ОБЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Вариационные методы

Задача Б представлена в форме общих задач вариационного исчисления. В зависимости от вида функционала Яо и компонентов вектор-функционала Н задачи вариационного исчисления имеют различные формы и различные методы их решения [60]. Выбор той или иной формы задачи во всех случаях обусловлен удобством и эффективностью решения. Методы решения вариационных задач делятся на две большие группы аналитические и прямые (численные). [c.76]

Ряд важнейших исследований по аналитическим методам решения задач механики принадлежит знаменитому русскому математику и механику М. В. Остроградскому (1801 —1861). Он установил очень важный вариационный принцип динамики — принцип наименьшего действия, позволяющий сводить изучение движения механических систем к некоторой экстремальной задаче. Этот принцип называется принципом Остроградского — Гамильтона, так как независимо от Остроградского и в несколько менее общем виде он одновременно также был дан английским ученым Гамильтоном (1805— 1865). М. В. Остроградский решил также много частных механических задач в области гидростатики, гидродинамики, теории упругости, теории притяжения и баллистики. [c.16]

Исследование законов квазистатического распространения трещин и определение коэффициентов интенсивности напряжений вдоль траекторий развивающихся трещин является исходным этапом [1, 66] в расчетах на прочность и долговечность пластинчатых элементов конструкций, подверженных воздействию внешних циклических нагрузок. Тем не менее к настоящему времени известно сравнительно небольшое число работ, посвященных определению траектории развития трещины в квазихрупком упругом теле. Среди них следует отметить работы, в которых расчет траекторий осуществляется с привлечением метода конечных элементов [10, 26, 160, 165], вариационных [46, 73] и аналитических 17, 119] подходов. Развитие общих методов решения двухмерных задач теории упругости для произвольных областей с гладкими и кусочно-гладкими криволинейными разрезами, в частности метода сингулярных интегральных уравнений, позволяет эффективно решать с их помощью указанные задачи о построении статических траекторий дифференциальным (поэтапным) способом 95, 102, 103, 125], когда на каждом этапе используется локальный критерий разрушения для определения направления приращения трещины у ее вершин. [c.41]

Для того чтобы получить корреляционные функции, например, типа (10.2.8), необходимы нестационарные решения уравнения Фоккера—Планка. Поскольку в общем случае аналитические выражения, которые удовлетворяли бы уравнениям Фоккера—Планка, неизвестны, для получения решений приходится прибегать либо к приближенным (например, вариационным) методам, либо к довольно утомительным численным расчетам на ЭВМ. Последние позволяют получать решения с высокой точностью. Результаты некоторых из таких расчетов мы сейчас приведем. [c.332]

Во-первых,—единообразный подход к решению задач кинетики. Автор основывается на вариационном методе решения кинетического уравнения, справедливо отмечая, что другие аналитические методы эффективны лишь в применении к более или менее упрощенным моделям. К сожалению, вариационный метод не всегда пользуется тем вниманием, которого он заслуживает. В связи с этим особый интерес для теоретиков может представить гл. VII, посвященная общей теории явлений переноса. В ней, в частности, выявляется связь вариационного метода с основными принципами термодинамики необратимых процессов. [c.5]

Методами взвешенных невязок удается решать и нелинейные задачи нестационарной теплопроводности, но при этом для определения Вп (t) в (4.48) получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в общем случае приходится интегрировать численно. Таким образом, температурное поле в теле в фиксированный момент времени описывается аналитической зависимостью, но переход от одного момента времени к другому связан с определением значений (t) численным интегрированием. Переход к конечным интервалам времени позволяет использовать вариационную формулировку нелинейных задач [13], представляя анализ процесса нестационарной теплопроводности как последовательность решений ряда задач стационарной теплопроводности. [c.166]

Эти особенности предопределяют использование самых разнообразных подходов к решению задачи оптимизации. Широкое распространение получили аналитические и численные методы оптимального управления, вариационного исчисления, математического программирования. Последний подход в некоторых отношениях оказывается наиболее общим и эффективным. Он позволяет единообразно решать оптимизационные задачи различных видов, учитывать ограничения на вектор V. К настоящему времени действенность этого подхода продемонстрирована на многих примерах [15, 25]. [c.38]

Лагранж (Lagrange) Жозеф Лг/ (1736-1813) — выдающийся французский математик и механик, В1754 г. стал профессором артиллерийской школы. Основатель знаменитой Туринской академии. В 1766-1787 гг. преподавал в Берлинской академии наук. В 1787 г. переехал в Париж, где до конца жизни был профессором Нормальной школы и Политехнической школы. В 1788 г, издал знаменитую книгу Аналитическая механика , которую У. Р. Гамильтон назвал научной поэмой . Развил основные понятия вариационного исчисления и предложил общий аналитический метод для решения вариационных задач. Придал уравнениям движения форму, названную его именем, В Аналитической механике значительное место занимают вопросы механики сплошной среды (гидростатика, гидродинамика, теория упругости). Автор ряда фундаментальных работ по математическому анализу, теории чисел, алгебре, астрономии, картографии и др. [c.38]

В течение ряда лет автор читал двухсеместровый курс лекций по вариационным принципам механики для аспирантов Purdue University и всякий раз, когда ему приходилось сталкиваться с основными принципами и методами аналитической механики, он ощущал-чувство необычайного подъема. Вряд ли существует еще какая-либо из точных наук, где абстрактные математические рассуждения и конкретные физические доводы так прекрасно гармонируют и дополняют друг друга. Не случайно принципы механики производили огромное впечатление на многих выдающихся математиков и физиков. Не случайно также, что в европейских университетах с давних пор курс теоретической механики обязательно входит в план обучения любого будущего математика и физика. Аналитическая механика — это гораздо большее, чем просто эффективный метод решения динамических задач, с которыми приходится встречаться в физике и технике. Для того чтобы подчеркнуть важность теоретической механики, нет необходимости ссылаться на гироскопы, как бы ни были важны они в физике и технике—само существование общих принципов механики служит ее оправданием. [c.11]

Среди приближенных методов наибольшее распространениё получили методы, использующие вариационные принципы, и. методы возмущений (асимптотических разложений) по большим или малым значениям параметра или координаты. Полученные в предыдущих параграфах уравнения равновесия стержней и нитей, как правило, являются нелинейными и в общем случае не могут быть решены в аналитической форме за исключением частных случаев. При решении уравнений равновесия обычно используют или численные методы, или приближенные, использующие вариационные принципы механики. При численных методах решения задач усложняются тем, что все задачи механики стержней относятся к двухточечным краевым задачам. [c.47]

Сплочению коллектива кафедры способствовали научные исследования, которые велись по достаточно целеустремленной и продуманной программе. Стержнем этой программы были работы по вариационным методам решения задач ракетодинамики и развитию общей теории движения тел переменной массы. По-моему, весь коллектив кафедры отлично понимал, что в середине XX в. центр тяжести исследований динамических процессов сместился к нелинейным проблемам, а для корректного аналитического исследования нелинейных проблем наиболее обещ,ающими и плодотворными являются вариационные методы (классические и новые), а также модифицированный и развитый метод Ньютона — Чаплыгина. Это общее для коллектива понимание линии развития науки делало научные заседания кафедры весьма содержательными, а обсуждение докладов и сообщений почти всегда способствовало углублению и внедрению в самую суть рассматриваемой проблемы. [c.227]

Глава П содержит приближенные методы решения, опиращие-оя на гипотезы локального характера. Прежде всего рассматриваются формулы, аппроксимирующие зависимость давления от местного угла наклона поверхности, на основе которых вычисляются аэродинамические коэффициенты осесимметричных тел. Включена новая ветвь теории Ньютона, открывающая общие дифференциальны соотношения мааду аэродинамическими коэффициентами. Решается вариационная задача в предположении, что давление на поверхности определяется по формуле Ньютона или методом местных конусов, в окрестности точки торможения используется предположение о постоянстве плотности, которое дает возможность получить точное аналитическое решение задачи обтекания сферы и цилиндра. [c.8]

Выше мы показали возможность вывода основных уравнени й теории пластин исходя из вариационного принципа Лагранжа. Однако главное значение вариационных принципов в расчете пластин состоит в том, что с их помощью можно получить приближенные решения сложных задач, не прибегая к составлению и решению дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые примеры расчетов с использованием прямых методов вариационного исчисления рассмотрены в 8. Точное аналитическое решение общих уравнений изгиба пластины может быть выполнено лишь в частных случаях — для прямоугольных и круглых пластин постоянной толщины, а также для пластин, [c.67]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...