Уравнения поверхности пространственных кривых

КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ Пространственную кривую зададим векторным уравнением [c.256]

Преодолеть указанные трудности удалось за счет привлечения в качестве образующих плоских и пространственных кривых переменной формы и положения. Была разработана методика двухпараметрического представления таких непрерывных каркасных поверхностей и аналитическая алгоритмизация их расчета. Способ графоаналитического конструирования поверхностей был применен для реального конструирования поверхности зализа на предприятиях авиационной промышленности. Конструирование было доведено до получения уравнений как расчетных кривых, так и уравнения самой поверхности с разработкой чертежей и необходимых таблиц. [c.113]

Можно определить интегральную поверхность S уравнения F = Q, потребовав, чтобы она проходила через произвольную пространственную кривую. Задача определения такой поверхности называется задачей Коши. Задача Коши может быть решена, если известен общий интеграл уравнения. [c.243]

Решение. Точка движется по пространственной кривой, так что ее траектория в координатной форме задается пересечением двух поверхностей. Исключая время из первого и второго, а затем из первого и третьего уравнений (1), получаем [c.317]

Равенством (1.1.2) не только определяются геометрические свойства поверхности, но и дается способ задавать точки на ней, так как каждой паре численных значений параметров (а , соответствует определенная точка (или точки) на поверхности. Допустим, что параметр сохраняет постоянное значение = аю> а изменяется. Тогда уравнение (. 1.2) определит пространственную кривую, лежащую на рассматриваемой поверхности. Такие линии называются аа-линиями, так как они характеризуются тем, что на них изменяется только параметр Совокупности всех значений а , заключенных в определенном интервале, будет соответствовать семейство аа-линий. Так же можно ввести и понятие о семействе а -линий (примеры поверхностей, отнесенных к криволинейной системе координат, приведены в 10.21, 11.28, 13.6, 13.7, 14.9). [c.12]

Таким образом, в машину вводится таблица координат точек двух компланарных кривых кривой qo плоского сечения и кривой /о ребра возврата. Выходными данными могут быть координаты точек пространственной кривой ребра возврата и направляющие косинусы касательных в этих точках. При наличии таких данных дискретно заданное ребро возврата может быть известными способами интерполяции выражено аналитически, что даст впоследствии возможность перехода к составлению уравнения поверхности. [c.144]

Если поверхность перекрытия задана уравнением (2.167), а план перекрываемого помещения имеет форму прямоугольника со сторонами 2а и 2р, то край оболочки является пространственной кривой, имеющей четыре угловые точки и состоящей из четырех симметрично расположенных аркообразных участков. Такого вида перекрытия (хотя и не обязательно образованные по эллиптическому параболоиду), пожалуй, наиболее типичны для нашего времени, что заставляет несколько остановиться на них. [c.137]

Выделим случаи, когда нормальное сечение цилиндрической поверхности представляет собой кривую второго порядка ). Такая цилиндрическая поверхность относится к числу поверхностей второго порядка. Точки любой поверхности второго порядка удовлетворяют в декартовых пространственных координатах уравнению второго порядка. Любая плоскость пересекает такую поверхность по кривой второго порядка ). Прямая линия пересекает поверхность второго порядка всегда в двух точках. [c.193]

При движении точки по пространственной кривой уравнение траектории можно представить в виде двух уравнений цилиндрических поверхностей, линии пересечения которых и определяют траекторию. Возможны следующие комбинации этих пар поверхностей [c.75]

Траектория движущейся точки Р в этом случае есть пространственная кривая, лежащая, очевидно, на некоторой поверхности вращения вокруг оси Ог, уравнение которой получим, исключая т из двух уравнений (7.72), которые представляют уравнения меридианного сечения этой поверхности. Так как вид поверхности вращения вполне определяется этим сечением, то нам остается только исследовать кривую, лежащую в плоскости, проходящей через ось Ог и параметрические уравнения которой суть уравнения (7.72). [c.331]

Линия дислокации может быть произвольной пространственной кривой, замкнутой в.теле или выходящей концами на поверхность. Для дислокации произвольной формы в неограниченной среде не так уж сложно получить соответствующее решение [117]. Мы же ограничимся простейшим случаем прямолинейной дислокации. Разыскивается решение однородных уравнений статики в неограниченной среде с неоднозначным полем перемещений, получающим приращение Ь при обходе вокруг декартовой оси z — линии дислокации. [c.268]

Ортогональные криволинейные координаты на поверхностях нулевой гауссовой кривизны. Поверхность нулевой гауссовой кривизны определяется как геометрическое место касательных к произвольной пространственной кривой. Если указанную поверхность отнести к линиям кривизны (к, р) и предположить, что то уравнения Гаусса—Кодацци (2) перепишутся следующим образом [c.235]

Схема кристаллизации сварных швов. Рост кристаллитов в сварном шве происходит нормально к фронту кристаллизации, т. е. к изотермической поверхности кристаллизации (ИПК), соответствующей Гпл. Поскольку при сварке сварочная ванна перемещается, то ось растущего кристаллита является ортогональной траекторией к семейству ИПК, смещенных по оси шва. Определенные трудности заключаются в математическом описании ИПК методами теории тепловых процессов при сварке. Для инженерных решений ИПК аппроксимируют уравнением эллипсоида с полуосями L, Р, Н, которые соответствуют длине затвердевающей задней части сварочной ванны, половине ее ширины и глубине проплавления [1]. В зависимости от схемы нагреваемого тела и типа источника теплоты ИПК может быть эллипсоидом с двумя равными полуосями (точечный источник на поверхности полубесконечного тела, Р = Я), эллиптической цилиндрической поверхностью (линейный источник по толщине листа, Н = 6) или частью фиктивного эллипсоида (точечный источник на поверхности плоского слоя, р<Р и hпроцесс кристаллизации и оси кристаллитов являются Пространственными кривыми. При этом поскольку поперечное сечение сварочной ванны является кругом (P = Я = L), то форма осей всех кристаллитов аналогична форме кристаллитов на ее [c.100]

Подобно тому, как пространственную кривую можно описать натуральным уравнением двумя внутренними параметрами ее кривизной и кручением в функции длины дуги кривой (т.е. в функции положения точки на кривой), так и поверхность Д и) можно аналитически описать в функции положения точки на поверхности двумя внутренними параметрами - ее первой и второй Ф2д(и) основными квадратичными [c.60]

Траектория перемещения точки К по исходной инструментальной поверхности в результате осуществления движения ориентирования второго рода представляет собой некоторую пространственную кривую. Поскольку эта кривая лежит на поверхности И, она представима параметрическими уравнениями вида [c.459]

Ниже исследуются течения за пространственными ударными волнами, причем предполагается, что образом поверхности разрыва является некоторая кривая в пространстве годографа, а течение за ударной волной принадлежит к классу двойных волн. Естественно, рассматриваются лишь ударные (детонационные) волны постоянной интенсивности, так как течение за фронтом волны предполагается изэнтропическим. Для системы уравнений, описывающей двойные волны, вдоль некоторых линий в плоскости независимых компонент скорости ставится задача Коши. Рассматриваемая система уравнений оказывается эллиптической за фронтом ударных волн и гиперболической за нормальными детонационными волнами. Показывается, что в стационарном случае за поверхностью сильного разрыва скорость звука как функция компонент скорости такая же, как и в случае конического автомодельного течения. Это дает возможность получить некоторые точные решения для установившегося пространственного обтекания некоторых тел специальной формы при наличии ударных фронтов. [c.71]

Пространственно-сложные поверхности также могут быть заданы уравнениями или координатами опорных точек. При задании поверхности, координатами опорных точек берется ряд сечений —п ,. . ., —п (рис. 1.4), расположенных с интервалами у, и для каждого сечения задаются координаты опорных точек кривых, получающихся в результате пересечения поверхности с секущей плоскостью. [c.12]

Эта кривая проходит через точки (b = Vз, р=—27), (Ь = з, р = 0) и (Ь = 1, р = 3). Она имеет максимум в точке (Ь = /з, Р = 2 /8), а при Ь —> оо, р —> 9/Ь. Точка перегиба имеет координаты Ь = 2, р = 3. На фиг. 8 изображена пространственная поверхность, соответствующая уравнению ван дер Ваальса. [c.41]

Кривые линии в начертательной геометрии рассматриваются как непрерывная совокупность последовательных положений движущейся точки, а также как линия пересечения поверхностей. Если все точки кривой линии лежат в одной плоскости, то такая кривая называется плоской. Примером могут служить окружность, эллипс, парабола. Если кривая не лежит всеми своими точками в плоскости, то она называется пространственной, например винтовые линии. Кривые линии подразделяются и по другим признакам. Кривая может быть описана (задана) аналитически, т. е. уравнением (алгебраическим или трансцендентным), например эллипс, парабола и др. Если образование кривой не имеет строгой закономерности, то она задается графически, например горизонтали на плане местности. [c.55]

Пространственная геометрия на вращающемся диске, как мы видели, является неевклидовой. И хотя все геометрические построения в трехмерном физическом пространстве полностью согласуются с теоремами евклидовой геометрии, представление о неевклидовой геометрии в двух измерениях не является чем-то новым для нас, так как мы встречаемся с примерами таких геометрий на любой кривой поверхности. (Хорошо известен пример сферической геометрии на поверхности сферы.) В качестве введения к изучению неевклидовых геометрий в п-мерном пространстве рассмотрим геометрию произвольной двухмерной поверхности, вложенной в трехмерное евклидово пространство. Если X, у, 2 — декартовы координаты в этом пространстве, то двухмерная поверхность определяется параметрическими уравнениями [c.184]

На цилиндрической поверхности кривые 0 = onst представляют собой винтовые линии, проходящие через точку х = О, у = 0. Кривые р = onst — пространственные кривые, которые на развертке цилиндра представляют систему концентрических окружностей с центром в точке х = у = 0. Множество примеров краевых задач для уравнения вида (7.4) можно найт 1 в книге [1.15]. [c.309]

Теорема 2.1. Если за фронтом пространственной криволинейной нормальной детонационной волны течение газа принадлежит классу потенциальных двойных волн, а поверхности фронта соответствует некоторая фиксированная кривая в пространстве годографа, то для системы уравнений, описывающих двойные волны, эта кривая является линией параболичности, а за поверхностью фронта детонации упомянутая система уравнений будет всегда гиперболического типа. [c.77]

В связи со свойствами уравнения (37.68) может быть исследована и задача, поставленная Кошп пусть. лежащая в плоскости х, у кривая I задана уравнением g x, у) = 0. Отложим по этой линии I на перпендикулярах к плоскости аг, у данные значения переменной s и проведем через-концевые точки ординат z в направлениях нормалей к кривой I прямые линии, имеющие заданные уклоны dzjdn. Эти линип определят полосу развертывающейся поверхности, проходящей через пространственную [c.622]

К задаче о брахистохроне И. Бернулли возвращался многократно . Искал новые регпения, ставил вопрос о единственности решения. Но в августе 1697 г. в Journal des S avans он опубликовал постановку еще одной экстремальной задачи, обсуждавшейся им в переписке с Лейбницем, — о геодезических линиях найти кратчайшую траекторию между точками на выпуклой поверхности. Задача оказалась непростой. Бернулли опубликовал свое решение только в 1742 г., хотя основная идея метода была высказана в письме Лейбницу в 1715 г. Первым же решение этой задачи опубликовал Эйлер ( Комментарии Петербургской академии наук , 1732). В процессе решения задачи И. Бернулли ввел понятия пространственных координат и уравнения новерхности Под данной кривой поверхностью я разумею такую, отдельные точки которой (подобно точкам данной кривой линии) определяются тремя координатами X, у, Z, отношение между которыми выражается данным уравнением эти же три координаты суть не что иное, как три перпендикулярных отрезка, проведенных из какой-либо точки поверхности к трем плоскостям, данным по положению и взаимно пересекающимся под прямыми углами [64, с. 100]. [c.157]

Грин [90] исследовал проблему поверхностного квантования, взяв в качестве модели простую потенциальную яму вблизи поверхности. Энергетические уровни представлены на фиг. 5.46. Для наглядности кривая функции плотности состояний смещена вправо от начала координат на величину энергии уровня. В случае треугольной ямы первый уровень находится на 7 кТ ниже края валентной зоны. Отсюда поверхностный потенциал действительно будет больше 9 йГ, как отмечалось выше, и поправка на параболичность будет очень большой. Для корректного подхода к проблеме необходимо одновременное решение уравнений Шредингера и Пуассона [114]. При этом возникают серьезные математические трудности. Различные авторы указывали, что квантование области пространственного заряда должно привести к расширению поверхностного слоя и росту поверхностной подвижности [114—116]. [c.381]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...