, характеристики определяются как линии, ири переходе через которые производные могут претерпевать разрыв (Курант и Фридрихе [1948], Шапиро [1953]) ). Значит, разложения в ряды Тейлора здесь ие всегда пригодны, и в случае сверхзвуковых течений снижение точности анирокспмации не столь важно ). [c.358]

Как видно, условие устойчивости и сам тип устойчивости явной полностью консертштипЕюй схемгл для уравнений акустики те же, чтг) и для схемы с центральной разностью в случае уравнения переноса (см. п. 3 3). [c.180]

Перечисленные требования к алгоритму дпя многих схем являются противоречивыми. Например, схемы с центральными разностями без принятия соответствующих мер являются сильно немонотонными при достаточно больших значешях сеточного числа Рейнольдса, схемы второго порядка с односторонними разностями не являются трехточечными и т.д. [c.5]

Робертс и Вейс [1966] называют схему Лелевье с разностями против потока неадекватной , однако в подстрочном примечании признают Тем не менее эта односторонняя схема сохраняет знак положительно определенных величин, так же как и лагранжевы схемы эйлеровы же схемы с центральными разностями не обладают таким свойством . [c.110]

Конечно, по-прежнему было бы весьма желательно сохранить второй порядок точности аппроксимации, присущий схемам с центральными разностями по пространственным переменным, как это было в случае несжимаемой жидкости. Однако в случае сверхзвуковых течений для достижения свойства транспортив-ности приходится жертвовать немногим. Оценка точности аппроксимации центральными разностями, проведенная в разд. [c.358]

Метод расчета. Примененный расчетный алгоритм основан на обобщенной процедуре глобальных итераций, предназначенной для решения конечно-объемным факторизованным методом уравнений переноса на многоблочных пересекающихся сетках О- и Н-типа. Система исходных уравнений записьшается в дельта-форме в криволинейных, согласованных с границами расчетной области координатах относительно приращений зависимых переменных, включающих декартовые составляющие скорости. После линеаризации система исходных уравнений решается с помощью согласованной неявной конечно-объемной процедуры коррекции давления [1], основанной на концепции расщепления по физическим процессам и записанной в -факторной формулировке. При этом для дискретизации временных производных используется схема второго порядка аппроксимации [10]. Для уменьшения влияния численной диффузии в расчетах течений с организованным отрывом потока, весьма чувствительных к ошибкам аппроксимации конвективных членов, в явной части уравнений переноса используется одномерный аналог противопоточной схемы с квадратичной интерполяцией [11]. Одновременно, чтобы избежать ложных осцилляций при воспроизводстве течений с тонкими сдвиговыми слоями, в неявной части уравнений использован механизм искусственной диффузии в сочетании с применением односторонних противопоточных схем для представления конвективных членов. В свою очередь, для устранения немонотонностей в распределении давления при дискретизации градиента давления по схеме с центральными разностями на согласованном (с совмещенными узлами для скалярных переменных и декартовых составляющих скорости) шаблоне в блок коррекции давления введен монотонизатор с эмпирическим сомножителем. Его величина 0.1 определена в ходе численных экспериментов на задаче обтекания цилиндра и шара потоком вязкой несжимаемой жидкости. Высокая эффективность вычислительной процедуры для решения дискретных алгебраических уравнений обеспечена применением метода неполной матричной факторизации. Более подробно детали описанной процедуры расчета течения на моноблочных сетках изложены в [11]. [c.46]

Эту схему с односторонними разностями вперед по времени и центральными (симметричными) разностями по пространственной переменной иногда называют схемой ВВЦП (схемой FT S). [c.43]

Метод дискретных возмущений (Томан и Шевчик [1966]) и метод Хёрта (Хёрт [1968]) могут быть распространены на случай исследования устойчивости в многомерных задачах. Мы же в качестве примера приведем здесь более простое обобщение метода Неймана на такой случай. Используя схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной для линеаризованного уравнения переноса вихря (2.12) с постоянными коэффициентами в плоском случае (когда а = 1/Re), получаем [c.83]

Для линеаризованной задачи неявную схему метода чередующихся направлений Писмена и Ракфорда можно представить в следующем виде. Обозначим через б /бх и б /бх аппроксимации с центральными разностями для д1,/дх и д%/дх в точке I. Интегрирование по времени на интервале уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...