Ч А С Т Ь 3. КОЛЕБАНИЯ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ

Исследованию связанных колебаний в неавтономных автоколебательных системах посвящено много работ [1, 2] и др. В этих работах не учитывается динамическое взаимодействие источника энергии и колебательной системы. Связанные колебания в системе с ограниченным возбуждением рассмотрены в [3, 4]. Система, изученная в этих работах, характеризуется тем, что автоколебательный механизм возбуждения колебаний и периодическое воздействие зависят от свойств одного и того же источника энергии (автономная система), обеспечивающего функционирование системы. Следует отметить, что интересным является также случай, когда имеет место независимость этих двух механизмов возбуждения колебаний от свойств одного и того же источника энергии. В данном случае автоколебательная система с источником энергии оказывается под воздействием периодической силы, явно зависящей от времени, и уравнения, описывающие эту систему, являются неавтономными. Заметим, что подобную систему условно можно называть системой, взаимодействующей с двумя источниками энергии, в которой один из источников является неидеальным, другой — идеальным. Действительно, если периодическая сила генерировалась бы некоторым вторым источником энергии, имеющим ограниченную мощность, то такое название было бы вполне адекватным. Тогда колебания, происходящие в указанной системе, оказались бы зависящими также от свойств источника, генерирующего периодическую силу, и система, превращаясь в автономную, описывалась бы тремя уравнениями вместо двух. Чтобы не усложнять задачу, на данном этане мы моделировали неавтономную систему, описываемую уравнениями [c.34]

Характерной практической задачей для таких систем является построение амплитудно-частотных характеристик определение резонансных амплитуд и условий срыва амплитуд, выявление супер- и субгармонических колебаний. Если в дифференциальных уравнениях движения неавтономной системы невозможно выделить функции времени в виде отдельных слагаемых и они входят в виде сомножителей при функциях обобщенных координат и (или) обобщенных скоростей, то системы, описываемые этими уравнениями, называют системами с параметрическим возбуждением. [c.23]

Замечание 2. Стохастические колебания возможны и в простых неавтономных системах с периодическими правыми частями или параметрами, например в двух следующих системах [c.261]

При теоретическом изучении главного резонанса выше применен метод Ван-дер-Поля. Для анализа резонансов П-то рода часто используют метод Пуанкаре. Он удобен также и для анализа вынужденных нерезонансных колебаний, т.е. вынужденных колебаний нелинейной системы, когда частота Л внешней силы не равна и не близка к значениям где = 1, 2, 3,..., а (Од - частота собственных колебаний системы. В связи с этим изложим основы метода Пуанкаре для неавтономных систем. (Его применение для расчета нерезонансных колебаний см. в 15.7, а для исследования субгармонических колебаний - в 15.8.) [c.277]

Если нарушить состояние равновесия такой системы, то будут совершаться своеобразные колебания с одной стороны, их нельзя назвать свободными, поскольку система неавтономна и испытывает заданное внешнее воздействие в виде изменения параметра, а с другой стороны, они не являются вынужденными, так как внешнее воздействие не проявляется в виде заданной силы. Эти колебания называются параметрическими и в зависимости от свойств системы и характера изменения ее параметров могут иметь ограниченные или возрастающие во времени пиковые значения последний случай называют параметрическим резонансом. [c.271]

Существуют три способа возбуждения вибрации неавтономных динамических систем силовой, кинематический и параметрический. Системы с силовым и кинематическим возбуждением совершают вынужденные колебания, а с параметрическим возбуждением — параметрические колебания. Силовое возбуждение колебаний осуществляют действием на систему вынуждающих сил и (или) вынуждающих моментов, т. е. переменных по времени внешних сил и моментов, не зависящих от координат состояния системы и их производных. Кинематическое возбуждение колебаний осуществляют сообщением извне некоторым ее точкам (или телам) перемещений, не зависящих от координат состояния системы и их производных. [c.229]

В автономных системах действующие силы зависят только от состояния системы (обобщенных координат и обобщенных скоростей), и в дифференциальные уравнения движения время явно не входит. В дифференциальные уравнения движения неавтономных систем время входит явно. Если для автономной нелинейной системы с несколькими степенями свободы можно заранее указать с достаточной точностью законы изменения во времена некоторых из обобщенных координат, то число дифференциальных уравнений движения соответственно уменьшается в этих уравнениях явно появляется время, и систему в целом можно рассматривать как неавтономную. На этом основана постановка задачи о вынужденных колебаниях, когда предполагают, что движение колебательной системы не оказывает обратного влияния на возбудитель колебаний, т. е. действие возбудителя представляет собой некоторую заданную функцию времени ( идеальный возбудитель ). При учете обратного влияния система обычно оказывается нелинейной и автономной, а число обобщенных координат большим, чем в приближенном анализе, необходимость такого учета зависит от свойств и параметров системы (см. гл. VII). [c.21]

Автоколебания. Автоколебаниями называются изолированные, асимптотически устойчивые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений. Отличие автоколебаний от вынужденных колебаний заключается в следующем. В системах с диссипативными силами поддержание периодических колебаний осуществляется посредством приложения периодических внешних сил. Это проявляется в том, что дифференциальные уравнения, описывающие такие системы, являются неавтономными, периодически зависящими от времени. [c.201]

Следует подчеркнуть, что дифференциальные уравнения движения колебательной системы совместно с возбудителем не обязательно автономны, как это имело место в указанном выше примере (инерционное возбуждение колебаний возбудителем асинхронного типа). В ряде случаев целесообразно выделять некое промежуточное звено, служащее возбудителем для колебательной части системы, причем ритм работы этого возбудителя задается другим весьма мощным источником и может считаться не зависящим от движения системы. Хотя в этих случаях ритм работы возбудителя является заданным, но возникающие при движении колебательной части системы силы все же зависят от этого движения. При этом имеется существенное взаимодействие колебательной части системы с возбудителем, но уравнения движения оказываются неавтономными. [c.108]

При /X = О мы про этот осциллятор все знаем (см. рис. 15.1). Рассмотрим его поведение при /х <С 1 в трехмерном фазовом пространстве, где третьей координатой является время 1. Физически кажется очевидным, что качественное отличие неавтономных движений от автономных появится в том случае, когда под действием внешней силы осциллятор в разные моменты времени попадает в области с качественно различным характером поведения (на фазовой плоскости этим разным движениям соответствуют области внутри или вне сепаратрисы). Проще всего это увидеть, если синусоиду в (15.9) заменить периодической последовательностью прямоугольных импульсов. Два раза за период фазовый портрет (см. рис. 15.1д) сдвигается то влево, то вправо на величину порядка ц. Для колебаний малой амплитуды эти пульсации пройдут почти незамеченными — движения останутся простыми. Движения же, близкие к сепаратрисе, могут оказаться сложными (см. гл. 13). Эта сложность связана с существованием в пространстве системы (15.8) [c.324]

Неавтономный генератор. Попробуем найти режим синхронизации, т. е. режим, в котором генератор выдает колебания не на собственной частоте, а на частоте внешнего поля. Наличие такого режима, например, создает возможность для управления частотой мощного генератора слабым сигналом. Определим параметры режима синхронизации, его границы, и выясним, что будет вне полосы синхронизации. В режиме захватывания амплитуды А и В должны оставаться постоянными. Введем для удобства амплитуды а = А/2, Ь = В/2 и Ева = Е/2. При этом система будет иметь вид [c.334]

Подчеркнем, что если нелинейность генератора не мала, то воздействие периодической силы может привести не только к синхронизации генератора или к работе системы в режиме биении (вне полосы захватывания или синхронизации), но и к установлению очень сложных режимов колебаний и даже колебаний со сплошным спектром. Такие колебания наблюдались недавно авторами работы [13] в неавтономном генераторе, который описывается уравнением вида х — lil —х )х+х = = В os Ш. В частности, при /х = О, 2, = 4,0 и В = 17,0 наблюдались колебания со сплошным спектром в интервале и) [0 4,5]. Возникновение стохастических колебаний в подобных сравнительно простых динамических системах мы будем подробно обсуждать в гл. 22. [c.339]

Сущность приема Ляпунова заключается в преобразовании уравнений автономной системы к собственному времени, в котором единицей времени является искомый период колебаний системы, который оказывается, таким образом, заранее известным, что позволяет оперировать с автономными системами так же, как и с неавтономными. [c.534]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Применимость этого способа к неавтономным системам была проверена иа задаче о колебаниях грузовой платформы, предназначенной для скоростных перевозок [26]. Устойчивость движения этого экипажа определялась из системы уравнений 32-го порядка. Рассматривалось движение по пути, ось которого в плане имеет синусоидальные отклонения от прямой i/ — d sin ot, со = 2nVL , где V — скорость движения L — длина волны. Был взят наиболее неблагоприятный резонансный случай. При этом порядок неавтономной системы был понижен с 32-го до второго. Расхождение при интегрировании полной и укороченной системы составило 5,7%. [c.412]

Вырожденная квазилинейная неавтономная система с одной степенью свободы (вибрационное поддержание враи ения физического маятника). Уравнение дпиженин маятника, горизонтальная ось которого совершает вертикальные колебания с частотой <о и амплитудой А, имеет вид [c.63]

Применение метода точечных отображений к неавтономным системам начинается обстоятельной работой Н. А. Железцова (1949), в которой рассмотрена задача о вынужденных колебаниях осциллятора с сухим и вязким (комбинированным) трением, описываемого неавтономной системой дифференциальных уравнений второго порядка вида [c.147]

Однако это — автогенератор такой нелинейный осциллятор демонстрирует незатухающие колебания, параметры которых (интенсивность, частота, а в более общем случае спектр и т. д.) не зависят от конечного изменения начальных условий и слабо зависят от изменения внешней силы. В частности, в фазовом пространстве хх неавтономной системы, описываемой уравнением (14.10), имеются устойчивые периодические движения, которым, если смотреть стробоскопически через период внешней силы, соответствуют (в отображении Пуанкаре) устойчивые неподвижные точки. [c.305]

Примеры странных аттракторов в неавтономных системах. На рис. 16.2, а показан сжатый, нотерявщий устойчивость упругий стержень, па который действует в поперечном направлении вынуждающая сила Р sin wi. Если амплитуда этой силы мала, то стержень будет совершать малые колебания около показанного на рисунке изогнутого положения. В противоположность этому, если амплитуда силы весьма значительна, то установятся большие колебания — такие, что в течение одного цикла стержень будет проходить все три положения равновесия 1) изображенное на рисунке сплошной линией 2) положение, симметричное первому (при прогибе стержня вверх) 3) среднее положение, отмоченное па рисунке штриховой [c.242]

Несмотря на то, что в рассматриваемом случае свободных колебаний автономной системы форма искомого периодического решения (13.18) — такая же, как и форма периодического решения (13.8) неавтономной системы (13.3), фактическое его получение связано с одним своеобразным затруднением. Коэффициенты ряда (13.18) — функции ф (0 — после подстановки (13.18) в уравнения (13.16), сравнения коэффициентов при одинаковых степенях ц и решения получающихся таким образом дифференциальных уравнений оказываются непериодическими, содержащими вековые члены, несмотря на то, что ряд (13.18) в целом, т.е. функции x (t), удовлетворяют условиям периодичности. Из периодичности функций Xi(t) здесь не вытекает периодичность коэффициентов 9jft(i), как это имело место в неавтономных системах. Иначе говоря, из равенства [c.533]

Третья часть данного пособия (гл. 15-17) посвящена неавтономны системам. Сначала рассмотрены вынужденные колебания в нелинейно диссипативной (гл. 15) и автоколебательной (гл. 16) системах, а в заклю чительной гл. 17 изложена теория параметрических колебаний. В гл. 1 основное внимание обращено на влияние, которое оказывает нелинейное на характер вынужденных колебаний. В гл. 16 изложены результат [c.8]

В гл. 15 исследована нелинейная (и очетп. кратко - линейная) диссипативная система только с одной степенью свободы. Осталась в стороне вся теория вьшужденных колебаний в линейных системах с двумя и И степенями свободы. Эта теория подробно изложена в лекциях Л.И. Мандельштама [17], в уже упоминавшейся книге С.П. Стрелкова [24] и в учебных пособиях [3,21]. Краткий анализ нелинейных систем с П степенями свободы дан в гл. 5 справочника [8] и в цитированной в нем литературе по механическим колебаниям (в той же главе можно найти дополнительные сведения и по колебаниям нелинейной системы с одной степенью свободы). Теория неавтономных квазилинейных систем с двумя степенями свободы разработана Н.В. Бутениным [5, 6] и получила дальнейшее развитие в зарубежных работах [9]. [c.325]

При рассмотрении вибрационных устройств приходится пользоваться понятиями как автономных, так и неавтономных систем (см. т. 2, гл. I). Для практического использования почти незатухающих свободных колебаний необходима колебательная система с очень малым рассеянием энергии и, кроме того, требуется надежная изоляция вибрируюш,ей системы от влияния внешних факторов. Такие требования практически исключают использование свободных колебаний в технологических целях. [c.229]

Вследствие колебаний рельсовых экипажей сила давления Р, на оси колесных пар изменяется во времени, поэтому изменяются и силы псевдоскольження. Уравнения возмущенного движения имеют переменные коэффициенты, т. е. системы неавтономны. Однако, если даже = 0,7, [c.411]

Задачи о взаимодействии источника возбуждения с колебательной системой (их называют еще задачами о колебаниях систем с ограниченным возбуждением и задачами о возбуждении вибраций) выделились в настоящее время в специальный раздел теории колебаний, который далеко еще не завершен. В него включают только нелинейные задачи, хотя некоторые типы взаимодействия описываются линейными уравнениями. Значительное место в этом разделе отводится системам, в которых силы, вызывающие колебания, создаются за счет электромагнитного (а не механического) воздействия. В задачах этою класса чаще всего целесообразно исследовать автономные уравнения движения. Однако в некоторых случаях задача может сводиться и к неавтономным уравнениям. [c.191]

В неавтономных задачах о взаимодействии возбудителя с линейной колебательной системой коэффициент взаимодействия используется аналогично тому, как в теории вынужденных колебаний используется коэффициент динамичности. Например, выражению для амплитуды вынужденных колебаний Д1=к 5с, где кд - коэффициент динамичности 5с - статическое перемещение под действием силы, равной амплитуде вынуждающей силы, аналогично вьгражение Д1=КдК 5 с, где 5 с - статическое перемещение под действием силы 0] . Однако понятие о коэффициенте взаимодействия неприменимо к режимам, которые возможны в системах, вде проявляется взаимодействие, и невозможны при его отсутствии, т.е. при жестко закрепленной колебательной системе. [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...