Устойчивость особых линейных систем

УСТОЙЧИВОСТЬ ОСОБЫХ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ [c.102]

Другим видом особых линейных систем автоматического регулирования являются нестационарные системы, процессы в которых описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными во времени коэффициентами [7,70]. Для таких систем условия устойчивости могут отличаться от ранее рассмотренных в связи с тем, что характер возникающих в них процессов зависит от момента времени, в который на систему действует возмущение [5,71]. Однако приведенные выше методы проверки устойчивости линейных стационарных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, в некоторых случаях могут быть применены непосредственно. [c.105]

Особое поведение линейных систем по отношению к внешней силе, изменяющейся по гармоническому закону, выражается в том, что возникшие в линейной системе вынужденные колебания, после того как они установились, также оказываются гармоническими если же форма колебаний внешней силы отличается от гармонической, то форма колебаний смещения отличается от формы внешней силы. Иначе говоря, вынужденные колебания в линейной системе воспроизводят без искажений только гармоническую фор.му колебаний внешней силы, вызвавшей вынужденные колебания если же форма внешней силы отлична от гармонической, то вынужденные колебания воспроизводят эту форму непременно с искажениями. Эта устойчивость формы гармонических колебаний, проявляющаяся при их воспроизведении во всех линейных системах ), и придает гармоническим колебаниям исключительно важное значение. [c.620]

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки типа устойчивого фокуса или устойчивого узла, а вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траектории, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке — состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокуса. Для иллюстрации можно привести фазовый портрет маятника при учете линейного трения (рис. 2.6). Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид [c.52]

Ограничивая качественное рассмотрение свободных колебаний в линейных и нелинейных диссипативных системах разобранными примерами, отметим, что в более сложных случаях, особенно для нелинейных задач, целесообразно пользоваться методом изоклин, построение которых позволяет составить представление об основных чертах фазового портрета исследуемой системы и, тем самым, о характере совершаемых ею движений. При этом, как уже указывалось, в диссипативных системах мы должны получить независимо от начальных условий такие движения, которые приводят систему к устойчивой особой точке — состоянию покоя, т. е. к диссипации всей энергии, связанной с изучаемым движением. [c.55]

В третьей главе рассматривается задача устойчивости линейных систем регулирования двигателей и переходных процессов в них. Особо следует отметить рассмотрение динамики схемы с упруго присоединенным катарактом, оказавшейся при практическом применении весьма эффективной, а также анализ влияния прерывистости и запаздывания регулирования на динамику процесса регулирования двигателя. [c.3]

Полученные результаты позволяют ответить на вопрос, как будет вести себя изображающая точка, а следовательно, и исходящая система при малых отклонениях от точки равновесия. Лишь в случае линейных систем характер особой точки полностью определяет поведение системы, а именно если точка равновесия устойчива и является, например, устойчивым фокусом, то при любых сколь угодно больших отклонениях в системе всегда будут происходить затухающие колебания. Если точка равновесия неустойчива (седло или неустойчивый узел, фокус), то будет происходить неограниченное удаление от положения равновесия. Если точкой равновесия является центр, то система консервативна и в ней имеется бесчисленное множество периодических движений. На фазовой плоскости этому соответствует семейство вложенных один в другой эллипсов. Если же система нелинейна, то характер особой точки вовсе не определяет поведения изображающей точки на всей фазовой плоскости. [c.227]

Простые системы. Линейную систему (19.7) называют простой, если матрица ктп неособая det А / О, и, следовательно, ктп не имеет нулевых собственных значений. Тогда единственным решением уравне-нш1 ктп п = О является Zn = 0 (п = 1, 2), и система (19.7) имеет единственную изолированную неподвижную точку в начале координат. Нас будет интересовать фазовый портрет линейной системы (19.7) и устойчивость особой точки 2 = 0. В лекции 17 мы рассмотрели уравнения (17.10), эквивалентные системе (19.7), где zi = х, Z2 = р с элементами матрицы [c.166]

Исследуем устойчивость системы (19.1) в окрестности особой точки. Пусть Хп = а-п — одна из особых точек системы (19.1). Введем локальные координаты Zn — Хп - ап, разложим / (ж) в ряд Тейлора и ограничимся линейным приближением. Тогда получим систему уравнений [c.165]

Для того чтобы стационарное пламя устойчиво распространялось по равновесной в походном состоянии смеси, необходимо, чтобы вблизи начального состояния отсутствовала химнческая реакция (У = 0). Линеаризуя систему уравнений п ее первые интегралы около решений, соответствующих равновесным состояниям, получим системы уравнении, позволяющие исследовать характер особых точек, соответствующих равновесным состояниям. На рис. 5.2.1 дана схема ноля интегральных кривых в плоскости (б, Ti), где = dTJdx, при тепловом режиме распространения пламени. В данном случае особые точки о ъ d являются седлами. Линейное решение позволяет по сепаратрисе выйти из начальной особой точки о. Последующее численное решение, описывающее переход в конечное равновесное состояние, и вычисление собственного значения —скорости пламени можно строить методом пристрелки. [c.416]

Размерность матрищя 6, как правило, большая. Для получения собственных значений необходимо применять вычислительные методы линейной алгебры [14, 38, 52, 54]. Особо следует отметить справочник алгоритмов по линейной алгебре [53], пользующийся заслуженной популярностью в прикладных исследованиях. Поскольку не существует алгоритма вычисления собственных значений, эффективного для матриц любого тина, то всякий раз приходится решать проблему выбора алгоритма. Для вычисления комплексных характеристических показателей линейной системы с матрицей С произвольной структуры следует применять QL- и (ЗЛ алгоритмы. При этом эффективность алгоритмов повышается, если предварительно выполнить процедуры масштабирования и приведения матрицы к почти треугольной форме (форме Хессенберга) [53]. Указанные алгоритмы позволяют получать характеристические показатели с машинной точностью, что особенно важно для исследования устойчивости систем, содержащих исчезающе малые параметры, как, например, параметры малых диссипативных сил. [c.486]

На ФПК в ЛГУ читаются спецкурсы по наиболее перспективным направлениям современной механики, отрабатываются вопросы методики ее преподавания в вузах, в частности, с применением ЭВМ и ТСО. Кроме 0бщена)д1ных дисциплин (основы марксистско-ленинской философии, педагогика, психология, охрана окружающей среды, техника речи и лекторское мастерство, программированное обучение и др.), читаются спецкурсы методика преподавания теоретической механики, аналитическая механика, механика со случайными силами, теория устойчивости, теория автоуправления, история механики, теория линейных колебаний, теория нелинейных колебаний, теория упругих колебаний, механика сплошной среды, математические основы современной механики, вычислительные методы механики и программирование, динамика космического полета, колебаний электромеханических систем. Особое внимание в спецкурсах уделяется вопросам применения ЭВМ в вузовском учебном процессе, причем слушатели имеют возможность пользоваться ЭВМ в ВЦ ЛГУ, посещать лекции и занятия по алгоритмическим языкам и математическому обеспечению ЭВМ. Для слушателей читаются лекции по применению ТСО в учебном процессе и методам учебного телевиденйя. [c.59]

Бифуркация. Как правило, функции fn xi, Х2) в правой части уравнений (19.1) содержат параметры, описывающие влияние внешних условий на систему. Пусть нам известно решение (19.1) при определенном значении параметра . Найдем такое значение ео, что при малом отклонении от него (е = о + Ае) новедение системы качественно меняется. Если такое значение существует, говорят, что система (19.1) имеет точку бифуркации при е = sq, а изменение фазового портрета называют бифуркацией. В качестве простого примера найдем точку бифуркации линейной системы (19.7), полагая кц = е, ki2 = 21 = О, 22 = —с < 0. Поскольку Sp к = — с, det к = —ес, то при е < О особая точка — устойчивый узел, а для любого > О — седло. Система претерпевает бифуркацию при = 0. [c.172]

Изложены тeq)eтичe киe основы сложных автоматических систем. Рассмотренные методы анализа и синтеза обращены, в первую очередь, к гибким производственным системам, как м1югомерным, мнoгoкo П7p-ным, модульным. Особое внимание уделено вопросам их статики и динамики, устойчивости, организации, адаптации. Предложенные методы позволяют производить исследование как линейных, так и нелинейных сложных систем, обеспечивают детерминированный подход к их описанию и предполагают применение вычислительной техники. [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...