Дифференцирование — Формулы функций

Для получения операторов Lw, , Lxx в форме бесконечных рядов надо разложить тригонометрические функции в ряды по степеням yz= (а2-+-р ) i z и выполнить операции дифференцирования над начальными функциями, согласно формулам (д). [c.212]

Формулы дифференцирования. Погрешность. Если функция /(д ) задана в точках Xoестественным способом вычисления ее производной в точке х (считаем, что Хп) является дифференцирование интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Лагранжа (1.3) приближает функцию f x) с погрешностью Rn(x) [см. формулу (1.5)], поэтому замена производной f(x) производной полинома Лагранжа порождает погрешность. Имеем [c.10]

По положениям точки D разметим траектории точек Аир. Далее, пользуясь методом графического дифференцирования, построим графики функций wa и wf по времени. Для каждого положения точки D по формулам (12) и (13) найдем коэффициенты fl 4 и Op. [c.445]

Произвольные функции (X) и (X) положены равными нулю, так как аналогичные решения однородных уравнений (3.3.7) и (3.3.8) появятся позже, и учет их на этой стадии был бы излишним. Дифференцирование рекуррентных формул [c.93]

Покажем, что это фундаментальное решение удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению (п.2.3). Расписывая =х согласно формулам дифференцирования однородных обобщенных функций, получаем [26] [c.173]

Решение задачи для упругой области состоит в нахождении выражений для компонент напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия [уравнения (28)] и совместности [(уравнения (31)], а также граничным условиям, соответствующим рассматриваемой задаче. Аналогично простому интегрированию по одной переменной, дающему при последующем дифференцировании исходную формулу, решение упругой задачи должно удовлетворять исходным уравнениями. Что касается многих стандартных интегральных решений, то математикам известны типы функций, которые, будучи продифференцированы, удовлетворяют этим уравнениям. Любое аналитическое выражение представляется чрезвычайно сложным, если только геометрическая форма тела не описывается простыми математическими функциями. Даже если она и проста, то общие решения для трехмерного случая получить трудно, не сделав соответствующих упрощений, например рассматривая только тела вращения и выполнив основные расчеты для идеализированного состояния, или плоского напряжения (Од = 0), или плоской деформации (Sg = 0). [c.30]

Сингулярное слагаемое 5,, содержит основную информацию о характере течения в зависимости от параметров вихря и позволяет проводить качественный анализ течений. Тем не менее наличие особенности в исходном представлении функции тока через ряды (2.68) не позволяет применить операции дифференцирования к формуле (2.71) для получения выражений, описывающих поле скорости. Поэтому выделение особенностей поля скорости произведем непосредственно в рядах (2.69). В отличие от функции тока теперь необходимо учитывать и вторые члены в разложениях (2.70) модифицированных функций Бесселя. Поскольку в формулы будут входить только функции, 1(х) и ( х) индекс 1 будем опускать, но приписывать индексы а, г или К при замене в формулах (2.70) хна й//,г// или JR/Z соответственно. В результате выражения для скоростей (2.69) перепишутся следующим образом [c.118]

Наконец, пусть В Ь, х) — кусочно непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Надо подобрать преобразование х = сг( , г) так, чтобы произведение (5.33) превратилось в обобщение формулы Лейбница дифференцирования произведения двух функций [c.212]

Подставляя в уравнение (5.8.32) решение (5.8.13) и применяя формулы преобразования и дифференцирования для гипергеометрических функций [15], находим общее рещение однородного уравнения для функции [c.147]

Формула дифференцирования гипер геометрической функции [c.131]

Выведем предварительную формулу дифференцирования по времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть величина А (скаляр, вектор) зависит от л и времени t, так что интеграл [c.36]

Внося ряды (44) и (45) в уравнения (8) и производя операции дифференцирования над начальными функциями согласно зависимостям для операторов I, с п й [формулы (41) и (43)], получаем для каждого номера независимые линейные алгебраические соотношения для определения искомых коэффициентов начальных функций 1 0 и Ф(5. Найдя отсюда их значения, подобно тому, как это было сделано в плоской задаче, получим согласно (40), (42) искомую зависимость для функции прогиба. [c.165]

Применяя методы графического дифференцирования по графикам функций ф(ш) и /(со), сравнительно просто построить графики функций Ф (со), / (м), ф"(ш) и /"(<о), затем можно использовать приближенные формулы (30-93) и (30-94) и. графики функций 6 (от о)) и F(m со) (подробнее см. численный пример расчета САР на стр. 576). [c.569]

Пусть имеется таблица значений функции (1) с равноотстоя щими узлами, и пусть составлена таблица вида 81 ее разностей. Формулы для производных от [( ) получаются дифференцированием интерполяционных формул для этой функции. [c.655]

Согласно первой формуле (21.23), если одномерный спектр q)i( ) в окрестности данного значения = Ат] точно пропорционален то и трехмерный спектр здесь будет удовлетворять закону пяти третей . Поскольку трехмерная спектральная плотность получается из одномерной с помощью двукратного дифференцирования, небольшое отклонение функции q)j ( ) от может привести к тому, что ф( ) будет резко отличаться от степенной функции С другой стороны, согласно (21.23) одномерные спектры Ф1( ) и Ф2( ) в точке = получаются с помощью интегрирования трехмерного спектра ф( 1) по всему интервалу <00, причем в случае Ф1( ) соответствующая весовая функция обращается в нуль на обоих концах этого интервала, а в случае Фг( ) она монотонно убывает с ростом 11. Поэтому при некоторых значениях не слишком малых, но все же расположенных на оси волновых чисел левее конца инерционного интервала трехмерного спектра (на котором ф ( ) хорошо аппроксимируется функцией функция ф2( ) еще будет [c.327]

Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что между функциями 11)з и г )4 и их производными существуют зависимости, совершенно аналогичные формулам связи (5.232), т. е. [c.255]

Будут использоваться также формулы для разностного дифференцирования произведения сеточных функций [c.107]

Формулы (5) И (6) не дают возможности написать выражения функций и непосредственным дифференцированием этих формул по времени и принятием затем 2 = 0, так как получа-ющ,иеся при этом интегралы расходятся. Но можно преобразовать эти формулы к новому виду, так что это неудобство будет исключено. [c.548]

Вернемся к рассмотрению вопроса о нахождении производных для функций, заданных дискретно. Дифференцирование таблично заданной функции ъ = z(x) (рис. 1.17) производится по формулам [c.81]

Формулы для нахождения производных в узлах Z(x) существенно проще приведенных выше, так как в узлах Р(х) принимает фиксированные значения. Особенно простыми являются формулы для центрального узла Р(х)= О. Эти формулы удобны для дифференцирования таблично заданных функций в точке X = Xq. [c.83]

При численном дифференцировании эта формула заменяется приближенным отношением, в котором Ьх конечная величина. Пусть /о — значение функции в точке х , полученное пробой в этой [c.133]

Интеграл в правой части формулы (16.52) может быть определен графически, если построить график величины 1/со (ф) в функции угла ф, что можно выполнить, потому что функция со = со (ф) известна. По графикам со = ю (ф) и / = (ф) может быть построен график со = со (/). Угловое ускорение е звена приведения определяется графическим дифференцированием функции со = со (t). [c.355]

Займемся сначала интегралом, входящим в правую часть формулы (50), и перепишем его, выполнив операцию дифференцирования функции L по параметру а [c.275]

В формуле (114) б —оператор дифференцирования функции [c.313]

Определение производных методами численного дифференцирования является одной из наименее употребительных операций, выполняемых с помощью ЭВМ. Причина этого в первую очередь кроется в необходимости вычитания близких значений дифференцируемой функции, что при ограниченности разрядной сетки и необоснованном выборе шага дифференцирования может привести к значительной потере точности. Для увеличения точности при численном определении производных будем применять формулы, использующие значения функции в нескольких точках. В настоящей работе определение производных осуществляется с помощью формул для центральных производных , использующих значение функции в двух или четырех точках [12]. [c.69]

Обычно требуется определить угловое ускорение в какой-либо момент времени по другим величинам, известным в этот же момент времени. В этом случае угловое ускорение тоже можно получить путем дифференцирования угловой скорости по времени, считая ее для вывода формулы известной функцией времени. Угловую скорость можно найти по формуле (7) [c.152]

Из формулы (5.9) следует, что значение производной функции вычисляется для середины участка значений аргумента. Значение производной функции для других точек в пределах данного промежутка определяется интерполяцией. При численном дифференцировании производная функция определяется с горазда меньшей точностью, чем заданная первообразная. При этом, в отличие от численного интегрирования, уменьшение шага дифференцирования ведет к увеличению погрешности. Поэтому для сложной функции более целесообразно определять производную, подбирая аппроксимирующий многочлен п применяя аналитические методы. [c.46]

Если направление колебаний вектора Е уже задано, выражение (1.24) упрощается и эту формулу можно записать в скалярном виде. Тогда оказывается целесообразным использование при дифференцировании исследуемой функции символического метода. Так, например, если ищется решение волнового уравнения в виде [c.29]

Справедливы следующие формулы дифференцирования эллиптических функций [c.154]

Решение задач второго типа сводится к использованию соответствующих формул (1—19). Для того чтобы найти уравнение траектории точки в заданной системе координат, достаточно из уравнений движения (1, 2) исключить время . Для определения векторов скорости и ускорения точки необходимо путем дифференцирования функций (1, 2) по времени найти проекции этих векторов на соответствующие оси координат, а затем по формулам (7, 16, 8, 17) и (14, 18, 15, 19) определить модули направления векторов скорости и ускорения точки. [c.240]

Теперь перейдем к определению новых тензоров при помощи дифференцирования данных векторов и тензоров. Пусть / — данная скалярная функция, зависящая от координат точки Тогда в новых координатах f , связанных с формулами (1.1), имеем / = /. Учитывая последнее, а также принимая во внимание (1.1), будем иметь [c.23]

Компоненты вектора перемещения щ (перемещения) и компоненты тензора деформации etj связаны между собой дифференциальными зависимостями Коши (1.44) или, что то же самое, формулой (1.40). Эти зависимости позволяют вычислить компоненты тензора деформации stj непосредственным дифференцированием перемещений мг, которые в соответствии с предположением о сплошности тела являются непрерывными и однозначными функциями координат л ,, произвольной точки тела (1.3). Естественно, что компоненты тензора деформации должны быть также однозначными функциями л ,, и иметь непрерывные производные. [c.22]

Найденные формулы показывают, что дифференцирование рассмотренных нами произведений производится по правилам, аналогичным пзвестнылт правилам дифференцирования произведений скалярных функций. Комбинированные произведения можно дифференцировать, пользуясь формулами (1.78) — (1.80), при этом надо помнить, что при дифференцировании векторных произведений нельзя изменять последовательность сомножителей, так как для векторного произведения закон коммутативности не имеет места. [c.63]

Другое интересное свойство обобщенных функций — их диф-ференцируемость сколь угодно много раз в результате каждого дифференцирования получается обобщенная функция, для которой справедлива формула (2.4), если, конечно, рассматриваемые основные функции достаточно гладкие. Цроизводная Т обобщенной функции Т определяется последовательностью обыкновенных функций, состоящей из производных функций, образующих последовательность, определяющую Т (конечно, необходимо набирать ее из непрерывно дифференцируемых функций). [c.18]

Теорема. Дифференцирование логико-аналитической функции вида (27) может быть выполнено по формуле [c.143]

П и П. В первом приближении допустимо считать последние три величины постойнными, благодаря чему они легко получаются из начальных элементов обеих планет при помощи формул сферической тригонометрии для использования в уравнениях (138). Если для возмущений первого порядка применяются выражения (92), то вместо первого уравнения из (138) мы имеем уравнение для д 1д1, которое можно получить непосредственным. дифференцированием ряда, выражающего функцию . [c.389]

Еш,е раз заметим, что напряжения описываются параметрам которые исключают члены, отвечаюш,ие движению тела как TBef дого целого. Указанное обстоятельство обусловлено тем, что а -уравновешенное поле напряжений. Это можно показать и други способом. Действительно, заметим, что в том случае, когда напря жения вначале определяются с помощью поля функции напряже ния (см. (4.4) и (6.76)), то это поле содержит параметры р , кс торые, однако, пропадают после дифференцирования по формула [c.192]

При численном дифференцировании используют интерполяционные формулы, которые сопоставляют заданные значения какой-либо величины с функцией известного класса, зависящей от нескольких параметров, выбранную так, чтобы при заданных значениях аргумента (в узлах интерполяции) значения функции совпадали с заданными значениями величины, т. е. чтобы график функции проходил через заданные точки. Численное дифференцирование чувствительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных. Для функции у х), заданной таблицей разностей для равно-0ТСТ0ЯШ.ИХ значений аргумента с шагом Аг, используют следующие соотношения для вычисления аргумента и производных [c.111]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...