Устойчивость. Параметрический резонанс

Как уже указывалось в 8.3, теория динамической устойчивости является новым разделом прикладной теории упругости. Исчерпывающий обзор работ по динамической устойчивости (параметрическому резонансу) упругих систем вплоть до 1951 г. дан в работе 7] и в монографии [12].. [c.385]

Устойчивость. Параметрический резонанс [c.302]

Последнее выражение в точности соответствует условию существования отличной от нуля стационарной амплитуды А . Для области расстроек , удовлетворяющих неравенству — 4в для которых существует стационарная отличная от нуля амплитуда /4, состояние покоя системы неустойчиво. Следовательно, оно неустойчиво внутри области параметрического резонанса (от до Состояние покоя устойчиво вне области параметрического резонанса, когда Re>.<0 и для соотношения параметров системы получается неравенство вида > т /4 — Аналогичным образом анализируется устойчивость состояния с отличной от нуля стационарной амплитудой (А фО). После довольно громоздких вычислений находим, что эта амплитуда устойчива (КеЯ<0) во всей области расстроек, 1де она [c.167]

Параметрический резонанс. Появление поперечных колебаний стержня при действии на него продольной сжимающей периодически изменяющейся нагрузки называется параметрическим резонансом. Такое состояние возникает при определенных соотношениях частот собственных поперечных колебаний и частоты продольной возмущающей силы и представляет собой динамическую потерю устойчивости прямолинейной формы. Для решения этой задачи обратимся к уравнению (15.16), в котором положим jVi = —Fq — Fi os 0/ [c.349]

Ясно, что в первом приближении по е и а — ао задача об устойчивости по отношению к переменным yj j = 1, 2, 3, 4) в исходной системе с функцией Гамильтона (29) эквивалентна задаче об устойчивости по отношению к переменным R2 в системе (51). Покажем, что в первом приближении по е область параметрического резонанса (область неустойчивости) задается неравенствами [c.558]

Предварительные замечания. В предыдущем параграфе обсуждала динамическая потеря устойчивости при воздействии на систему статических сил. Однако, разумеется, динамическая потеря устойчивости может происходить и при воздействии переменных во времени сил. В настоящем параграфе коснемся лишь некоторых понятий, относящихся к отмеченной здесь ситуации, без выполнения, даже в этих немногих рассмотренных вопросах, математических выкладок. Центр тяжести перенесен на описание особенностей явления и некоторые основные положения приведены без доказательства. Впервые в области механики твердых деформируемых тел динамическая потеря устойчивости в форме параметрического резонанса была исследована на простейшем примере, который рассматривается ниже, Н, М. Беляевым ). Большой вклад в науку, позволивший говорить о создании специальной ветви [c.459]

Другим примером динамической неустойчивости является параметрический резонанс, возникающий вследствие воздействия на систему периодически изменяющейся силы. При этом параметрический резонанс наступает при амплитудных значениях внещней силы, меньших чем статическая критическая сила для той же системы. Этот тип потери устойчивости рассмотрен в 18.6. [c.469]

Легко заметить, что неограниченное возрастание принципиально возможно только за счет экспоненциального множителя, который, в свою очередь, может достичь бесконечно больших значений при z —оо. Такая возможность, как было установлено выше, имеется в резонансных зонах условного осциллятора. Подобный характер поведения системы свидетельствует о потере динамической устойчивости, когда малые возмущения могут привести к существенным изменениям движения системы. Действительно, при Ло = О имеем = 0. Однако при отмеченных выше условиях достаточно малым возмущениям вызвать начальную амплитуду АА, чтобы при tоо получить оо. Поскольку отмеченный эффект вызван определенным изменением параметров системы, его называют параметрическим резонансом (см. подробнее п. 27). [c.152]

Раскачка условного осциллятора является необходимым, хотя и недостаточным условием динамической неустойчивости исходной системы. С другой стороны, можно утверждать, что условие ограниченности экспоненциального множителя в выражении (4.47) является достаточным (но не необходимым) для обеспечения динамической устойчивости системы и подавления параметрических резонансов. Сформулируем это условие в следующем виде [c.152]

Предварительные замечания. В своей практической деятельности инженеру часто приходится сталкиваться с резонансом силового происхождения, который в линейных системах имеет место при совпадении какой-либо гармоники возмущающей силы с одной из собственных частот. Параметрический резонанс, возникающий при определенной пульсации параметров системы (например, приведенной массы или жесткости), требует достаточно тонкой частотной настройки и встречается значительно реже, поэтому нередко расценивается как несущественное и маловероятное побочное явление. Между тем, практика эксплуатации многих машин свидетельствует о том, что параметрический резонанс в ряде случаев не только является источником нарушений нормального функционирования механизмов, но может также приводить и к серьезным авариям, угрожающим безопасности обслуживающего персонала. В п. 16 мы уже упоминали об этом явлении, связанном с нарушениями условий динамической устойчивости. [c.245]

Во-первых, резонанс силового происхождения представляет собой вынужденные колебания устойчивой системы, которые, в частности, могут иметь место и при нулевых начальных условиях. Параметрический резонанс — это проявление неустойчивости равновесного состояния, в силу чего система при нулевых начальных условиях остается в положении равновесия и только неизбежные начальные возмущения приводят к раскачке. Так, для системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением второго порядка с периодическими коэффициентами, при параметрическом резонансе общее решение без учета диссипации имеет вид [c.245]

Некоторые общие соображения, связанные с устранением параметрического резонанса. Нарушение условий динамической устойчивости для рассмотренной выше модели возможно не только при О) = 2ka, но и при О) = 0 = 2ko/i, где i — целое число. Кроме того, следует иметь в виду, что около этих критических значений располагается целая область неустойчивых состояний си- [c.248]

Достаточное условие динамической устойчивости, полученное в п. 21, Б зоне основных параметрических резонансов обычно обеспечивает запас устойчивости примерно равный двум. [c.261]

Определим для ряда типовых динамических моделей критический уровень диссипации, необходимый для подавления параметрического резонанса, соответствующего определенной форме колебаний. Разумеется, различные формы колебаний рассматриваемых нестационарных систем между собой параметрически связаны, поэтому само понятие области устойчивости определенной формы колебаний, строго говоря, имеет лишь условный смысл [91. [c.262]

Необходимо проверить, удовлетворяют ли эти данные условиям динамической устойчивости в зонах основных параметрических резонансов. [c.265]

Для реальной параметрической системы (при наличии диссипативных сил) всегда можно так подобрать коэффициент возбуждения, что система для любого соотношения собственной и вынужденной частот будет динамически устойчивой. Для этого необходимо, чтобы коэффициент возбуждения был меньше величины Xj (рис. 50). Так как предполагаем, что параметрическая нагрузка представляет собой случайный процесс с постоянным спектром, то для системы вся зона выше прямой АВ является неустойчивой. Поэтому при изменении параметрической нагрузки по случайному закону будем определять величину предельного значения коэффициента затухания или, что то же самое, предельное значение коэффициента возбуждения, при котором в системе возникает основной параметрический резонанс. Параметрические резонансы более высокого порядка не рассматриваются. [c.200]

Следовательно, если выполняется условие устойчивости системы (5.72), то вероятность (5.69) стремится к нулю, а если выполняется условие неустойчивости системы (5.71), то к единице независимо от уровня амплитуды d. Таким образом, если система устойчива, то амплитуда параметрических колебаний стремится к нулю, а если система неустойчива, то амплитуда неограниченно растет. Это справедливо и в случае, если возмущение детерминировано. Представляет интерес задача параметрического резонанса в чистом виде при детерминированном изменении функции % (t) для системы с жидким наполнением. Эта задача рассмотрена в работе [53]. [c.215]

Последующее изложение посвящено в основном определению условий возникновения параметрического резонанса, т. е., в конечном счете, исследованию устойчивости системы. Это сближает содержание настоящей главы с гл. III, где речь шла об устойчивости автономных систем. [c.271]

Обратимся теперь к основному уравнению рассматриваемых здесь задач ( .5), которое называется уравнением Матье. Решения уравнения Матье носят колебательный характер, и их свойства зависят от конкретных значений параметров а и с/. В одних случаях данной комбинации значениям а тл д соответствуют колебания, ограниченные по амплитуде, а в других случаях — колебания с возрастающими амплитудами. Очень часто (при исследованиях устойчивости) подробности колебаний малосущественны, так как основную важность представляет именно тенденция колебательного процесса если амплитуды остаются ограниченными, то система устойчива в противном случае имеет место параметрический резонанс и система неустойчива. [c.273]

Интересно отметить, что решения (6), (7) и критерии устойчивости (8) распространяются также на случай параметрической системы с линейной упругой силой (у = 0). Как известно, решение задачи о параметрических колебаниях в линейной системе без учета свойств источника энергии позволяет установить лишь условия возникновения колебаний и определить границы области параметрического резонанса. Амплитуда колебаний остается неопределенной, обычно указывается, что она может неограниченно возрастать. [c.91]

В общем случае следует исследовать движение системы на устойчивость в связи с возможностью возникновения в ней параметрических колебаний. Независимо от величины коэффициента перекрытия прямозубой передачи е в системе при отсутствии трення возникает параметрический резонанс при соблюдении условия [c.110]

Влияние диссипации иа устойчивость параметрически возбуждаемых систем. Параметрические колебания системы с одной степенью свободы описываются уравнением (20). Согласно (22) области неустойчивости при 8 0 лежат внутри соответствующих областей уравнения (23), но могут быть смещены относительно областей неустойчивости уравнения (21). Наличие демпфирования делает невозможным параметрическое возбуждение при достаточно малых jx. При этом влияние демпфирования тем сильнее, чем выше порядок р побочного параметрического резонанса. Типичные области неустойчивости для уравнения Матье с демпфированием [c.125]

Для систем с параметрическим возбуждением характерные задачи заключаются в определении границ областей устойчивости и условий возникновения параметрического резонанса (в линейной постановке с учетом линейного сопротивления) определении амплитуд установившихся параметрических колебаний в зоне параметрического резонанса (в нелинейной постановке). [c.23]

Тогда условия устойчивости рассматриваемого установившегося движения, гарантирующие отсутствие параметрического резонанса, запишутся в виде [49] [c.449]

Если параметрическое возбуждение отлично от белого шума, анализ устойчивости существенно усложняется. Стационарный нормальный процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью можно получить, пропуская белый шум через линейный фильтр с постоянными параметрами. В статье [65] было предложено расширять фазовое пространство с помощью переменных, описывающих процесс в системе фильтра, и исследовать устойчивость по отношению к моментным функциям в расширенном фазовом пространстве. Таким путем были построены области устойчивости для случайных процессов со скрытой периодичностью и обнаружены аналога побочных параметрических резонансов. Ряд примеров приведен в работе [8], где также дано сопоставление теоретических результатов с данными вычислительного эксперимента. [c.531]

Рис. 5.3. Границы области устойчивости с побочными параметрическими резонансами при е/Й = 0,025, а/Й = 0,04

На рис. 5.2 представлены результаты расчетов по изложенной методике. Сплошными линиями показаны границы области устойчивости при возрастании уровня замыкания п (область устойчивости слева от границ). При выбранных параметрах затухания и широкополосности (г, а) характерным является существенное снижение критической дисперсии воздействия при 0 = 2Q (аналог главного параметрического резонанса). [c.144]

Вне областей параметрического резонанса поведение решения уравнения (3.6) исследовалось в работах [91, 93, 109, 171, 423, 671] и др. Из теории уравнения Матье известно (см. также [91, 93, 171]), что при достаточно больших значениях частоты и амплитуды колебаний оси подвеса (уо > I, q> q ) верхнее положение равновесия маятника становится устойчивым (при этом нижнее положение равновесия также остается устойчивым). Аналитически оценку границы устойчивости верхнего положения равновесия удобно произвести, если пренебречь затуханием а и записать уравнение (3.6) при малых = х — л в виде [c.278]

Эти силы стремятся сжать (растянуть) конус вдоль образующей и при переходе предела устойчивости конуса будут выгибать его, как показано пунктиром. Если частота возбуждения катушки будет вдвое выше собственной частоты изгибных колебаний диффузора, то возникнет параметрический резонанс конус будет колебаться на половинной субгармонической частоте и излучать эти колебания, отсутствующие в передаваемом сигнале. [c.163]

Колебания, возникающие при резонансе п-го рода, иногда также называют автопараметрическими. Этот термин возник в связи с математическим аппаратом, при.меняемым при исследовании условий устойчивости двпншния при резонансе -го рода. При исследовании вопроса об устойчивости движения приходится рассматривать линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. Эти уравнения будут рассмотрены ниже, при изучении квазигармонических колебаний и параметрического резонанса. [c.306]

Анализ устойчивости показывает, что верхние кривые параметрического резонанса, как и прежде, устшйчивы, нижние —неустойчивы. [c.178]

Зависимость (7.41) свидетельствует о том, что динамический эффект От параметрических импульсов может оказаться эквивалентным понижению уровня диссипации системы. При AJAq >1 наступает параметрический резонанс, вызванный нарушением условий динамической устойчивости (см. гл. 6). Очевидно, что достаточное условие динамической устойчивости при периодических параметрических импульсах может быть записано в следующем виде [c.316]

Опыты с шарнирным четырехзвенником. Количество экспериментальных исследований, прямо или косвенно связанных с рассматриваемыми вопросами, невелико. В работе [108] приведены результаты опытов с маятником, движуш,имся в поле центробежных сил. Эти опыты позволили экспериментально получить движение, соответствующее периодическим решениям уравнения Матье и проверить суш ествование областей неустойчивости. В работе [116] приведены результаты экспериментов, связанных с исследованием возникновения параметрического резонанса эти эксперименты также производились с маятниками. Наконец, в [34] экспериментально показано, что в условиях вибрации точки подвеса неустойчивое положение равновесия маятника оказывается устойчивым. [c.182]

Наибольший интерес представляет область неустойчивости, которая лежит около частоты Q = 2Q(, и называется главной областью динамической неустойчивости. Сплошные области, в пределах которых система становится неустойчивой, — специфическая черта параметрических систем. Резонанс системы, насту паюш,ий при частоте внешнего возмущения, равной устойчивой частоте собственных частот, называется основным параметрическим резонансом. [c.206]

Параметрические резонансы в системах, находящихся под действием позиционных неконсервативных сил. Если система нагружена постоянньъми позиционными неконсервативными силами, то матрица С в уравнении (46) не будет симметричной. Влияние этих сил учтем, полагая, например, что = o + p o J, где J —одна из несимметричных матриц типа (68), р — коэ((х )ициент, характеризующий величину неконсервативных позиционных сил. Устойчивость систе1Мы [c.133]

К другим неконсерватиБНЫМ задачам устойчивости относят многие задачи аэро- и гид-роупрутости, а также задачи об устойчивости роторов с учетом внутреннего трения и родственных факторов [4]. Эти задачи освещены в гл. 7.6 и 7.8. Системы, нагруженные силами, явно зависящими от времени, также являются неконсервативными. Таковы задачи, в которых неустойчивость связана с возникновением параметрических резонансов. Прямолинейная форма стержня, нагруженного силой, изменяющейся во времени (рис. 7.3.11, в), может быть отождествлена с равновесием, если пренебречь (ввиду большой жесткости) продольными колебаниями стержня. В результате приходим к задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия при неконсервативной (но явно зависящей от времени) нагрузке. [c.480]

Штриховые линии на рис. 5.2 характеризуют потерю устойчивости моментных функций вида xiyTyT), х2уТу2), которые содержат фазовые переменные Хи в первой степени. Эти линии не определяют устойчивость стохастического решения, однако они могут быть использованы как оценки верхней грани выборочных значений критических сочетаний параметров. Для моментов указанного типа потеря устойчивости может происходить при чисто мнимых характеристических показателях i, а соответствующие частные решения могут иметь осциллирующий характер (участки кривых выше точек излома). На рис. 5.3 показаны аналогичные границы области устойчивости, построенные при других сочетаниях параметров. На этих графиках более четко выражены области побочных параметрических резонансов. [c.145]

Анализ результатов позволяет сделать следующие выводы. Наряду с главным параметрическим резонансом (у = 2) появляется побочный резонанс при 7 1. При малых частотах (у < 1) переход от устойчивости к неустойчивости носит квазимонотонный характер и определяется свободным членом характеристического уравнения (5.117). При частотах у> 1 характер неустойчивости становится колебательным и определяется главным минором Гурвица. Увеличение параметра широкополосности v, характеризующего нерегулярность изменения угла дифферента, приводит к тому, что гиротахометр становится менее чувствительным к параметрическим резонансам в окрестности у = i у = 2. При этом колебательный характер его неустойчивости начинает проявляться и при частотах у <С I [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...