Тензор Ж. Лагранжа

Это симметричный тензор Лагранжа (Прагер называет этот тензор тензором Кирхгофа). Заметим, что [c.28]

Полученные тензоры Лагранжа отнесены, в отличие от тензора Эйлера, к недеформированному состоянию. [c.28]

С помощью тензора Пиолы (несимметричный тензор Лагранжа) можно переписать уравнение равновесия в [c.28]

Таким образом, удлинения Л,- или относительные удлинения Ец выражаются в конечном счете через компоненты efy тензора деформаций Лагранжа либо через компоненты тензора деформаций Эйлера. [c.66]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций являются симметричными декартовыми тензорами второго ранга и поэтому для них можно в каждой точке тела найти три главных направления (главные оси) и три главных значения. С физической точки зрения материальная частица, у которой направления ребер (мы условились, что материальная частица имеет форму параллелепипеда) совпадают с главными направлениями деформации, не меняет своей ориентации. Так как направляющие косинусы осей х,- и X,- удовлетворяют условиям [c.67]

Лагранжев и эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровые тензоры и девиаторы [c.69]

Уравнение (3.35) для определения главных значений Э тензора конечных деформаций Лагранжа либо Эйлера имеет вид [c.69]

Таким образом, лагранжев либо эйлеров тензор деформаций е// определяется заданием трех главных удлинений е и трех направлений главных осей тензора. Вместо трех инвариантов е можно задать три других инварианта ео, Э, г() (либо це). [c.71]

Обозначая компоненты метрического тензора в переменных Лагранжа в деформированной среде через и применяя формулы (1.49) и (11.55) т. I, получаем [c.503]

Так как, с другой стороны, арифметизация точек среды координатами Лагранжа не изменяется при деформации, можно рассматривать и 5,. как тензоры, заданные в одном, общем [c.503]

Тензор с компонентами Т / называют тензором напряжений Лагранжа этот тензор несимметричен (упражнение). [c.19]

Заметим, что, как вытекает из (1.118), (1.119), тензор напряжений Лагранжа несимметричен, тензор Пиола — Кирхгоффа симметричен. [c.25]

Заметим, что в большинстве практически важных задач Р можно задать лишь в виде функций пространственных координат, следовательно, при использовании переменных Лагранжа для решения таких задач в правой части условия (1.160) будут содержаться производные от вектора перемещений, заранее неизвестных вид этой зависимости можно конкретизировать, если задать форму начальной границы (в момент времени t = tn) So, очевидно, что динамическое граничное условие можно записать и через компоненты тензора Пиола — Кирхгоффа [c.34]

Условия (4.247) позволяют дать механическую интерпретацию введенным множителям Лагранжа совокупность множителей представляет собой совокупность координат тензора напряжений, la —плотность вектора напряжений на части поверхности 5 . [c.205]

Учитывая симметрию тензора = уравнения Лагранжа [c.81]

Тензор напряжений И, 20, 25, 31, 55, 63, 78, 136, 1 4G, 252 --Лагранжев 142 [c.460]

Откажемся от ограничения малостью компонент тензора поворота, которое до сих пор всюду принималось. Теперь мы должны пользоваться нелинейными выражениями (7.2.3) для компонент тензора деформации. Введем опять напряжения как множители Лагранжа и составим уравнение равновесия, совершенно аналогичное уравнению (7.4.3), а именно, [c.234]

Следующим новшеством этой книги является включение в нее механики непрерывных систем и полей (гл. 11). Вообще говоря, эти вопросы охватывают теорию упругости, гидродинамику и акустику, однако в таком объеме они выходят за рамки настоящей книги и, кроме того, по ним имеется соответствующая литература. В противоположность этому не существует хорошей литературы по применению классических вариационных принципов к непрерывным системам, хотя роль этих принципов в теории полей элементарных частиц все время возрастает. Вообще теорию поля можно развить достаточно глубоко и широко еще до рассмотрения квантования. Например, вполне возможно рассматривать тензор напряжение — энергия, микроскопические уравнения неразрывности, пространство обобщенных импульсов и т. д., целиком оставаясь при этом в рамках классической физики. Однако строгое рассмотрение этих вопросов предъявило бы чрезмерно высокие требования к студентам. Поэтому было решено (по крайней мере в этом издании) ограничиться лишь элементарным изложением методов Лагранжа и Гамильтона в применении к полям. [c.9]

Мы предполагаем, что, кроме сохранения количества движения, имеет место и сохранение обобщенного волнового момента количества движения. Можно показать, что для этого требуется симметричность тензора Tщv. Это является обобщением результата, полученного в гл. IX, и обычно считается, что поле удовлетворяет данному условию. Во многих случаях сама форма, в которой берется плотность функции Лагранжа, приводит к тензору, который уже симметричен. В других случаях тензор оказывается несимметричным, но это всегда можно исправить путем дополнительного определения, состоящего в прибавлении к первоначальному тензору другого тензора [c.166]

Эта формулировка, хотя и весьма абстрактна, но имеет и некоторые преимущества. Дело в том, что уравнения Лагранжа не зависят от координатной системы, в чем и заключается их значение, но время в этих уравнениях еще играет особую роль. Напротив, принцип сохранения количества движения и энергии позволяет дать закона.м динамики фор.му, не зависящую от выбора координат пространства-времени. Действительно, если одновременно заменить переменные, относящиеся к параметрам положения системы и ко времени, то достаточно иметь выражение тензора количество движения — энергия в новой системе координат, чтобы получить уравнения движения. Эта схема охватывает, естественно, и релятивистскую механику. [c.845]

Здесь Еж,. . , Yzx — линейные формы компонент тензора напряжений Т, определяемые по (3.2.8) гл. III и выражаемые формулами (3.1.8) гл. III е—тензор, задаваемый этими формами его компонент и, значит, представимый формулой (1.1.4). Вариации компонент тензора бГ под знаком интегралов в (2.5.10) не независимы, а должны удовлетворять зависимостям (2.5.3). Пришли к связанной задаче вариационного исчисления и, следует известному правилу, вводим в объеме V лагранжев вектор X это позволяет, представив теперь (2.5,10) в виде [c.158]

Значение Х°, соответствующее точке условной стационарности и°, может быть не единственным. Чтобы обеспечить единственность Х°, обычно накладывают требование независимости на уравнения, содержащиеся в дополнительном условии (2) это требование выражается в том, что матрица Якоби множества функций, сокращенно записанных ф(и), должна иметь соответствующий ранг (см., например, [0.9, 1.6]). В данной книге нет необходимости заботиться об единственности множителей Лагранжа. В гл. 3 и 4 будут часто встречаться случаи, когда существует бесконечное множество Х° (например, функционал Эпз (е, ф), где тензор функций напряжений ф является множителем Лагранжа, гл. 3). В этих случаях нас устраивает любое из бесконечного множества значений так как все они определяют одно и то же решение исходной задачи (I), (2). [c.37]

Действительно, пусть тензор напряжений а[е и) может иметь разрывы на поверхности G, которая разбивает объем V на конечное число частей. Вариация функционала Лагранжа имеет вид [c.90]

Сначала сформулируем инкрементальную теорию, которая основана на подходе Лагранжа и в которой используются тензоры напряжений Кирхгофа и тензоры деформаций Грина. Начнем с определения напряжений, деформаций, перемещений, массовых и поверхностных сил, действующих на S , и заданных на перемещений в состояниях и как показано в табл. [c.389]

Сформулируем другой вариант инкрементальной теории с помощью модифицированного подхода Лагранжа, в котором используются модифицированные тензоры напряжений Кирхгофа и модифицированные тензоры деформаций Грина. Обозначим напряжения, деформации, перемещения, массовые силы, внешние силы, действующие на 5,,, и заданные на перемещения в состояниях Q(N) и Q(A/-fi) .дк, как показано в табл. 16.2. Отметим, что напряжения и внешние силы на отнесены к единичной площади, а массовые силы — к единичному объему состояния Q< ). Тогда принцип виртуальной работы в состоянии запишется в виде [c.392]

Аналогичные представления справедливы для тензоров второго и высшего рангов. Векторы и тензоры, определенные компонентами в материальном отсчетном базисе (функции X), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Лагранжа. Аналогично векторы и тензоры, определенные компонентами в пространственном базисе (функции х), называем векторами и тензорами, определенными в переменных Эйлера. Любой вектор или тензор, определенный в переменных Лагранжа, можно переопределить в переменных Эйлера и наоборот, в силу закона (1.7). Для тензоров второго ранга можно также использовать двойные [c.23]

В [43] показано, что материальная производная тензора является тензором того же ранга. Наиболее просто получаются выражения для компонент материальных производных тензоров, определенных в материальном отсчетном базисе (в переменных Лагранжа). Так как базисные векторы (ё ) неизменны во времени, для произвольного тензора второго ранга h [c.28]

Пользуясь (1.15), (1.30), (1.31), можно определить компоненты тензоров 1 и i в переменных Лагранжа. При этом в выражениях для G и Q градиенты Xij определяются через градиенты Хф из равенств [c.30]

На основе физических соображений В. В. Новожиловым введены в научную литературу тензоры Пиолы и тензор обобщенных напряженш [9], а также доказана 18] идентичность этих тензоров с приведенными выше соответственно несимметричным и симметричным тензорами Лагранжа. В дальнейшем мы будем пользоваться обоз-начениями В. В. Новожилова. [c.28]

Величины Gift определяют изменение внутренней метрики среды при деформации они являются компонентами симметричного тензора второго ранга, который называется тензором конечных деформаций в переменных Лагранжа. [c.504]

Хорошо известно, что множители Лагранжа представляют собою реакции связей. Соответственно на уравнение (7.4.3) можно смотреть несколько иначе. Первые два члена представляют собою работу внешних сил, объемных и поверхностных. Третий член есть работа внутренних сил, величины 6e,j = А (би,, j + 6iij, i) представляют собою обобщенные перемещения, а Оу — соответствующие обобщенные силы. Очевидно, что ОцОец есть инвариант, поэтому Оц — симметричный тензор второго ранга, который называется тензором напряжений. Преобразуем третий интеграл в соотношении (7.4.3) интегрированием по частям. Заметим, прежде всего, что [c.220]

Л. ф. играет важную эвристич. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. групп симметрии может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудЕШ перечислить. Если по соображениям простоты оставить в инварианты мнним. степени по полям, пол> чаю-щиеся из Л. ф. ур-ния движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного ноля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной гру1Пюй (напр., эл.-маги. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению — /4 jiv uv тензор поля F = [c.544]

Условия стационарности функционала Эпз — геометрические уравнения в деформациях в объеме и на поверхности и зависимости между деформациями и функциями напряжений, которые одновременно играют роль статических и физических уравнений. Отсюда следует, что множители Лагранжа совпадают с компонентами тензора функций напряжений в форме Финци — Блоха — Круткова (см. 1). [c.65]

Эти уравнения выражают физический смысл множителей Лагранжа. Соотношения (14.44) и (14.45) показывают, что 5,у образуют тензор напряжен Пиолы (см. прилож ие Е). [c.369]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...