Плоскости Движение по пересекающиеся — Уравнения

Проведем на фазовой плоскости через неособые точки отрезок без контакта АВ, т. е. такой отрезок прямой или дуги некоторой гладкой кривой, в каждой точке которого фазовые траектории системы (4.2) пересекают его, нигде не касаясь. Рассмотрим фазовую траекторию Г, проходящую через некоторую точку М отрезка АВ, где М отлична от точек А или В. Пусть в момент времени / = О изображающая точка, движущаяся на траектории Г согласно уравнениям (4.2), совпадает с точкой М. Если при дальнейшем движении изображающей точки вдоль фазовой кривой Г она будет вновь и вновь пересекать отрезок без контакта АВ, то говорят, что точка М имеет последующие. Тогда на основании теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий все точки на отрезке АВ, достаточно близкие к точке М, также имеют последующие. Пусть S и S — координаты точки /И и ее последующей (рис. 4.1). Согласно сказанному выше, будет существовать функциональная зависимость [c.71]

Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким-то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная волна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается в ноль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое. Картина течения в таком случае должна описываться соответствуюи им решением уравнения Эйлера — Трикоми. Помимо общих условий однозначности решения в физической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны выполняться еще и следующие условия 1) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, упираясь в звуковую линию), то ударная волна должна быть приходящей по отношению к точке пересечения, 2) приходящие к точке пересечения характеристические линии в сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенности могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пересечения). Существование решения уравнения Эйлера— [c.641]

Можно было сразу написать уравнения (1), (2) и (3), не пользуясь уравнениями Лагранжа. В само. деле, так как сила все время пересекает ось Ог, то к проекции движения на плоскость л у применим закон площадей, что приводит к уравнению (1). Так как составляющая силы но оси Ог й->г [c.452]

II. Л = О U одновременно А = А = А = 0. В этом случае плоскости м = 0, 1> = 0, и = 0 пересекаются но одной прямой, которую назовем критической прямой, так как каждая ее точка является критической. Перенеся начало координат в одну из точек критической прямой, можем написать дифференциальные уравнения без свободного члена. Этот случай характеризуется тем, что О является корнем характеристического уравнения. Пусть (Oi = 0. Тогда один из интегралов будет = С, т. е. одна система поверхностей представляет собой параллельные плоскости. Имеем движение плоскопараллельное, классификация критических точек которого дана в моей статье [3]. [c.23]

Движение капель за НА. При свободном движении в пустоте и заданной начальной скорости траектории капель были бы прямолинейными. Если допустить, что капли равномерно распределены по всему пространству и что все они выходят из НА с одной и той же скоростью, то при свободном движении их прямолинейные траектории лежат на поверхностях линейчатого гиперболоида вращения. Каждая из этих поверхностей, имеющая при выходе из НА радиус го, пересекается с меридиональной плоскостью по гиперболе, выражаемой уравнением [c.230]

Фазовые траектории, лежащие для i ) О на цилиндрических поверхностях г= се — 1, всякий раз пересекая плоскость ф = О, с течением времени могут попасть на пластинку скользящих движений [уравнения (24в)[ и затем либо в состояние равновесия ц = г = О, которое при (А + В) - > 4В является устойчивым узлом, а при А + 5) < 4В устойчивым фокусом, либо на край пластинки и снова в пространство 1 ) 0. [c.182]

Линии, на которых лежат векторы всех точек ребра 1-2, пересекают тело бруска под различными углами г), и, чтобы не возникла ситуация, подобная рассмотренной на рис. 5.4, б, когда результирующее движение резания бруска невозможно, боковую плоскость 1-2-3-4 бруска нужно заменить другой поверхностью. Эта поверхность должна быть образована совокупностью линий, которые согласно уравнению (5.5) касательны к винтовым траекториям и на которых лежат векторы скорости результирующего движения всех точек режущей кромки 1-2. Такая поверхность по условиям своего образования представляет собой винтовую поверхность, имеющую общие касательные с винтовой поверхностью резания. Таким образом, в каждой точке режущей кромки задние углы должны быть выполнены согласно условию а = т1 (рис.. 5.6, 6). Результирующее движение бруска с заточенной на ней таким образом винтовой боковой поверхностью становится возможным, но при этом происходит трение этой поверхности по винтовой поверхности резания. Чтобы ликвидировать это [c.54]

Пусть движение представлено траекторией в трехмерном пространстве с координатами (х,у,г). Для построения отображения Пуанкаре мы пересекаем траекторию плоскостью, уравнение которой имеет вид [c.141]

Весь процесс развития удара можно проследить теперь точно так же, как в соответствуюш,ей задаче для плоского случая. Изображающая точка Т перемещается вдоль известной кривой до тех пор, пока она не постигнет линии нулевого скольжения. Затем движение происходит вдоль линии нулевого скольжения в направлении возрастания абсциссы R. Полный ударный импульс R = Ri для всего удара находится умножением абсциссы Ri точки, в которой Т пересекает плоскость наибольшего сжатия на 1 + е, так что R = Ri + е), где е — коэффициент восстановления. Полный ударный импульс трения представляет собой ординату точки Т, соответствующей абсциссе R = R . Подставив ее в динамические уравнения (1)—(4), можно найти движение двух тел непосредственно после удара. [c.280]

Полный ударный импульс R = для всего удара находится умножением на 1 + е абсциссы R точки, в которой Т пересекает плоскость наибольшего сжатия, где е — коэффициент восстановления, так что R2 = (1 + е). Соответствующие значения импульсов Р к Q представляются ординатами, отвечающими абсциссе R . Подставив их в динамические уравнения, найдем движение непосредственно после удара. [c.283]

Используя уравнения (4.19) и (4.21), мы без особых усилий можем получить общее представление о движении, по крайней мере, в той степени, в какой оно касается формы треугольника. Также можно произвести классификацию на различные возможные случаи. Представим, что 51,52,53 — это декартовы координаты точки в пространстве. Тогда уравнение (4.21) определяет сферу радиуса л/З, а уравнение (4.19) описывает поверхность третьего порядка, асимптотами которой являются координатные плоскости и которая пересекает плоскости, параллельные координатным, по равносторонним гиперболам. Поскольку величины 51,52,53 положительны, мы можем ограничиться первым октантом. Плоскости [c.696]

В дальнейшем мы будем пользоваться следующей терминологией. Если уравнения движения системы (определяемой двумя автономными уравнениями первого порядка) допускают однозначный аналитический интеграл, то мы будем говорить, что структура интегральных кривых на фазовой плоскости для этой системы имеет консервативный характер. Такую систему, имеющую однозначный аналитический интеграл, мы будем называть консервативной системой, если она имеет интегральный инвариант, удовлетворяющий следующим требованиям 1) область интегрирования 0(4) может быть выбрана любой, лишь бы ее не пересекали некоторые изолированные кривые 2) при дальнейшем изменении t 0 t) не стремится к нулю, оставаясь в конечной части фазовой плоскости. [c.163]

Поскольку автоколебательный процесс соответствует периодическому решению дифференциального уравнения движения, он должен отображаться на фазовой плоскости замкнутой интегральной кривой, охватывающей положение равновесия. Такая кривая получила название предельного цикла. Существование предельных циклов было обнаружено французским ученым Анри Пуанкаре, а на их связь с автоколебаниями было указано академиком А. А. Андроновым. Так как интегральные кривые, иначе говоря, фазовые траектории, не могут пересекаться, то фазовые траектории, не являющиеся предельными циклами, должны представляться какими-то кривыми, асимптотически приближающимися к предельным циклам или с них сходящими. На рис. 69 представлены [c.141]

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ. Замкнутые фазовые траектории, изображающие периодические движения или нелинейные колебания консервативных систем, образуют на фазовой плоскости целые континуумы, заполняющие конечные участки, причем одна замкнутая фазовая траектория охватывает другую, не пересекая ее (траектории как бы вложены одна в другую). Поэтому, если в консервативной системе возможно одно периодическое движение, то их может быть в ней бесконечное множество и все они могут быть получены непрерывным изменением начальных условий в пределах некоторой ограниченной области. Амплитуды и периоды нелинейных колебаний консервативных систем зависят от начальных условий (начального Лр). Период колебаний системы можно вычислить следующим образом. Из уравнения [c.481]

Пусть С есть кривая, содержащая внутри себя начало координат, по которой плоскость Оху пересекает нащ цилиндр (образующие которого предполагаются параллельными оси Ог), и пусть рассматривается обтекание цилиндра потоком, имеющим на бесконечности скорость и, направленную параллельно оси Ох. Тогда, пренебрегая в основных уравнениях движения (5.1) инерционными членами и внещними силами, мы приходим к системе [c.511]

Уравнения движения. Найдем, какими параметрами определяется положение тела, имеющего неподвижную, точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Oxyz, по положению которого можно судить о положении тела (рис. 172). Линия ОК, вдоль которой пересекаются плоскости Оху и Oxi i, называется линией узлов. Тогда положение по отношению к осям Ox,y,Zi трехгранника Охуг, а с ним и самого тела можно определить углами [c.147]

Из этого факта следует, что динамическая система, определяемая точечным отображением плоскости в плоскость с простейшими установившимися движениями и некратными неподвижными точками, может быть описана дифференциальными уравнениями второго порядка тогда и только тогда, когда ее сепаратрисные кривые седловых неподвижных точек не взаимопересекаются. Заметим, что требованию некратности можно всегда удовлетворить, заменяя отображение некоторой его степенью. На рис. 7.105 приведены точечные отображения с простейшими установившимися движениями. У одного из них сепаратрисные инвариантные кривые седловых неподвижных точек не пересекаются, и оно может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка, причем без периодических движений. У второго такие пересечения имеются, и оно уже не может быть описано дифференциальными уравнениями второго порядка. [c.360]

Будем считать, что трение положительно , т. е. первое условие выполнено. При л = О удовлетворяется и второе условие, так что корни уравнения (18.156) имеют отрицательные вещественные части. С ростом г корни совершают движение по комплексной плоскости, показанное на рис, 18,98, а. Критическгш является то значение нагрузки, при котором пара корней А), Л = А) пересекает мнимую ось, переходя из левой полуплоскости в правую. Это значение определяется равенством [c.445]

Четыре корня этого уравнения в общем случае находят численными методами, но границу устойчивости можно определить аналитачески. На плоскости параметров системы существуют области, в которых все корни имеют отрицательные действительные части, соответствующие устойчивому движению, и области, где один или более корней имеют положительные действительные части, соответствующие неустойчивости. Границей устойчивости в s-плоскости является мнимая ось. Пересекать мнимую ось может либо действительный корень, перемещаясь по действительной оси, либо пара комплексно-сопряженных корней при определенной частоте. Апериодическую неустойчивость, вызванную перемещением действительного корня через начало координат в правую полуплоскость, называют дивергенцией. Это — статическая неустойчивость, поскольку при нулевой частоте не действуют силы, обусловленные скоростями или ускорениями. Под флаттером будем понимать колебательную неустойчивость, соответствующую перемещению в правую полуплоскость комплексных корней. [c.587]

Если напряжение, приложенное к какому-нибудь элементу поверхности, проходящему через точку Р жидкости, направлено нормально к этому элементу, то величина этого напряжения (на единицу площади) не зависит от направления этого элемента поверхности. Докажем эту теорему сейчас, чтобы потом иметь возможность на нее ссылаться. Проведем через точку Р три взаимно перпендикулярные прямые РА, РВ, РС пусть плоскость, лежащая бесконечно близко к точке Р и имеющая с указанными прямыми направляющие косинусы /, т, п, пересекает эти прямые в точках А, В, С. Пусть будут р, р , / 2, рз напряжения для граней АВС, РВС, РСА, РАВ тетраедра РАВС. Если мы обозначим площадь первого треугольника через Л, то площади остальных треугольников будут соответственно равны 1Л,тЛ, пЛ. Отсюда, составляя уравнение движения тетраедра параллельно РА, получим [c.14]

Найти ошибку в следующих правдоподобных рассуждениях. Материальная точка массы т начинает движение в плоскости yz ш СОСТОЯНИЯ нокоя в однородном ноле тяжести, силовые линии которого параллельны оси Oz. Следовательно, импульс точки рх, сохраняется, т. е. рх = onst. Производная момента имнульса Коу точки относительно оси О у равна нулю, так как единственная внешняя сила — сила тяжести — пересекает ось О у и, следовательно, не создает момента относительно этой оси. Поэтому Коу будет первым интегралом, т. е. Коу = onst нри движении точки. Используя теорему Якоби-Пуассона, получим, что pz = onst, так как рх f Oy) = Pz-Этот вывод находится в очевидном противоречии с уравнением изменения имнульса Pz = mg. [c.209]

Так как рассматриваемые нами прямолинейные бесконечно тонкие вихревые нити параллельны, то можно (пересекая их перпендикулярной плоскостью) рассматривать вызванное этими вихрями движение как плоское. Обозначив декартову систему прямоугольных координат в этой плоскости через х и у, можно свести задачу движения к следующей задаче установить зависимости между комплексными переменными г = х 1у и гг = ф -)- 11 , гдеф — потенциал скорости и ф — функция тока. Обозначив дальше компоненты скорости по осям координат в точке х, у) через и ш V, получим уравнение [c.168]

Дифференциальные уравнения движения в плоскости орбиты Плоскость орбиты совпадает с плоскостью бросания, и ее положение в основной системе Oxyz определяется углами SIq и (рис. 10). Эти углы находим из начальных условий при помощи формул (2,8). Точки, в которых орбита пересекает линию узлов, называются узлами. Восходящим узлом называется [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...