Гука закон первая

Задачи, в которых справедлив закон Гука в первой форме, называются линейными. Во второй форме закон Гука дан в 1.7. Физическим обоснованием как закона Гука в силах и перемещениях, так и обобщенного закона Гука служит прямо пропорциональная зависимость А/, = — САг , приведенная в 1.4. [c.29]

При решении простейших задач на растяжение и сжатие мы уже встретились с необходимостью иметь некоторые исходные экспериментальные данные, на основе которых можно было бы построить теорию и внести тем самым некоторые обобщения в анализ конкретных конструкций. К числу таких исходных экспериментальных данных относится в первую очередь уже знакомый нам закон Гука. Основными характеристиками материалов при этом являются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона р.. Понятно, что в зависимости от свойств материала эти величины меняются. В первую очередь Е и р зависят от типа материала и в некоторой степени от условий термической и механической обработки. [c.48]

В первом случае, когда на всей граничной поверхности заданы перемещения, выражение деформаций (3.67) можно подставить в обобщенный закон Гука (6.2), а полученный результат подставить в уравнения Коши (2.85). В результате получим уравнения равновесия Ламе в перемещениях [c.118]

Закон Гука для напряжений с учетом первой гипотезы примет вид [c.200]

Сейчас мы поступим следующим образом. Мы уже выяснили, какую роль в оценке критических сил играют отклонения от закона Гука, а теперь посмотрим, как изменяется критическая сила при частичной потере упругих свойств материала. Этот вопрос близок к первому Речь идет опять же об устойчивости относительно короткого и жесткого стержня, т. е. имеющего малую гибкость. Поэтому [c.152]

В первом случае решение задачи сводится к решению системы трех нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно искомых функций перемещений и, v, w. Очевидно, что в частном случае при соблюдении закона Гука из этих уравнений должны получаться уравнения Ляме. [c.305]

Уравнение Леви легко вывести, если условие неразрывности при помощи закона Гука выразить в напряжениях и дополнительно воспользоваться уравнениями равновесия (2.3.1) продифференцировав первое из которых по х, а второе по у, и затем их сложить. [c.35]

Развитие техники за последние десятилетия связано с применением новых материалов и широким использованием в конструкциях различного рода гибких элементов и вызвало необходимость решения задач, которые являются предметом нелинейной теории упругости. Эти задачи могут быть либо геометрически нелинейными (когда тела не обладают достаточной жесткостью, например гибкие стержни), либо физически нелинейными (когда тела не подчиняются закону Гука), а также геометрически и физически нелинейными (когда детали изготовлены из резины или некоторых пластмасс). Во всех этих задачах непременными свойствами модели являются сплошность и идеальная упругость, а возможность других свойств, конкретизирующих ее, определяется особенностями абстрагируемого твердого тела. Нелинейная теория упругости, таким образом, имеет еще более общий характер и решает весьма широкий круг задач, постоянно и неизбежно выдвигаемых современной техникой. Это не принижает фундаментального значения линейной теории упругости и не обязывает получать зависимости последней как частный случай значительно более сложных соотношений нелинейной теории упругости. Напротив, познания теории упругости должны начинаться с изучения исторически первой и наиболее разработанной линейной теории упругости, которая в этом отношении должна носить как бы пропедевтический характер. [c.5]

По аналогии с законом Гука для линейной деформации дается закон Гука, аля угловой деформации (при сдвиге). Разъясняется физический смысл модуля сдвига О как физической постоянной материала, характеризующей его жесткость при сдвиге. В учебной литературе и в практике преподавания для величины О применяют различные наименования модуль сдвига, модуль упругости при сдвиге, модуль упругости второго рода. Не отрицая возможности применения любого из этих терминов, будем пользоваться первым из них как рекомендованным Комитетом технической терминологии АН СССР. [c.103]

При решении статически неопределимых стержневых систем рассматриваются их статическая, геометрическая и физическая стороны. В первом случае составляются уравнения статики, необходимые для решения данной системы, т. е. система рассматривается неизменяемой. При рассмотрении геометрической стороны задачи систему представляют в деформированном состоянии и составляют уравнения совместности деформаций для этого случая. Физическая сторона задачи состоит в том, что деформации элементов конструкции на основании закона Гука выражаются через неизвестные усилия. Синтезируя эти три задачи, т. е. решая совместно все полученные уравнения, находят неизвестные усилия в стержнях и напряжения в них. [c.64]

Другой важнейший этап истории сопротивления материалов связан с именами английских ученых Р. Гука и Т. Юнга. Первому принадлежит приоритет в открытии и четкой формулировке фундаментального закона сопротивления материалов, согласно которому деформа- [c.8]

Ранее установлено, что степень нагруженности растягиваемого стержня любого размера следует связывать с нормальным напряжением о в поперечном сечении. С возрастанием величины а материал конструкционного элемента последовательно проходит стадию упругого деформирования (с соблюдением закона Гука), стадию упругопластического деформирования и стадию разрушения. Границей между первой и второй стадиями служит состояние предельной упругости, когда напряжение равно пределу текучести, т. е. имеем условие [c.133]

Здесь первый интеграл — квадратичная форма относительно составляющих деформаций е, так как согласно закону Гука (3.30) гл. 110 = Се, где матрица С равна [c.631]

Как видно, если материал подчиняется линейному закону Гука в изотермических условиях, при адиабатическом деформировании зависимость между напряжением и деформацией перестает быть линейной. Однако нелинейность эта весьма слабая. Предположим, что растяжение начато при температуре Го, тогда в начальный момент было 5 = О, и весь процесс деформирования происходит при нулевом значении энтропии. Положим 5 = 0 в (2.9.10) и разложим экспоненту в ряд, ограничиваясь двумя первыми членами. Получим следующий результат [c.69]

Постановка граничных условий для уравнений Ламе особенно проста, когда речь идет о первой основной задаче теории упругости, т. е. когда на поверхности задано и, = Ui. Если на границе заданы усилия, то следует по закону Гука выразить напряжения через деформации, т. е. первые производные от перемещений, и внести в граничные условия (8.4.6). Таким образом, на границе оказываются заданными некоторые линейные комбинации из первых производных функций ш, которые мы выписывать не будем. [c.249]

Выведем предварительно соотношения для объемной деформации. Складывая почленно первые три формулы обобщенного закона Гука (3.2), находим [c.35]

Для. выражения, составляющих напряжений через составляющие деформации возьмем первую формулу закона Гука (3.2) и в квадратной скобке прибавим и вычтем величину va [c.36]

Возьмем первое уравнение равновесия (4.1) и подставим в него напряжения из формул закона Гука в форме (4.6). В результате получим [c.43]

Подставляя в первое уравнение сплошности (4.4) деформации из формул закона Гука (4.5), получаем [c.46]

Подставляя это соотношение в две первые формулы закона Гука (4.5), находим [c.51]

Первый закон — закон изменения объема. При упругопластических как активных, так и пассивных деформациях твердого тела объемная деформация всегда является упругой и подчиняется закону Гука (3.7) [c.266]

Обобщенный закон Гука. Диаграмма а — е, как уже ранее отмечалось, имеет несколько характерных участков, которым даны соответствующие их содержанию названия. Первый участок, на котором зависимость а — е близка к линейной, назван участком линейной упругости. На этом участке наблюдается линейная зависимость между напряжениями и деформациями (до предела пропорциональности о ц) о = е. Что касается поперечной деформации, то для нее е о = —р.е р. [c.143]

Один из методов решения задач теории упругости состоит в исключении компонент напряжения из уравнений (123) и (124) с помощью закона Гука и в вырал<ении компонент деформации через перемещения с использованием формул (2). Таким путем мы приходим к трем уравнениям равновесия, содержащим только три неизвестных функции и, и, w. Подставляя в первое из уравнений (123) нормальное напряжение [c.250]

Закон Гука представляет собой простейшую и очевидную аппроксимацию наблюдаемой в опытах зависимости удлинения от напряжения. Естественно, что точность этой аппроксимации определяется в первую очередь тем, сколь широкий диапазон изменения напряжения имеется в виду. Всегда можно подобрать достаточно малый интервал напряжений, чтобы в его пределах функцию е = f(a) можно было бы с заданной точностью рассматривать как линейную. И конечно, для разных материалов это выглядит по-разному. Для некоторых материалов, таких как, например, сталь, закон Гука соблюдается с высокой степенью точности в широких пределах изменения напряжений. Для отожженной меди, для чугуна этот интервал изменения напряжений существенно меньше. В тех случаях, когда закон Гука явно не соблюдается, деформацию задают в виде некоторой нелинейной функции от напряжения = /(o ) С таким расчетом, чтобы эта функция отвечала кривой, полученной при испытании материала. [c.43]

Первый параболический закон с различными п, по-видимому, был известен как закон упругости Баха для таких материалов, как чугун, камень, бетон, которые не подчиняются закону Гука — закону пропорциональности между напряжением и деформацией. Вместо соотношения (I, г) Бюлфингер (Buelfinger) предложил в 1729 г. Y = ят , где г > 1. Со временем эта формула была забыта и вновь независимо предложена Бахом в 1888 г. и известна под его именем. Этот закон выглядит, как более общий закон, включающий в себя при п = 1 закон Гука. Для стали тг = 1, а, скажем, для чугуна п = 2. Нетрудно видеть, что этот закон противоречит нулевому возражению. Модуль упругости для такого материала -1-1 [c.279]

С другой стороны, можно представить себе упругий ма-териа1л, подчиняющийся закону Гука в первом приближении. Растяжение образца сопровождается образованием микротрещин, т. е. увеличением параметра о>, понимаемого, например, в смысле формулы (3.1). Диаграмма напряжение— деформация будет похожей на диаграмму идеально-пластического тела, и при нагружении образца различить эти две диаграммы будет невозможно. Но у упругого материала деформация в любой момент остается чисто упругой. (Нелинейность диаграммы есть следствие уменьшения площади поперечного сечения образца.) [c.13]

Мы видим, что закон Гука соответствует первому соотношению системы (12). Уравнения (7) являются обобщением закона Гука на трехмерное напряженное состояние. Р1нтересно, что эти соотношения были получены из термодинамических уравнений без обращения к закону упругости, а только из постулата, что напряжения являются линейными функциями деформаций. [c.110]

Если закон Гука считать первым приближением, пригодным для случад малых деформаций, то члены второго порядка в упругом потенциале W естественно рассматривать так же, как первое приближение. Если принять во внимание члены высших порядков, то мы получим обобщение теории, которое позволит учесть факты, которые в настоящее время выходят за ев пределы. Такие обобщения были предложены и частью разработаны несколь. кими авторами ). [c.109]

Гюйгенс, следуя идеям Леонардо да Винчи и развивая работы Гримальди и Гука, исходил из аналогии между 11н. акустич. и оптич. явлениями. Он полагал, что световое возбуждение есть импульсы упругих колебаний эфира, распространяющиеся с большой, но конечной скоростью (нем. астроном И. Кеплер и Декарт считали скорость света бесконечной, Ньютон и Гук — конечной первое её эксперим. определение произвёл в 1676 дат. астроном О. Рёмер). Наибольшим вкладом Гюйгенса в О. явл. установление им принципа, согласно к-рому каждая точка фронта волн, возбуждения может рассматриваться как источник вторичных (сферических) волн Гюйгенса — Френеля принцип) их огибающая представляет собой фронт реальной распространяющейся волны в последующие моменты времени. Опираясь на этот принцип, Гюйгенс дал волн, истолкование законов отражения и преломления, причём из его теории следовало правильное выражение для показателя преломления n2x=vJv2 (где [c.492]

На первом этапе нагружения, когда материал следует закону Гука, усилия в пнжнем п верхнем участках определяются обычными приема.ми раскрытия статической неопределимости. Так как [c.360]

Пределом пропорциональности называют то наибольшее напряжение, до которого материал подчиняется закону Гука. Пределом упругости называется напряжение, при котором появляются первые признаки остаточной де рмацин (обычно принимается Bq t = 0,002%). [c.191]

Первые слагаемые правых частей уравнений (VII.1) —деформации, возникающие под действием внешних нагрузок. Эти деформации евязаны с напряженияйи по обобщенному закону Гука.. Вторые слагаемые правых частей уравнений (VII. ) —равномерное расширение. Все оетальные формулы теории упругоети остаются без изменений. Относительное объемное расширение, учитывая (VII.I) [c.92]

В дальнейшем мы не 10льк0 будем рассматривать тела как абсолютно упругие, но будем предполагать, что все деформации не выходят за пределы области пропорциональности, т. е. что для них справедлив закон Гука. Такая область принципиально должна существовать для всякого материала, у которого силы однозначно определяются деформациями. Это скорее математическое утверждение, чем физический закон сила как функция деформации может быть разложена в ряд Тэйлора, и поэтому для малых изменений аргумента всегда можно ограничиться первым членом ряда. Утверждение, заключающееся в законе Гука, состоит в том, что существует достаточно широкая область, в которой силы пропорциональны деформациям, и что вне этой широкой области сразу начинаются резкие отклонения от пропорциональности. Однако о том, как велика эта область, закон Гука ничего не говорит. Этот вопрос должен быть выяснен опытом для каждого конкретного случая. [c.468]

Для плоской деформации все приведенные уравнения, кроме закона Гука, остаются в силе. Закон Гука записывается в несколько отличной форме ввиду наличия напряжения (4.2). Так, например, первая строка (4.7) получает вид == — ia )/E. Подста- [c.74]

Рещая (4.35) относительно компонентов тензора деформаций fiftr и учитывая две первые формулы (4.48), мы получим обобщенный закон Гука для изотропного тела. [c.71]

В трудах советских ученых А. А. Ильюшина [34], [35], В. В. Соколовского [78] и зарубежных исследователей получили решение многие актуальные и интересные задачи, однако наряду с более или менее строгими решениями в теории пластичности находят приложение и прикладные инженерные методы, успешно разрабатываемые А. А. Гвоздевым [26], А. Р. Ржаницыным [74], А. А. Чирасом [85] и др. Большой вклад в развитие приближенных решений внесен Н. И. Безуховым. Одна из первых его работ [9] по расчету конструкций из материалов, не следующих закону Гука, по глубине обобщений и по достигнутым результатам стала классическим исследованием, наложившим существенный отпечаток на развитие прикладных методов теории пластичности. Большой интерес представляет также и работа [10], в которой был предложен эффективный прием определения деформаций стержней при упруго-пластическом изгибе. [c.172]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

Кроме кинофильмов выпускаются кинофрагменты—-немые ролики для 5-минутной демонстрации с минимальным количеством титров. Все комментарии при их показе дает преподаватель. Кинофрагменты поступают в полное распоряжение техникумов от заказавших их министерств и ведомств. По сопротивлению материалов к настоящему времени выпущены следующие кинофрагменты Метод сечений , Напряжения, линейные и угловые деформации , Статически неопределимые системы , Заклепочные соединения , Напряж енное состояние при кручении , Внутренние силовые факторы при поперечном изгибе , Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов , Жесткость при изгибе , Косой изгиб , Изгиб с растяжением , Гипотезы прочности , Применение гипотез прочности , Обобщенный закон Гука , Контактные деформации напряжения (две части, первая посвящена точечному контакту, вторая — линейному) и др. [c.34]

Эксперименты по растяжению (или сжатию) стандартных образцов материалов являются испытаниями на прочность. Результаты этих испытаний позволяют ранжировать материалы по прочности. Это с одной стороны. С другой стороны, такие образцы можно рассматривать в качестве моделей реальных стержневых элементов машин и сооружений. В этом случае результаты упомянутых экспериментов позволяют сформулировать два фундаментальных закона. Согласно первому стержневой элемент по мере роста нагрузки всегда обнаруживает стадию упругого деформирования (с одновременным выполнением закона Гука), стадию упругопластического деформирования и стадию разрушения. Последняя может включать, а может и не включать подстадию образования шейки. [c.67]

Теперь перейдем к исследованию напряжений в пластинке. Для вычисления нормальных напряжений и возьмем две первые формулы закона Гука (4.5) и на основании третьей гипотезы отбросим напрялгение по сравнению с напряжениями и Оу. Тогда получим [c.115]

Преобразуем первую формулу закона Гука (4.6), вычтя из ее обеих частей среднее напрялщние в рассматриваемой точке [c.261]

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137 ), не входят приращения второго порядка от массовых н поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения а, v, W в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использовг.нием закона Гука, а также постулатов 1) и 2) ). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух. [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...