Эйлера углы собственного вращения

Установим теперь соотношения между координатами вектора и> и производными по времени от углов Эйлера. Определение углов Эйлера дано на стр. 91, где оператор А 6 50(3) представлен в виде композиции А = о о А . Здесь Аф соответствует углу прецессии гр, Ай — углу нутации ё, А — углу собственного вращения (р. По определению вектор угловой скорости вращения вокруг некоторой оси направлен вдоль нее так, чтобы из его конца вращение было видно происходящим против хода часовой стрелки, а модуль вектора угловой скорости равен модулю производной по времени от угла поворота. [c.135]

Отметим вырождение кинематических уравнений Эйлера, когда = 0. Оно возникает из-за совпадения действий поворотов по углу прецессии и углу собственного вращения, когда = ез (см. рис. 2.5.1). [c.136]

Положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера углом прецессии t ), углом нутации б и углом собственного вращения <р (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Охуг, [c.144]

Углы ф, ф и б называются углами Эйлера. Они полностью определяют положение твердого тела. В самом деле, изменение угла определяет отклонение оси от оси г. При постоянном значении угла О ось может вращаться вокруг оси 2. При этом будет вращаться плоскость Х 0у1 и угол прецессии т]) будет изменяться. Если же, кроме того, угол прецессии г] сохраняет постоянное значение, то ось будет оставаться неподвижной. Тогда твердое тело будет иметь возможность лишь вращаться вокруг неподвижной оси 21. В таком движении положение твердого тела будет полностью определяться углом собственного вращения ф. В общем случае все три угла ф, гр и 0 могут изменяться одновременно и независимо один от другого. [c.113]

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ip. [c.105]

Данный случай интегрируемости аналогичен случаю Лагранжа в уравнениях Эйлера-Пуассона ( 3 гл. 2), а дополнительный интеграл F = Мз связан с наличием циклической координаты (угла собственного вращения). Редукция к одной степени свободы и явное интегрирование приведено нами в 1 гл. 4. [c.171]

Замечание 2. Если рассматривать возмущения задачи Эйлера-Пуансо при условиях Гесса, то оказывается, что пара сепаратрис, исходящих из неустойчивых перманентных вращений, не расщепляется при возмущении [92] (см. рис. 70f, 71 h). При этом интеграл (3.4) и определяет особый тор, заполненный двоякоасимптотическими траекториями, приближающимися к некоторым неустойчивым периодическим решениям, которые при Д О переходят в перманентные вращения вокруг средней оси. Такое описание динамики приведенной системы не противоречит результату Жуковского о квазипериодическом движении центра масс тела (3.9), так как система, описывающая движение центра масс, получается редукцией не по углу прецессии, а по углу собственного вращения вокруг оси, перпендикулярной круговому сечению. [c.244]

Если одна из точек тела неподвижна, то такое тело представляет собой голономную систему с тремя степенями свободы. Введем три обобщенные координаты — три угла Эйлера угол собственного вращения [c.378]

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следуюш,ие, взятые из небесной механики наименования ф — угол собственного вращения, — угол прецессии, 0 — угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 172 стрелками. [c.147]

Углы Эйлера задают последовательность вращений сначала на угол прецессии ф вокруг оси ез, затем на угол нута-(1) ции I вокруг повернутого на угол ф положения первой оси и, наконец, на угол собственного вращения р вокруг нового положения третьей координатной оси, получившегося после первых двух поворотов. [c.92]

При регулярной прецессии плоскость, содержащая векторы ы. К, е з, вращается вокруг вектора К с угловой скоростью и>п Если ввести углы Эйлера так, что вдоль вектора К будет направлен неподвижный базисный вектор ез, то для регулярной прецессии угловые скорости собственного вращения и прецессии (см. 2.5), а также угол нутации будут постоянными [c.474]

На сх. перемещение ф характеризует собственное (чистое) вращение, if — прецессию. П. может сопровождаться нутацией (см. также Эйлера углы). Если нутации нет (угол нутации д [c.266]

СОБСТВЕННОГО (ЧИСТОГО) ВРАЩЕНИЯ УГОЛ — т. Эйлера углы. [c.333]

Эти углы называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые пз небесной механики, наименования щ —угол собственного вращения, —угол прецессии, 0—угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 200 стрелка.ми. При изменении угла ср тело совершает поворот вокруг оси Ог (собственное вращение), при изменении угла — поворот вокруг оси Oг (прецессия) и при изменении угла в — поворот вокруг линии узлов ОК (нутация). [c.206]

Зная зависимости угла прецессии угла нутации О и собственного вращения (р от времени, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1) для определения проекций угловой скорости па подвижные оси координат. Подставляя в (1) заданные функции, получаем [c.223]

Следуя предложенному ранее подходу [7, 36, 37], будем определять положение диска декартовыми координатами х vi у проекции его центра на горизонтальную плоскость и углами Эйлера д,ф и (р — угол между плоскостью диска и опорной плоскостью, ф — угол прецессии, (р — угол собственного вращения). При этом высота центра диска над опорной плоскостью определяется соотношением h = = а sin г . Тогда функция Лагранжа и уравнения связей, выражающие условие отсутствия проскальзывания диска в точке его контакта с опорной плоскостью, примут вид [c.457]

Рассмотрим задачу о регулярных прецессиях осесимметричного тела, закрепленного в некоторой точке О его оси симметрии Ог. Положение тела определим тремя углами Эйлера д — угол нутации, угол между осью О г л некоторой неподвижной осью 0( ф — угол прецессии, угол поворота плоскости Ог( вокруг оси — угол собственного вращения тела вокруг оси О г. [c.341]

На сх. перемещение ф характеризует собствен(юе (чистое) вращение, / — прецессию. П. может сопровождаться нутацией (см. также Эйлера углы). Если нутации нет (угол нутации Э не меняется), а угловые скорости собственного вращения и П, постоянны, то П. называют регулярной. [c.330]

Эти девять направляющих косинусов (для каждого тела Г ) выражаются, как известно, через три независимых угла, за которые мы примем здесь опять углы Эйлера угол прецессии 1 ) , угол нутации 10, и угол собственного вращения ф . [c.402]

Углы Эйлера вводятся следующим образом (рис. 18). Плоскость Оху пересекается с плоскостью OXY по прямой 07V, которая носит название линии узлов. Угол, составляемый линией узлов с осью ОХ, обозначается буквой и называется углом прецессищ угол между осями Oz и 0Z обозначается буквой в и называется углом ну-тацищ угол между осью Ох и линией узлов обозначается буквой (р и называется углом собственного вращения. [c.50]

Для того чтобы определить положение системы Охуг, достаточно знать три угла ф, 0. Эти углы (фиг. 62) называются углами Эйлера. Если линия пересечения подвижной плоскости хОу с неподвижной Orj будет ON, то Z(p= ZNOx, Z Z ON, ZQ= Zt>Oz. Положительное направление отсчета этих углов указано на фигуре 62. Линию ON называют линией узлов, угол ф — углом собственного вращения, я — углом прецессии и 0 — углом нутации. При движении твердого тела около неподвижной точки углы ф, ij и 0 непрерывно изменяются с течением времени. [c.133]

Неограниченная задача трех тел. А.М. Ляпунов [30] вывел уравнения движения неограниченной задачи трех тел, используя в качестве части независимых переменных квазискорости Если ввести подвижную систему координат с началом в точке Pq принять за ось абсцисс — направление, идущее от точки Pq к точке Pi, за ось ординат, ось Р т] — направление, перпендикулярное Pq/i в плоскости треугольника Р0Р1Р2, а ось Pq дополняет систему до правой, то uJi,uJ2 0J суть проекции мгновенной угловой скорости UJ триэдра на оси Pq/i, Ро 7, РоС соответственно. Эти величины связаны с углами Эйлера — долготой I7, наклонностью I и углом собственного вращения Ф известными кинематическими соотношениями [c.142]

Введем на многообразии 50(3) локальную систему координат — углы Эйлера. Твердое тело будем отождествлять с репером Sy Пусть точка О — неподвижная точка твердого тела, а 0х,х2дсз — репер С неподвижным репером 51, отождествим систему координат 0 142 3- Линия пересечения координатных плоскостей 0 1 2 и Ох,л 2 (линия ОТУ) называется линией узлов (рйс. 10). Введем подвижный репер 5, (система координат ОЛ Дз). Движение репера 5, относительно репера 5о есть вращение вокруг неподвижной оси 0 3 на угол V, который называется углом прецессии. Репер S2 (система координат ОМ, Хз) повернут относительно репера 5, на угол 8, который называется углом нутации, вокруг линии узлов ОК Наконец, репер Sз повернут относительно репера S2 на угол ф. который называется углом собственного вращения, вокруг оси 0x3. При движении твердого тела углы Эйлера (ф, Э, ф.) изменяются, и движение твердого тела представляется в виде сложного движения, состоящего из трех относительных вращений вокруг соответствующих осей. Переход от репера Sз к реперу задается соотношением [c.35]

Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжесги, определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации 0. Составить функцию Гамильтона для углов ф, 0 и ф (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, I — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции отно-с1.1те.льно оси 2, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О. [c.375]

Углы Эйлера широко применяются в теории гироскопов. Движение гироскопа, т. е. симметричного тела, имеющего неподвижную точку на оси симметрии и быстро вращающегося вокруг этой оси, в общем случае, можно представить состоящим из трех движений (рис. 157) вращения с большой угловой скоростью вокруг оси симметрии, пли оси собственного вращения, при котором изме-н тется угол собственрюго вращения ф, вращения гироскопа вместе со своей осью сим-негрии вокруг неподвижной ос[1 Ог1, при котором изменяется угол прецессии г)). Третье движение совершает ось симметрии, которая, участвуя сионном движении, описывает коническую поверхность с вершиной в неподвижной точке, а вследствие изменения угла нутации 6 она описывает в общем случае волнистую поверхность. [c.165]

НУТАЦИЯ (от лат. nutatio — колебание) — колебание угла наклона odh Собственного вращения твердого теЛа (см. также Эйлера углы). [c.203]

Оставим в рассмотрении только две системы координат траекторную OX Y Zk и связанную систему OXYZ. Переход от траекторной к связанной системе можно осуществить с помощью трёх углов Эйлера (рис. 1.1) угла скоростного крена 7 (прецессия), пространственного угла атаки (нутация) и угла аэродинамического крена Lpn (собственное вращение). Связанная система координат OXYZ в общем случае не является главной, и геометрия масс определяется шестью компонентами тензора инерции тремя осевыми моментами инерции 1х, 1у, Iz и тремя центробежными 1ху, lyz, Ixz- Имеет смысл, не нарушая общности, сократить число центробежных моментов инерции за счёт поворота связанной системы координат вокруг одной из собственных осей. Обозначим в качестве исходной связанную систему OX Y Z, в которой все шесть компонентов тензора инерции не равны нулю, и повернём её вокруг оси ОХ на некоторый угол % Положение произвольной точки в полученной в результате поворота новой системе координат OXYZ определяется по следующим формулам [c.29]

Замечание. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лаигранжа-Пуассона числа вращения равны отношению периода изменения угла нутации к периоду среднего собственного вращения. [c.206]

Псевдорегулярная прецессия тяжелого гироскопа. В случае, когда угловая скорость собственного вращения гироскопа достаточно велика, можно приближенно найти углы Эйлера в функции времени через элементарные функции Из формулы (118) видно, что при больших О) угол 0 мало отличается от 00. Положим [c.469]

НУТАЦИЯ (от лат. nutatio - колебание) - происходящее одновременно с прецессией движение твердого тела, при котором изменяется угол между осью собственного вращения и осью прецессии (см. также Эйлера углы). [c.246]

Первый поворот на угол гр (угол прецессии) вокруг оси 0Z переводит подвижный трехгранник Oxyz в положение Ox y z. Второй поворот на угол в (угол нутации) совершается вокруг оси Ох, называемой линией узлов. Последний поворот на угол ip (угол собственного вращения) вокруг оси Oz совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйлера в, (р, ф, позволяют полностью задать положение подвижного трехгранника относительно неподвижного. При этом проекции и>, и>2, < з угловой скорости ш на оси подвижного трехгранника Oxyz выражаются через углы Эйлера следующим образом [c.40]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...