ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы ОБЩИЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ Вариационные методы из "математическая теория пластичности " Таким образом, работа внутренних сил (4.2) является потенциалом напряжений. [c.61] Выражение (4.4) носит название дополнительной работы и считается функцией напряжений. [c.61] Если правая часть (4.15) не больше Уг—ии что и означает невогнутость по е и Г, то из неравенства (4.15) следует (4.8). [c.63] Доказанные положения носят в упругости названия принципов Лагранжа (1=тт1к) и Кастильяно (/=тах/с) и удобны для приближенных расчетов и оценок (прямой метод вариационного исчисления). [c.65] Другие возможные разрывы не отражаются на представлении и и /с. [c.65] Как правило, построение поля оц в жестких областях основывается на использовании строгого равенства /=0, т. е. решается задача о продолжении поля напряжений в жесткую зону. Такое, поле может быть разрывным. [c.66] Заметим, что предугаданное ранее из общих соображений существование предельного состояния нагружения для жесткоидеальнопластического конечного тела в рассматриваемом случае сразу следует из ограниченности верхней оценки т. [c.68] Доказанные выше экстремальные свойства статически и кинематически допустимых полей являются основой эффективных методов оценки несущей способности, широко используемых в инженерной практике. Искусно подобранные допустимые поля позволяют указывать в некоторых задачах практически точные значения коэффициента т. [c.69] Таким образом, неполное решение дает верхнюю оценку для коэффициента т, и из двух неполных решений для того, которое приводит к большому значению гпщ условие пластичности наверняка превышено в жесткой области. [c.69] Использование в рамках жестко-пластического тела деформационной теории приводит к результатам, которые отличаются от только что приведенных заменой скоростей перемещений и деформаций на сами перемещения и деформации. [c.69] По сравнению с задачами линейной упругости трудности в определении напряженно-деформированного состояния пластических тел значительно возрастают, причем здесь возникают новые специфические проблемы. [c.70] Одной из таких проблем является отыскание упруго-пласти-ческих границ, и если учесть, что в пластической зоне разрешающие уравнения являются нелинейными и даже (как в теории течения) неголономными, то эта проблема в общем предельно сложна. Однако при построении приближенных решений, чему и посвящена настоящая глава, эта трудность в некоторых случаях может быть обойдена следующим образом. [c.70] Появление выраженных границ раздела с разными законами деформирования связано в первую очередь с наличием на одномерных диаграммах (чистый сдвиг, простое растяжение-сжатие) характерных точек типа то — начальных пределов упругости только за этими точками к упругим деформациям начинают присоединяться пластические. Если же допустить, что последние в исчезающе малых дозах присутствуют на всем пути активного деформирования из естественного состояния, то поведение пластического материала в одномерном, а в условиях применимости деформационной теории и при произвольном состоянии становится неотличимым от поведения нелинейно-упругого тола, и какие-либо разграничительные поверхности в деформируемом теле отсутствуют. Такая замена упруго-пластического тела па иелинейно-упру-гое часто используется в приложениях. Выбор аппроксимации одномерной диаграммы достаточно широк, но в конкретных примерах мы будем пользоваться кривой в виде кубической параболы, которая, как показывают эксперименты, достаточно хорошо может описывать поведение таких, например, материалов, как алюминиевые сплавы. [c.70] Допущение о возникновении пластических деформаций вместе с упругими применимо, естественно, и в рамках теории течения. При активном процессе оно также снимает проблему определения упруго-пластических границ и с общих позиций означает, что начальная поверхность нагружения стянута в точку и непрерывно расширяется в процессе активного деформирования. Конечно, начиная с первого момента разгрузки, различие в поведении материала уже не может быть затушевано, и достигнутые преимущества исчезают. [c.70] Излагаемые ниже методы являются наиболее общими приближенными методами решения, применимыми принципиально для любых краевых задач пластичности. Вопросам сходимости этих методов, которые здесь не затрагиваются, посвящена достаточно обширная литература. В отдельных же случаях возможны более эффективные частные (в основном аппаратные ) методы, позволяющие получать даже точные решения. Описание таких методов будет проводиться по мере их применения к конкретным задачам в последующих главах. [c.71] Результаты главы II позволяют строить приближенные решения краевых задач пластичности единым методом, основанным на проблеме отыскания экстремума функционала. [c.71] Проблема экстремума функционала (1.1) при достаточно общем виде операторов L и М хорошо изучена, и, в частности, известно, что необходимые условия экстремума совпадают с уравнениями обычной дифференциальной трактовки краевой задачи как внутри, так и на границе области, обеспечивая недостающие краевые условия на части поверхности 5 — 5 , . [c.71] Естественно ожидать, что с увеличением М найденное таким образом I будет приближаться к действительному экстремуму. [c.72] Более проблематично поведение последовательности решений здесь успех дела во многом зависит от удачного выбора функций фа (Хк), и, поскольку получение эффективных оценок точности затруднительно, на практике удовлетворяются констатацией практической сходимости — быстрого убывания Са с номером а. [c.72] В рамках теории приращения деформаций роль да выполняет либоби при кинематически допустимом поле, либо бо - при статически допустимом поле естественно, роль Г выполняют б/ и б/с, определяемые формулами (3.11) глшил II. В деформационной теории в качестве гя) могут фигурировать либо либо в функционалах 1и и /с по формулам (4.21) и (4.22). [c.72] Вернуться к основной статье