Теорема об устойчивости линейной системы

Теорема об устойчивости линейной системы. 1. Если вещественные части Re всех характеристических чисел Ху, Xi,. .., Х матрицы А отрицательны, то нулевое решение z = О уравнения (14) асимптотически устойчиво. [c.423]

Устойчивость линейных гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. Пусть в системе (3) матрица Н является непрерывной 2тг-периодической по вещественной симметрической матрицей. Задача об устойчивости линейных гамильтоновых систем обладает рядом специфических особенностей по сравнению с задачей об устойчивости общих линейных систем, рассмотренных в предыдущем пункте. Эти особенности вытекают из теоремы Ляпунова-Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем с периодическими коэффициентами. [c.547]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Линейные модели широко используют при расчетах и проектировании технических объектов. В условиях применимости теоремы об устойчивости по первому приближению анализ устойчивости линейной системы позволяет делать выводы об устойчивости соответствующей нелинейной системы. [c.462]

Уравнения первого приближения (уравнения в вариациях) для исследования окрестности точек либрации L и б ограниченной эллиптической задачи трех тел составляют линейную систему с 2л-периодическими (относительно истинной аномалии возмущающих тел) функциями, поэтому даже в первом приближении вопрос об их устойчивости представляется весьма сложным. Для близкого к единице эксцентриситета орбит возмущающих масс точки либрации L и Ц неустойчивы в смысле Ляпунова [85]. Здесь же сформулирована теорема об устойчивости, которая оказывается верной лишь с точностью до первой степени эксцентриситета орбит возмущающих масс. Этот результат согласуется с результатами исследования Ляпунова [64]. В дальнейшем многие исследователи [86], [129], [130], [131] и др., пользуясь аналитическими или численными методами, строили области устойчивости и неустойчивости на плоскости параметров 1, е (ц — малая возмущающая масса, е — эксцентриситет ее орбиты) для линеаризованной системы уравнений (уравнений первого приближения). В нелинейной постановке при малых е [c.846]

Во второй — пятой главах рассмотрены задачи теории гамильтоновых систем и ее приложений. Вторая глава посвящена линейным гамильтоновым системам. Приводятся результаты Ляпунова об устойчивости линейных гамильтоновых систем с постоянными или периодическими коэффициентами. Для устойчивых систем в случае простых корней характеристического уравнения строятся конструктивные алгоритмы приведения системы к нормальным координатам. Тут же приводится теорема Ляпунова — Пуанкаре о характеристическом уравнении гамильтоновых систем и рассматривается задача о параметрическом резонансе в гамильтоновых системах, содержащих малые периодические возмущения. В последнем параграфе второй главы получены области параметрического резонанса в первом приближении по малому параметру и приведены необходимые расчетные формулы. [c.11]

ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ ЧАСТОТ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛОЖЕНИИ СВЯЗЕЙ. Связь, наложенную на систему, совершающую малые линейные колебания около положения устойчивого равновесия и не смещающую этого положения, можно выразить линейным однородным уравнением относительно координат системы. В самом деле, пусть связь задана уравнением [c.146]

Показать, что если силовая функция позиционной линейной системы удовлетворяет условию теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия, то все решения уравнения частот положительны. [c.624]

Нелинейная система. Все предыдущие рассмотрения относились к линейной системе. Положим теперь, что линейная система имеет смысл первого приближения некоторой истинной нелинейной системы. Суждение об устойчивости последней по результатам анализа соответствующих линеаризованных уравнений основывается на следующих теоремах. Ляпунова 1). [c.433]

Механические системы, как правило, обладают нелинейными свойствами. В прикладных расчетах, полагая отклонения от невозмущенного движения (равновесия) достаточно малыми, вкладом нелинейных факторов обычно пренебрегают, что сильно упрощает как аналитические выкладки, так и численные расчеты. Принцип суперпозиции, справедливый для линейных систем, позволяет анализировать раздельно влияние разных факторов и оценивать их результирующий эффект путем сложения частных решений. Этот путь кажется естественным и при анализе устойчивости, тем более что при этом анализе возмущения, как правило, малы по определению. Отбрасывание нелинейных членов (при условии их аналитичности в окрестности невозмущенного движения) представляется интуитивно оправданным. Однако строгай анализ показывает, что это можно делать далеко не всегда. Ответ на вопрос о том, при каких условиях допустимо линеаризировать уравнения возмущенного движения, дает теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.459]

Теоремы об устойчивости линейных автономных систем. Устойчивость равновесия q = О линейной автономной системы, дв1шение которой описывается уравнением (1), полностью определяется свойствами характеристических показателей [c.95]

Ип общего репгепня (4.9) и предельных равенстп (4.11) пепосредственно вытекают следующие теоремы об устойчивости двия ения линейной автономной системы, имеющей простые корни характеристического уравнения (случай кратных корней рассматривается в гл. V) [c.100]

В. Г. Штелика (1958), В. П. Рудакова (1962—1963). Во всех этих работах исследуются линейные системы вида (9.2) с непрерывными коэффициентами psr t) в правых частях допускается также наличие членов выше первого порядка малости. В предположении, что диаметр В t) области (12.4) достаточно мал, авторы дают различные независимые от членов высшего порядка теоремы об устойчивости по первому приближению. [c.65]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Линейные уравнения тина (1) обычно получают путем линеаризации более полных и точных нелинейных уравнений. Ответ на вопрос, при каких условиях выводы об устойчивости равновесия линеаризованной системы могут быть отнесены к соответствующей не-лингннон системе, дае1 шорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. [c.95]

Левые части системы (39) представляют собой тг-периодические функции угла -д. Они могут быть представлены сходяш имися рядами Фурье, а тождественное равенство нулю этих рядов влечет за собой равенство нулю всех в отдельности коэффициентов этих рядов. Таким образом, может быть получена бесконечная система алгебраических уравнений для нахождения восьми неизвестных h, а, п, g, Р, d, 7, с. Такая переопределенная система всегда совместна и имеет единственное решение относительно hi — /г os 2а, h2 — /г sin 2а, п, gi — g- os2 , 7, с. Это следует из доказанной выше теоремы об асимптотической устойчивости отсчетного многообразия, а также из линейности системы (39) по отношению к этим переменным. Для их нахождения из указанной переопределенной системы достаточно взять любые восемь уравнений с отличным от нуля детерминантом. Пользуясь условием, что г много больше /е, эту задачу можно решать приближенно. В частности, в нулевом приближении А = О, г = л/2Ео, и из системы (39) находим [c.385]

В главах седьмой — десятой решается задача об устойчивости треугольных точек либрации ограниченной задачи трех тел. В главе 7 рассмотрен случай плоской круговой задачи. Наиболее существенное исследование устойчивости в этом случае раньше было проведено Леонтовичем и Депри. В их работах [37, 111] для решения задачи устойчивости применялась теорема Арнольда — Мозера и не были исследованы те случаи, когда эта теорема неприменима. В главе 7 при помощи результатов главы 4 задача об устойчивости треугольных точек либрации решена полностью. Показано, что в области устойчивости в первом приближении точки либрации действительно устойчивы по Ляпунову, за исключением двух значений параметра [г, при которых имеет место неустойчивость. Эти значения и [Хг соответствуют резонансам сох = Зсоа и (01 = 3(02 между частотами линейной системы. [c.13]

V можно взять в этом случае функцию Гамильтона Я). Пусть, однако, Яг не является знакоопределенной квадратичной формой, но система (1.1) устойчива в первом (линейном) приближении. Тогда при некоторых ограничениях на частоты со , сОг линейной системы и на коэффициенты форм Яз и Нц вопрос об устойчивости можно решить при помощи следующей теоремы Арнольда — Мозера [2, 3, 72]. [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...