Эйлеровы углы

ГЛАВА XII. СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 101. Эйлеровы углы. Уравнения сферического движения твердого тела [c.273]

Определив при помощи этих осей эйлеровы углы г[), о и ф, напишем три уравнения сферического движения тела вокруг полюса О [c.287]

Быстроту изменения эйлеровых углов характеризуют алгебраические величины соответствующих угловых скоростей [c.327]

Шарниры идеальные 30 Эйлер 5, 154 Эйлеровы углы 274 Энгельс 4 [c.364]

Тело совершающее сферическое движение, имеет три степени свободы, так как его положение определяется тремя эйлеровыми углами ij), Q, ф. [c.299]

Эйлеровы углы и кинематические уравнения Эйлера [c.188]

Теперь, когда углы ср и г)з фиксированы, у тела остается лишь одна степень свободы не меняя этих углов, можно повернуть тело вокруг линии узлов. Чтобы фиксировать и этот поворот, введем в рассмотрение еще один угол G между осью г и осью Этот угол называется углом нутации. Задание трех углов г ), ф и 6 полностью определяет положение греческой системы относительно латинской, т. е. полностью определяет положение тела. Вместе с тем эти три угла независимы в том смысле, что каждый из них можно менять без изменения двух остальных углов. Поэтому углы г 5, ф, 0 могут служить обобщенными координатами тела с неподвижной точкой О. Углы эти называются эйлеровыми углами. [c.189]

Разумеется, эйлеровы углы —не единственно возможный выбор обобщенных координат. В динамике полета, например при исследовании движения самолета или ракеты, используется иногда иной выбор обобщенных координат в качестве трех углов, характеризующих положение летящего тела, принимают угол отклонения горизонтальной оси самолета от заданного курса (угол рыскания), угол поворота вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно курсу, например вдоль крыльев, и характеризующей отклонение от горизонтали (угол тангажа), и наконец, угол поворота вокруг продольной оси самолета (угол крена). [c.189]

При изучении движения тела с неподвижной точкой мы в качестве обобщенных координат будем брать эйлеровы углы, т. е. считать, что [c.189]

Угловые скорости ф, ф, (5 изображаются векторами, направленными перпендикулярно плоскостям, в которых расположены соответствующие углы. Поэтому угловая скорость q) направлена перпендикулярно плоскости Р, т. е. по оси t угловая скорость iji — перпендикулярно плоскости хОу, т. е. по оси г и наконец, угловая скорость О направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через оси и г, т. е. вдоль линии узлов (рис. V.8). В связи с тем, что эйлеровы углы независимы, угловые скорости ф, ф, О представляют собой систему трех независимых угловых скоростей, пересекающихся в одной точке О. Движение тела [c.189]

Для того чтобы установить связь между р, q, г —проекциями вектора ю на оси, связанные с телом, и эйлеровыми углами, [c.190]

Уравнения (53) называют иногда кинематическими уравнениями Эйлера в отличие от другой группы уравнений, также выведенных Эйлером (они будут рассмотрены в следующем параграфе). Уравнения (53) выражают выведенные выше вспомогательные переменные р, q, /- — проекции вектора о на оси т) и —через эйлеровы углы и их производные. [c.191]

Если эйлеровы углы ф, г з, б известны как функции времени, то равенства (53) позволяют немедленно определить, как меняются во времени р, q и г. Если же, наоборот, известно, как меняются во времени р, q, г, то равенства (53) представляют собой систему дифференциальных уравнений относительно эйлеровых углов ф, г з, 6. Поэтому если мы получим уравнения, описывающие изменение во времени вспомогательных переменных р, q, г, то такие уравнения совместно с уравнениями (53) полностью спишут изменение во времени эйлеровых углов. Именно вывод таких уравнений и составляет цель следующего параграфа. [c.191]

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла ф, т. е. обобщенной координаты q . Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная dT/dq равна [c.192]

Предположив, что начала координат в системах Q tiS и Ox z совпадают, мы можем определить положение твердого тела тремя эйлеровыми углами. Если ОК есть прямая пересечения плоскостей 0 ti, Оху, называемая линией узлов, то углы эти следующие (рис. 80) 1) угол ф между ОК и Ох, 2) угол 11) между 0 и ОК и 3) угол 9 между и Oz. При этом все углы берутся между положительными направлениями осей. [c.93]

Эта формула получена Коши (1827 г.). Аналогичную формулу, но в эйлеровых углах дал Л. Эйлер (1765 г.). [c.340]

Как и следовало ожидать, коэффициенты разложения матрицы Q по матрицам Е, а-, (Тз, (Тз совпадают с выражениями первого решения для параметров Эйлера, найденными в примере 2.6.1 для случая до Ф 0. Второе решение получится, если ко всем эйлеровым углам прибавить 2тг. [c.109]

Таким образом, тензор напряжений (а,/) полностью определен, если заданы шесть компонент oij тензора либо три главных напряжения Ok и три главных направления (три эйлеровых угла). Вместо трех главных напряжений ст ( =1, 2, 3) могут быть взяты три инварианта оо, а, <р (либо (х ). [c.57]

Движение состоит из чего (из относительного и переносного движений, из переноса и поворота...), начинается как (из состояния покоя...), характеризуется чем (кинетической энергией...), (не-) сводится к чему (к вращению...), (не-) раскладывается на что (на поступательное и вращательное...), (не-) задано как (естественным способом, координатным способом...), (не-) задано чем (уравнениями, графиком...), рассматривается как что (как вращение...), можно определить чем (заданием эйлеровых углов...), (не-) определяется, выражается чем (формулами, уравнениями...), (не-) происходит где (в одном направлении, на плоскости, в пространстве, во времени...), является чем (вращением, параллельным переносом,..), (не-) является каким (сложным, поступательным, составным, плоскопараллельным, абсолютным, относительным, переносным...), (не-) меняет что (ориентацию фигуры...). [c.44]

Угол прецессии, угол нутации и угол собственного вращения называются эйлеровыми углами. [c.53]

Новое издание первого тома курса, помимо только что указанных глав, содержит еще ряд других дополнений. Так, в отделе статики изложен классический вопрос о приведении произвольной совокупности сил к двум непересекающимся силам, дано несколько новых примеров. В отделе кинематики расширено представление о возможных системах эйлеровых углов. [c.6]

Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку. Эйлеровы углы [c.262]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕЛА. ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ [c.263]

Для установления зависимостей между косинусами углов, образованных осями подвижной системы (связанной с твердым телом) с осями неподвижной системы, и эйлеровыми углами можно воспользоваться также формулами сферической тригонометрии. Опишем вокруг точки О сферу единичного радиуса и отметим на поверхности сферы точки пересечения ее с осями координат и линией узлов (рис. 182). Соединяя эти точки дугами больших кругов, получаем сферические треугольники, решая которые находим искомые соотношения между косинусами углов, образуемых координатными осями, и тригонометрическими функциями эйлеровых углов. [c.266]

Таким путем непосредственно получаются искомые соотношения в любой системе эйлеровых углов. [c.266]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕЛЛ ЭЙЛЕРОВЫ УГЛЫ [c.267]

Укажем систему выбора эйлеровых углов, лишенную этого недостатка. [c.267]

Отметим прежде всего три основных принципа обеспечения правильного выбора эйлеровых углов [c.267]

Пользуясь этими замечаниями, можно указать целый ряд способов выбора эйлеровых углов. Легко убедиться, что ранее изложенный способ согласуется с перечисленными только что принципами. [c.267]

Уравнениями движения тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, являются уравнения, связывающие параметры (эйлеровы углы), определяющие положение тела, со временем [c.271]

Так как иоложеиие твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется т[. смя эйлеровыми углами, т. е. тремя параметрами, то оио нмеег три степени свободы. [c.274]

Сферическое движение твердого тела можно определить заданием эГм. сровых углов как функций врсмспи. Для определения эйлеровых углов проведем три взаимно перпендикулярные оси а, Ь, с, движущиеся поступательно вместе с точкой О и остающиеся параллельными неподвижным осям х, у, г, а также взаимно перпендикулярные оси I, т), связанные с телом. [c.287]

Таким образом, выражения проекций углового ускорения на иеиодвнжные оси содержат эйлеровы углы и их производные. [c.330]

Положение твердого тела, одна из точек которого неподвижна, можно определить путем задания трех эйлеровых углов ijj, Q и ф. Из этого следует, что тако тело имеет три степени свободы. Гироскоп с тремя степенями свободы, быстро враш,ающийся вокруг сгюей оси, обладает особым ( эизическим свойством — оказывать сопротивление силам, стремящимся сместить его ось. Чтобы обнаружить это свойство, рассмотрим гироскоп, неподвижная точка которого совпадает с его центром тяжести. [c.246]

Начиная с этого параграфа, мы всегда будем считать, что оси I, т), направлены по главным осям тела для точки О. При таком выборе осей кинетическая энергия тела, как это было выяснено в 3, может быть предстгвлена формулой (43). Положим 1 = г1з, 2 = Ф. = 0 и, собираясь составить уравнения Лагранжа для тела с неподвижной точксй, прежде всего найдем, чему равны обобщенные силы, соответствующие эйлеровым углам. [c.191]

Для того чтобы определить обобщенную силу, соответствующую какому-либо из эйлеровых углов, надо в соответствии с общим приемом определения обобщенных сил дать приращение этому углу (не меняя двух остальных углов), подсчитать работу всех приложенных сил при этом приращении и разделить затем работу приложенных сил на приращение угла. Но при таком приращении тело совершает малый поворот вокруг неподвижной оси, и поэтому работа равна главному моменту всех сил относительно этой оси, умноженному на приращение угла. Отсюда сразу следует, что сбобщенными силами для этих эйлеровых углов являются моменты относительно осей, перпендикулярных плоскостям, в которых меняются эти углы, т. е. [c.191]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Аналитическое определение положения абсолютно твердого тела. Эйлеровы углы. Покажем, каким образом можно задать шесть независимых параметров, однозначно определяющих положение абсолютно твердого тела. Пусть есть неподвижная прямоугольная система координат (основная система отсчета) и пусть абсолютно твердое тело неизменно связано с некоторой другой, подвижной, прямоугольной системой Oxyz (рис. 79). Координаты начала О под- [c.92]

В общем случае, когда начала обеих систем координат различны, можно определить положение твердого тела тремя числами а. Ь, с и эйлеровыми углами, определяющими положение подвижной системы Oxyz относительно третьей, промежуточной, системы координат начало которой совпадает с началом подвижной системы, а оси параллельны осям неподвижной. [c.94]

Для установления зависимостей между косинусами углов осей координат и эйлеровыми углами применим следующий прием. Введем, кроме единичных векторов осей координат , /,. к, V, У, к, на рис. 181 опущенных, еще единичные векторы следующих осей (рис. 181), п — линии ) ЗЛОВ ON П — оси ON, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости хОу, п — оси OjVI, перпендикулярной к оси ON и лежащей в плоскости х Оу. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...