Устойчивость линейных систем с постоянной матрицей

Положение равновесия х(/) = 0 линейной системы (7.2.3) с постоянной матрицей С устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда действительные части характеристических показателей неположительны, т.е. [c.463]

Пусть линейная система с постоянной матрицей G асимптотически устойчива. Таковой является и система (7.2.8), если матрица Н(д удовлетворяет условию [c.464]

Обратимся к задаче вычисления А . Уравнения устойчивости длинной панели, основанные на кинематической модели недеформируемой нормали, получим, выполнив в системе (4.5.5) предельный переход (3.2.20), что сводится к вычеркиванию из этой системы четвертого и восьмого уравнений и исключению из оставшихся уравнений слагаемых, содержащих функции у , и их производные. Вновь пренебрегая влиянием докритических деформаций, приходим к системе шести линейных дифференциальных уравнений первого порядка с шестью неизвестными, которая должна интегрироваться при краевых условиях (4.5.6), накладываемых на функции у , у у Матрица коэффициентов этой системы постоянна и ее собственные значения, как легко убедиться, таковы [c.127]

В более общем случае систем, у которых элементы матрицы — непрерывные и ограниченные функции времени, Ляпунов при исследовании устойчивости выделил тот важный случай, когда линейная система приводима , т. е. существует неособенная линейная подстановка, переводящая ее в систему с постоянными коэффициентами. В связи с этим очередной задачей стало выяснение условий приводимости линейных систем. Ряд работ [c.130]

Показать, что нулевое решение ж = О линейной системы в конечных разностях ж(5 + 1) = Лж(5) с постоянной матрицей Л асимптотически устойчиво в том и только том случае, если все собственные числа ki матрицы Л лежат внутри единичного круга ki < < 1, г = 1, п. [c.289]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Пусть все собственные числа матрицы А имеют отрицательные действительные части. Тогда система (10) при достаточно малых е и 1) имеет единственное периодическое решение С ( 5 с периодом 2тг/0, допускающее оценку С ( , ) КеО, при любом . Здесь — евклидова норма, К — положительная постоянная. Это решение асимптотически устойчиво. Из доказательства теоремы следует, что чем меньше тем ближе решение е) к решению линейной [c.612]

Для расширения области применения первого метода Ляпунова в том случае, когда коэффициенты линейной системы постоянны, а нелинейные члены не содержат времени, требовалось дополнить общие результаты Ляпунова исследованием особенных (критических) случаев. Ляпунову принадлежит анализ случая одного и двух нулевых корней (характеристического уравнения матрицы ) и двух чисто мнимых корней. Первые новые важные результаты были получены Г. В, Каменковым и И. Г. Малкиным Они в весьма широких предположениях провели анализ устойчивости при наличии двойного нулевого корня, затем нулевого корня любой кратности, нри наличии двух пар, затем любого числа мнимых корней (предполагается, что все остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части). В тех же работах рассмотрены критические случаи для систем с периодическими коэффициентами в линейных членах и периодическими нелинейными членами (период предполагается одним и тем же для всех pgf и Zfe). Каменков и Малкин дополнили и в этом пункте результаты Ляпунова. [c.130]

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], О Браейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967]. [c.27]

В некоторых работах рассматривался вопрос об устойчивости класса линейных систем при вариациях коэффициентов этой системы, исчезающих при оо. Так, например, Н. П. Еругин (1946) рассмотрел вопрос об устойчивости приводимых и приведенных систем. Им показано, как быстро должны стремиться к нулю при оо вариации разных элементов матрицы коэффициентов, чтобы система оставалась приводимой и притом к той же системе с постоянной матрицей коэффициентов. Эта квалифицированная малость вариаций коэффициентов определяется видом приведенной системы. Ю. С. Богданов рассматривал (1955, 1961) этот вопрос для правильных систем. [c.85]

Движение некоторой динамической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами Xi = i = где непрерывная функция f t) периодична с периодом Т, т. е. f t- -T) = f t). Доказать, что эта система имеет единственное асимптотически устойчивое в целом периодическое движение периода Т, если матрица А = гурвицева. [c.289]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...