Матрица аппроксимирующих функци

Формулы (4.1), (4.2), (4.8) показывают, что при известной матрице аппроксимирующих функций а напряженное и деформированное состояние конечного элемента однозначно определяется узловыми перемещениями v . [c.110]

Эти формулы определяют искомую матрицу аппроксимирующих функций [c.135]

Добавление внутренних узлов позволяет улучшить жесткостные характеристики конечных элементов и, следовательно, повысить точность решения. Улучшение характеристик получается за счет повышения числа степеней свободы конечного элемента по сравнению со случаем, когда имеются только внешние узлы. Однако введение дополнительных узлов требует полной перестройки матрицы аппроксимирующих функций а. Удобнее взять за основу базовый конечный элемент с одними только внешними узлами и добавить некоторые дополнительные функции распределения перемещений, не связывая их с введением новых узлов. Рассмотрим такой подход более подробно. [c.156]

Матрица аппроксимирующих функций 109 [c.391]

После того как сформирована матрица аппроксимирующих функций [и ], вектор деформаций (3) можно записать с помощью матрицы дифференцирования [c.522]

Для проведения статистического корреляционного анализа матрицу исходных данных преобразуют в соответствии с требованиями парного или множественного анализа. В случае парного анализа эта задача решается путем выборки одной из заданных функций по критерию наименьшей ошибки аппроксимации. Для процедуры множественного корреляционного анализа можно воспользоваться методикой, подобной проведению парного анализа, либо, предварительно проведя парный анализ между столбцом функции и всеми столбцами-аргументами, выбирать вид связи между столбцом-функцией и каждым столбцом-аргументом по критерию ошибки аппроксимации функции для парной корреляции. Кроме того, может возникнуть задача выбора аппроксимирующей функции множественного корреляционного анализа одинакового вида для каждого аргумента. [c.154]

В табл 2.2 приведена матрица жесткости, которая получена на основе прямых аппроксимирующих функций и выражений [c.33]

Совместный прямоугольный элемент с четырьмя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1—3) приведены аппроксимирующие функции (1.22) для этого совместного конечного элемента (рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для напряжений равен а для перемещений h. Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.22), (2.5), приведена в табл. 2.4, в которой принято [c.36]

Несовместный прямоугольный элемент с тремя степенями свободы в узле. Выше (см. п. 1.3) приведены аппроксимирующие функции (1.25) для этого несовместного конечного элемента (см. рис. 2.4) и исследован порядок сходимости, который для на-, пряжений и перемещений равен h . Матрица жесткости этого элемента, полученная на основе (1.8), (1.25), (2.5), приведена в табл. 2.5. В ней принято [c.38]

Треугольный элемент плиты на упругом основании (элемент первого типа). Матрица жесткости этого элемента может быть получена по аналогии с предыдущим. Аппроксимирующие функции могут быть приняты в виде (2.8). Матрица жесткости элемента плиты строится на основе (1.8), (2.5), (2.8), а упругого основания (1.8), (2.8), (2.12). Ввиду сложности аппроксимирующих функций (2.8) получение матрицы жесткости в формульном виде затруднено (отдельные ее элементы могут содержать до 50 членов) и ее получение целесообразно непосредственно программным способом. [c.51]

Построим матрицу жесткости для первого конечного элемента. Примем полилинейные аппроксимирующие функции. Тогда горизонтальные перемещения по области определятся из выражения и=х(1—г/) U=(fiU, а вертикальные из V=x(l—y)V= [c.70]

Здесь а — прямоугольная матрица, в которой количество строк равно числу компонент матрицы и, а количество столбцов — числу компонент матрицы v. Элементами матрицы а являются некоторые функции координат (аппроксимирующие функции). Выбор подходящих функций, как отмечалось ранее, представляет собой важный этап в методе конечных элементов. Для некоторых элементов этот вопрос будет рассмотрен ниже. Здесь же мы будем предполагать, что аппроксимирующие функции уже известны. [c.109]

В этой записи а , а , — матрицы-строки, элементами которых являются известные аппроксимирующие функции. Матричный оператор L дается в этом случае выражением (1.9), так что согласно (4.3) имеем [c.110]

Это соотношение связывает узловые силы с узловыми перемещениями в стандартной форме (3.2), поэтому матрицу к , определяемую по (4.11), можно назвать матрицей жесткости конечного элемента. Из (4.11) видно, что при известной геометрии конечного элемента и заданных упругих характеристиках материала матрица жесткости вполне определяется выбором аппроксимирующих функций. [c.112]

Пусть некоторый конечный элемент имеет узлы t, /,. .. н пусть для него выбрана система аппроксимирующих функций, составляющих матрицу . Построим теперь Новый конечный элемент, для которого распределение перемещений внутренних точек определяется равенством [c.156]

Если в аппроксимирующей функции (1.13) число В <С 0,5, то и 7то при п > S будут большими числами, так как, согласно (1.15), при п> S они обратно пропорциональны В. Тогда можно показать, что при номерах больших S свободные члены и элементы матрицы системы [c.69]

Металлические матрицы композитов представляют собой, как правило, пластичные, упрочняющиеся материалы. Аппроксимируя закон упрочнения матрицы линейной функцией, связь касательных напряжений со сдвиговыми деформациями можно представить в виде [c.66]

Для построения обратной матрицы А необходимо факторизовать функцию К (а), что сопряжено с большими вычислительными трудностями. Для приближенной факторизации аппроксимируем функцию К (а) функцией (2.6.11) и воспользуемся формулами (2.6.12). [c.236]

В исследовательской практике может встретиться такая ситуация, когда выходные параметры объекта У == /1 у2,. .. у коррелированы между собой. В этом случае, как и прежде, будем рассматривать вариант линейной параметризаций при условии, что аппроксимирующие функции заданы в виде линейных многочленов. Дисперсионная матрица имеет вид [c.226]

Решающим в процессе построения матрицы К во многих случаях является удовлетворение условия совместности элементов без обращения к аппроксимирующим функциям высокого порядка. Для функционалов, содержащих производные высоких порядков, можно использовать формулировки, не требующие предварительного выполнения условий совместности и (тем не менее) обнаруживающие хорошую сходимость (см. гл. 3). Для обеспечения условий сходимости при использовании функций такого типа необходимо, чтобы в них входили члены, дающие нулевые производные (например, члены вида + а х для функционалов, содержащих ( )/йх ), и члены, дающие в функционале производные постоянной величины (члены вида а х для рассмотренного выше случая). Вообще же модели с несовместными элементами перед применением должны быть тщательно изучены. В частности, нужно выяснить, устраняется ли влияние несовместности (разрывов аппроксимирующих функций и их производных) при стремлении к нулю размеров элементов. [c.61]

Представленная последовательность расчета по МКЭ инвариантна по отношению к виду рассчитываемой конструкции. Исключение составляет процесс формирования матрицы жесткости, который зависит от типа конечных элементов. В работе ИЗ], например, приводятся матрицы жесткости для различных типов конечных элементов, а также соответствующие им аппроксимирующие функции. Заметим, что в пределах одной конструкции могут применяться различные типы конечных элементов. Членение несущей конструкции на мелкие конечные элементы приводит к значительным затратам машинного времени, и поэтому прн проведении конкретных расчетов целесообразно применять более крупные элементы, а требуемую точность достигать путем использования полиномов аппроксимирующих функций более высокого порядка. [c.144]

В заключение данного параграфа заметим, что наиболее правильной и перспективной является глобальная полихроматическая аппроксимация, когда аппроксимируется функция волновой аберрации по всем четырем координатам х, и, 1, V в соответствии с формулой (2.80). При этом учитывается взаимная зависимость аберраций различных пучков и длин волн. В результате можно получить полную модель аберраций оптической системы, используя довольно ограниченное количество лучей. К сожалению, существенным недостатком такой аппроксимации, препятствующим ее распространению, является большая размерность конструкционной матрицы, что приводит к большому объему требуемой памяти ЭВМ и большому количеству вычислений. [c.132]

Итак, матрица системы уравнений (13.18) сформирована. Таким образом, основные этапы МКЭ продемонстрированы. Это — вариационная постановка задачи, вычисление глобальных матриц жесткости и массы через соответствующие матрицы элементов, решение в которых аппроксимируется линейными функциями, приведение нагрузки (правая часть уравнения) в узлы, обеспечение граничных условий. В результате исходная задача сводится к решению систем уравнений (13.18). [c.168]

Последовательность расчета системы, набранной из суперэлементов, аналогична приведенной ранее (см. п. 4.1) с той лишь разницей, что матрица жесткости и узловые нагрузки определяются в результате расчета. Так как суперэлемент представляет сам по себе достаточно сложную систему, то матрицы аппроксимирующих функций фс строятся при помощи численного расчета суперэлемента на единичные смещения суперузлов, в результате которого строится матрица влияния, связывающая перемещения внутренних узлов суперэлемента с единичными смещениями суперузлов. Такая процедура обработки суперэлементов позво- ляет представить метод суперэлементной рекурсии как расчет по методу конечных элементов с построением аппроксимирующих функций при помощи матриц влияния. [c.109]

Из структуры элементов дифференциальной матрицы В следует, что обобщенные перемещения V, V2, tfii и Ups входят в функ-дионал под оператором первых производных, а и г зз — под оператором, вторых производных. Поэтому их аппроксимации по элементу и соответствующее им число степеней свободы будут разными. Для существования функционала потенциальной энергии необходимо, чтобы аппроксимации Ux, Uy, я 3г (t=l, 2) -обеспечивали существование первых производных. Например, в данном случае для треугольного конечного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции типа (2.6), а для прямоугольного— (1.20). Аппроксимация Uz и tjja должна обеспечивать существование вторых производных. Например, для треугольного элемента могут быть приняты аппроксимирующие функции (2.8), а для прямоугольного— (1.25) или (2.6). [c.64]

Перечисленные аппроксимирующие функции порождают для элемента многослойной плиты по 10 степеней свободы в узле. Ввиду громоздкости получение матрицы жесткости в формуль-лом виде нецелесообразно, так как более удобно получение ее алгоритмически. [c.64]

Напомним, что в случае стержневых систем (см. 3.6) внеузловая нагрузка учитывалась введением матрицы уравновешивающих сил (матрицы, которая содержит реакции на элемент от действия внеузловой нагрузки при полном закреплении узлов). Здесь использован иной подход, при котором внеузловая нагрузка заменяется статически эквивалентной системой узловых сил Р. При желании можно было бы и в методе конечных элементов ввести матрицу уравновешивающих сил Pj, полагая Р = —Р . Отметим, однако, что в отличие от стержневых систем матрица Р может быть определена здесь лишь приближенно, поскольку ее компоненты зависят не только от характера внешней нагрузки, но также и от выбора аппроксимирующих функций, как это видно из [c.114]

Матрица содержит аппроксимирующие функции, которые равны нулю во всех узлах, кроме узла г, матрица же S отлична от нулевой лишь в узле s. Таким образом, матрица aj ts в случае г ф s является во всех узловых точках нулевой, и при поузловом интегрировании все подматрицы окажутся нулевыми, за исключением диагональных подматриц [c.339]

Метод сводится к следующему. Физическая область задачи делится на непересекающиеся подобласти или конечные элементы. Зависимая переменная (их может быть несколько) локально аппроксимируется функцией специального вида (например, полиномом невысокой,степени) на каждом конечном элементе и в дальнейшем глобально — во всей области. Параметры >тих аппроксимаций в дальнейшем становятся неизвестными параметрами задачи. Подстановка аппроксимаций в уравнения метода Галеркина или Ритца (или эквивалентные им, например, в уравнения начала виртуальных скоростей в механике сплошной среды) с последующей линеаризацией дает систему линейных алгебраических уравнений относительно указанных параметров, матрица которой обладает замечательным свойством—ова- является ленточной, очень удобной для решения системы-на ЭВМ. [c.13]

Одна из особенностей метода NDIM заключается в том, что он позволяет для различных аппроксимирующих функций выводить матричные уравнения, имеющие один структурный вид. В общую форму матрицы емкости входит один неопределенный параметр т], от численного значения которого зависит, какая аппроксимирующая функция выбрана. Более того, в эту схему укладываются и известные МКЭ и МКР, хотя, на первый взгляд, эти методы основываются на других теоретических посылках. [c.118]

Для примера рассмотрим выведение матрицы проводимости методом NDIM, использующим аппроксимирующие функции высокого порядка. Вычислим интеграл (рис. 5.12) [c.121]

Полученные зависимости показывают, что значения производных от неизвестной функции с, которая является параболой 2-го порядка, совпадают с вычисленными значениями производных от линейной функции с в тех же точках границы области узла Rj. Следовательно, при вычислении матрицы проводимости параболы не дают никакого преимущества перед линейной функцией. Однако их матрицы емкости отличаются. Метод NDIM при подсчете матрицы проводимости предполагает выделять из производной по х от аппроксимирующей функции высокого порядка нелинейную часть и рассматривать ее как дополнительный множитель к коэффициенту к. [c.122]

Точная факторизация функции К (и) связана с большими трудностями, поэтому воспользуемся приближенной факторизацией [56], для чего функцию К и) аппроксимируем функцией L u) (1.13). Функция L u) легко факторизуется, что позволяет получить простые приближенные соотношения для элементов матрицы в виде (1.14). [c.69]

Легко догадаться, что элементарные решения обладают свойством полноты в частичном интервале. Однако непосредственное доказательство, эффективное в случае одного уравнения, нельзя перенести на случай системы, ибо нельзя найти замкнутую форму для матрицы (аналога функции Р (и) в скалярном случае), играющей основную роль в аналитическом процессе решения. Но для случая полупространства 0< <оо, наиболее важного в приложениях, можно доказать, что свойство полноты, действительно, имеет место ([10] гл. 6). Невозможность конструктивного доказательства означает, что мы не можем точно решать задачи для полупространства. Но можно предложить простые приблия енные методы, которые оказываются очень эффективными можно аппроксимировать матричный аналог функции Р (и) (который является очень гладкой функцией для > 0) ([10] гл. 6) или угадать (с соответствующими константами) функцию распределения налетающих молекул (которая также является очень гладкой функцией и близка к полиному) см. 4 и [13]. [c.204]

Здесь С1 - совокупность параметров ах, [Л1. Заметим, что по способу построения матрица (5.51) является симметричной порядка N (Н - число констант материала). Показано, что при А< Ю потенциал является "перепараметризованным", т.е. либо неудачно выбраны аппроксимирующие функции для представления Ж, либо избыточно число констант материала. [c.517]

Большинство детерминированных методов носит эвристический характер. К ним относятся релаксационный метод, метод конфигураций, метод Розенброка, симплексный метод, метод деформи руемого многогранника и т. д. При минимизации функции качества по методу Пауэлла [161] направления поиска оказываются сопряженными относительно матрицы, аппроксимирующей матрицу Гессе функции Р (х). Использование информации о вторых частных производных функции приводит вблизи точки минимума к квадратичной скорости сходимости. Относительная простота и эффективность метода Пауэлла позволили принять его в качестве основного при поиске минимума функций качества. С использованием цифровой модели индукционного нагревателя непрерывного действия разработана программа оптимизации установок для градиентного нагрева заготовок [162]. Начальный вектор оптимизируемых параметров вводится в начале работы программы. В оптимизирующей процедуре используется относительное изменение параметров. Для этого начальное и конечное заглубление нормируется относительно длины заготовки, а число витков индуктора — относительно начального задания 1 и, т. е. [c.253]

Заметим, что вовсе не обязательно было знать базис — все матрицы и вектор Р (формула (13.15)) строятся, исходя из аппроксимирующего полинома. Теперь можно задаваться только определенной аппроксимацией и строить формально систему уравнений Ритца. Но для понимания идей МКЭ и обоснования сходимости важно знание его базисных функций. [c.171]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...