Среда с кубической симметрией

Диэлектрическая проницаемость е изотропной среды (или среды с кубической симметрией) определяется отношением D/E [c.476]

Рассмотрим для простоты ион в среде с кубической симметрией. Действующее поле равно [c.118]

Понятие об ортогональной анизотропии. Симметрия анизотропной среды определяется ее структурой. Наиболее часто в технике встречаются материалы, которым с достаточной степенью точности можно приписать наличие трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Такие материалы называются ортотропными или ортогонально анизотропными. Линии пересечения плоскостей симметрии являются осями симметрии второго порядка поворот фигуры на половину окружности вокруг такой оси приводит к полному совмещению всех ее точек (см. рис. 1.1). Пространственная фигура (поверхность анизотропии), изображающая характеристику какого-либо свойства ортотропного материала, обладает меньшей симметрией, чем фигуры для материала с кубической симметрией. Оси симметрии материала с кубической симметрией имеют четвертый порядок. Поворот фигуры на четверть окружности приводит в этом случае к совмещению всех ее точек. На рис. 1.2 изображены для примера поверхности анизотропии модулей Е и О кристалла с кубической симметрией (монокристалла альфа-железа). Фигуры отсекают на трех осях симметрии одинаковые отрезки. Для ортотропного материала эти отрезки имеют различную величину, поскольку оси симметрии ортотропного материала имеют не четвертый, а второй порядок (см. рис. 1.1). Если величины отрезков, отсекаемые на одной и той же оси по обе стороны от центра фигуры, одинаковы, то говорят, что фигура имеет центр симметрии. Оси сим- [c.10]

В конденсированной среде каждый атом или ион / находится в действующем поле Еюс, которое отлично от П Оля Е, входящего в уравнение Максвелла. Лоренц показал, что в жидкости или в кристалле с кубической симметрией действующее поле равно [c.286]

Для кристаллов кубической системы, а также для стекла и других изотропных материалов с аморфной структурой /3 = За. В кристаллах с низкой симметрией отдельные слагаемые коэффициента объемного расширения могут принимать отрицательные значения. При поляризации атомов и появлении дальнодействующих составляющих межатомного взаимодействия коэффициент /3 становится отрицательным. Например, германий при нагреве от 15 до 40 К не расширяется, а сжимается. Среди полимеров самое большое тепловое расширение имеют неполярные полимеры, у которых силы Ван-дер-Ваальса малы. [c.62]

Соотношения (XI.11) — (XI.14), таким образом, позволяют выбрать среди разных решений системы (XI. 10а) такие решения, которые удовлетворяют этим условиям. Последние же в свою очередь определяют те направления в данном кристалле, вдоль которых могут распространяться чисто продольные и чисто поперечные ультразвуковые волны При этом наличие элементов симметрии сокращает число независимых и отличных от нуля модулей упругости упрощая уравнения (XI. 10а), т. е. их решение и нахождение особенных направлений. Наиболее простой таблицей модулей упругости обладают кристаллы кубической симметрии. Для этих Кристаллов мы и выполним подробные расчеты, а для кристаллов более низкой симметрии приведем соотношения, связывающие скорости звука с модулями упругости в оптимальных срезах. [c.244]

В анизотропной среде направление вектора Р в общем случае не совпадает с направлением напряженности Е электрического поля. Поэтому материальное уравнение (10.5) имеет тензорный характер. Если среда обладает центром симметрии, то в (10.5) все тензоры X нечетных рангов обращаются в нуль. Так будет, например, в изотропной среде или в кубическом кристалле. Поэтому в них невозможны нелинейные эффекты, обусловленные квадратичной восприимчивостью х,и, например генерация второй гармоники. Тем не менее при качественном изучении таких явлений можно воспользоваться упрощенной изотропной моделью нелинейной среды, считая поляризованность Р параллельной напряженности Е и полагая в. материальном уравнении (10.5) восприимчивости всех рангов скалярами [c.485]

Отметим, что при использованной нами постановке задачи собственные векторы о" , отвечающие выбранному значению скорости о, могут быть комплексными. В общем случае это приводит к комплексности определителя граничных условий dmn - В процессе же осуществления итерационной процедуры необходимо обращать в нуль и действительную, и мнимую его части. Причем совершенно неочевидно, что действительная и мнимая части могут одновременно обратиться в нуль при одном и том же значении и. По этой причине в первых работах по поверхностным волнам в кристаллах рядом авторов (см., например, [14]) было высказано предположение, что такое совпадение оказывается случайным, так что поверхностные волны не существуют в произвольно выбранных направлениях поверхности кристалла. Однако численные расчеты и экспериментальные исследования показали, что практически во всех исследованных направлениях различных кристаллов всегда существует значение V, соответствующее поверхностной волне. Таким образом, оказывается, что действительная и мнимая части определителя граничных условий так взаимосвязаны, что обращение в нуль одной из них влечет равенство нулю другой. Не так давно этот факт был подтвержден аналитически, и тем самым были строго доказаны существование и единственность решений в виде поверхностных волн в кристаллах [16—18], в том числе и в пьезоэлектрических [18], для произвольного направления, за исключением некоторых особых направлений, в которых граничные условия могут быть удовлетворены чисто сдвиговой объемной волной. О существовании или несуществовании поверхностных волн вдоль таких особых направлений результаты [16—18] ничего не говорят. Имеются как примеры существования (например, рэлеевская волна в изотропном твердом теле или волна рэлеевского типа в направлении [100] плоскости (001) кубических кристаллов [14]), так и примеры несуществования (направление X К-среза пьезоэлектрического кристалла триклинной симметрии, граничащего со средой с нулевой диэлектрической проницаемостью [18]). Таким образом, для большинства направлений в кристаллах [c.229]

Тензор термоупругости a j является симметричным тензором, что следует из (13.1) ввиду симметрии тензора напряжений. Число независимых компонент aij уменьшается, если тело обладает симметрией. Например, для кубических кристаллов и изотропных сред тензор aij сводится к одной величине а. Таким образом, закон Гука для изотропных упругих тел с учетом изменения температуры можно представить в форме [c.552]

Заметим, что подобным же образом распространяется фронт любой (квазипродольной дРУ, квазипоперечных qSV, qSH) волны, возбуждаемой в анизотропной (однородной) упругой среде. Учитывая отношение (1.13), указывающее, что фазовая скорость элемента фронта является проекцией его лучевой скорости на направление нормали п, рис. 1.7 дает возможность сделать важный практический вьшод измерения в кубических образцах с плоскопараллельными гранями, помещенных между плоскими (локально-плоскими) излучателями и приемниками, позволяет независимо от ориентации элементов и типа симметрии среды, измерять фазовую скорость распространения колебаний. [c.29]

Рассмотрим распространение гармонических плоских волн, например решений вида и = иоехр [г(к-г — со )], где к — волновой вектор (неединичный) и со — круговая частота, в бесконечной упругой среде с кубической симметрией. Объемной силой Ро в уравнении (2.11.20) будем, как и выше, пренебрегать, а тензорный коэффициент упругости будет иметь вид (2.11.36). Наибольший интерес для нас представляет рассмотрение распространения волн в некоторых специальных направлениях кубической структуры. Для анализа будем использовать систему обозначений Миллера, схематично изображенную на рис. 2.13.1 и 2.13.2. Обозначения (...) относятся к кристаллографическим плоскостям, а обозначения [...]— к кристаллографическим [c.141]

Здесь не предполагается, что значительный по размерам участок земли может быть представлен как макрооднородная среда с кубической симметрией. Даже соляной купол представляет аморфную массу, а не единый кристалл галита. Однако регулярная упаковка сфер может рассматриваться в качестве идеализированной модели зернистых пород при этом простая кубическая упаковка может быть взята в качестве начального приближения. Поэтому целесо- [c.52]

ОСОБЕННОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЛН В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ КОССЕРА С КУБИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ [c.52]

Так как поправочный коэффициент, стоящий перед (в 3.18), симметричен относительно перестановки частот, мь 2. 3, перестановочные соотношения, выведенные ранее для х остаются справедливыми для макроскопической нелинейной воспр 1имчивости Приведенные формулы приложимы, по-видимому, лишь к кристаллам типа СиС1 (т. е. ионным класса 43 т). Это тетраэдральные кубические кристаллы без центра инверсии. Учет выведенных выше поправочных коэффициентов, разумеется, весьма существен для сред с большими диэлектрическими проницаемостями. При выводе соотношения (3.18) предполагалось, что валентный электрон локализован вблизи узла решетки с кубической симметрией. Очевидно, что это предположение совершенно не соответствует условиям, в которых находятся валентные электроны в полупроводниках типа ОаАз в этом случае поправочный коэффициент, учитывающий отличие действующего поля от макроскопического, следует положить, по-видимому, равным единице. Сомнительно, чтобы и для СиС1 соотношение (3.18) являлось вполне точным. [c.119]

Для простоты предположим, что для рассматриваемой среды аи (со) = =ст (со) 8 (со) = е (со) 8 , т. е. В и ] параллельны Е. Это справедливо, например, для люэого кристалла с кубической симметрией, а также для поликри-сталлических образцов. При изучении двояконреломляющих кристаллов от такого предположения следует отказаться. [c.390]

Среда, в которой оба условия удовлетворяются одновременно, не может быть пьезоэлектрической, так как обладает центром симметрии. В качестве примера можно привести распространение ПАВ в направлении кристаллографической оси вдоль базовой плоскости непьезоэлектрического кристалла с кубической симметрией. В этом случае решение уравнения (6.8) распадается на две независимые части. Составляющая иг приводит к появлению объемной поперечной волны, которая удовлетворяет граничным условиям на поверхности. Из второй части решения получим две константы Ь " которые в отличие от изотропной среды не обязательно будут располагаться на отрицательной мнимой оси, так как 2с44 сц - С12. Действительные части констант приводят к осциллирующей амплитуде смещения, в то время как мнимые части характеризуют затухание. [c.275]

Уравнения (3,56) могут быть решены прпбли ксппо методом последовательных приближений в случае слабой анизотропии, если положить си.1 = см -Ь с , где с — модули упругости, удовлетворяющие соотношению с х— с"2— — 2с44=0, справедливому для изотропных сред, п см- сы-Рассмотрим случай, когда дефект не нарушает кубической симметрии поля смещений. При этом можно в [c.47]

Сформулированный принцип утверукдает, таким образом, что симметрия рассматриваемого физического свойства не может быть ниже симметрнн кристалла, в котором оно проявляется. Физическое свойство может обладать и более высокой симметрией, чем точечная группа симметрии кристалла. Так, например, кубические кристаллы в отиошеиии свойств, описываемых тензорами второго ранга (в частности, оптических), ведут себя как изотропные тела. Далее, свойства, описываемые тензорами четных рангов (например, упругость), инвариантны относительно преобразования инверсии. Сказанное относится также к текстурам и другим средам с соответствующими группами симметрии. [c.29]

Вдоль рассматриваемого направления продольные волны в микрополярном кубическом кристалле распространяются с той же скоростью, что и в кристалле кубической симметрии без ми-кровраш ений. Поперечные волны в среде Коссера (так же, как и в случае микрополярпой среды первого порядка) остаются такими же, как и в изотропной среде. [c.55]

Анализ возможности одновременного существования всех указанных типов продольных нормалей показывает, что единственным условием, реализующим эту возможность, является ограничение (13). Следовательно, для сохранения продольных нормалей кубического кристалла необходимо, чтобы тензор механической связности был изотропным, т. е. в микрополярпых кристаллах на существование особых направлений существенно влияют эффекты механической связности. В центральносимметричных средах, где эти эффекты не проявляются, продольные нормали, связанные с кристаллографической симметрией, сохраняют свое направление. [c.60]

Рис. 13.7. Внутреннее электрическое поле, действующее на атом в кристалле, состоит из внешнего поля о и поля, обусловленного всеми осгальными атомами кристалла. В этом последнем обычно выделяют три составляющих, вводя воображаемую полость в виде сферы, центр которой совпадает с данным атомом. Для поля в центре, создаваемого дипольными полями других атомов, ограничиваются суммированием полей от всех атомов внутри сферы. Это поле обозначено через 3 для кристаллов кубической симметрии оно равно нулю. Эффект от атомов вне сферы можно описывать как действие однородно поляризованной диэлектрической среды. Поле, создаваемое при этом в центре сферы, равно Е1- -Е2, где 1 — деполяризующее поле, обусловленное зарядами, наведенными на внешней поверхности образца, а 2 — поле, создаваемое зарядами на внутренней поверхности сферы.

В нижней части фиг. 121 изображен график для 2 (ш) при 6Л1 < 0. Мы видим, что при меньшей массе примесного атома каждая частота слегка увеличивается. И в этом случае для всех мод, кроме наивысшей, сдвиги очень малы — не больше примерно здг/зЛ. Однако сдвиг наивысшей моды может быть очень большим. Таким образом, в случае легкого дефекта локализованная мода может выйти за пределы непрерывного спектра. То, что легкая масса может привести к появлению локальной моды, а тяжелая не может, физически очевидно. Легкий атом может колебаться сам по себе, в основном не возмушая окружающую среду, тогда как тяжелый атом неизбежно увлекает за собой окружающие атомы. Отметим также, что в случае дефекта, сохраняющего кубическую симметрию решетки, обсуждаемая локальная мода должна быть трехкратно вырожденной — три моды с взаимно перпендикулярными амплитудами должны иметь одинаковые частоты. [c.433]

Как известно, уран имеет три аллотропические модификации. В а-фазе при температуре ниже 668° С уран имеет ромбическую решетку, что очень редко встречается среди металлов, в р-фазе (668—774° С) —тетрагональную, а в уфззе (выше 774° С) — кубическую объемноцентрированную решетку. Переход из одной аллотропической модификации в другую сопровождается значительными изменениями удельного объема (1,15% при превращении а-- р и 0,71% при превращении Низкая симметрия структуры а- и р-урана являются причиной резко выраженной анизотропии физических и механических свойств. Поэтому при нагревании урана имеют место формоизменения (особенно при пере- [c.94]

Множитель 6 в (13.4.2) обусловлен числом различных возможных способов, с помощью которых можно получить комбинацию (ш2) (шз) (ш4) в (13.4.1). В отличие от коэффициента второго порядка который не равен нулю лишь в нецентросимметричных кристаллах, коэффициент не равен нулю в любой среде, включая изотропные материалы (газы, жидкости, стекла), а также кубические кристаллы. Однако форма тензора x t/ определяется симметрией точечной группы среды. Эти тензоры для различных случаев симметрии табулированы в книге Хеллворта [8]. В этой книге рассматриваются подробно различные физические явления, которые связаны с оптическими нелинейностями третьего порядка. [c.594]

Эффект Зеемана на линиях спектров иопов, находящихся в чисто-кубическом ноле, до недавнего времени был мало изучен. Было выполнено лишь одно исследование по изучению явления Зеемана на линии люминесценции иона Сг , находящегося в чисто-кубическом ноле симметрии Оц кристалла MgO [39]. Вместе с тем интерес к исследованиям такого рода возрос в последнее время в связи с появлением новых эффективных лазерных сред МеРг— TR , где ион TR находится в чисто кубическом поле кристалла. [c.102]

Приводимая ниже формула впервые была получена Кельвином в 1846 г. Этот результат воспроизводится во многих руководстве по теории упругости (см., например, [ ], рр. 183-185 [ ], рр. 484-485 [ ],с. 175).В 1900 г. Фредгольмом (I. Ггес1Ьо1т) был предложен метод, который в принципе позволяет найти перемещения, индуцированные сосредоточенной силой в упругой среде, обладающей любым типом симметрии. Однако с помощью этого метода удалось получить лишь два новых аналитических решения (Кренером в 1953 г. для гексагонального кристалла и Эшелби также в 1953 г. для кубического кристалла (двумерный случай)). [c.45]

В предлагаемой работе кратко изложены теоретические основы распространения упругих волн в твердых телах, причем больше внимания уделяется вопросам распространения поперечных (сдвиговых) колебаний в анизотропных средах. Даны основы метода акустополяризованных измерений. Объяснена физическая суть эффекта линейной анизотропии поглощения (акустического дихроизма). На основе анализа законов отражения на полупространстве и отражения-прохождения на границе раздела сред рассматриваются пути создания эффективных чисто поперечных линейно-поляризованных излучателей и приемников колебаний. Проанализированы, разработаны и испытаны конструкции комбинированных преобразователей для излучения и приема продольных и сдвиговых колебаний, преобразователей для определения упругих постоянных анизотропных сред. На основе результатов сравнительных испытаний показаны их достоинства и недостатки. Описаны акустополярископы трех модификаций и приемы проведения акустополяризационных измерений. Изложены приемы обработки результатов измерений, определения типа симметрии и констант упругости анизотропных сред. Даны правила для расчета констант, анализа сред ромбической, тетрагональной, псевдогексагональной, кубической и изотропной симметрий. Вместе с этим показано, что по числу выявленных элементов симметрии возможен анализ сред более низких форм симметрии, например, тригональной и др. [c.12]

Как выше отмечено (п. 1.3), анизотропные среды описываются триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной, тригональной, гексагональной и кубической системами упругой симметрии. При расчете констант упругости минералов, как правило, для определения числа и направленности их элементов упругой симметрии используются оптические, рентгено-структурные методы, нейтронного просвечивания [6,105]. Расчет констант выполняется путем использования величин скорости распространения упругих колебаний в определенных направлениях кристалла 18]. В некоторых случаях для расчета использовали показатели деформируемости кристалла [6]. Как было показано в разделе 1.1, горные породы представляют собой поликристаллические, а чаще всего полиминеральные образования, упругие свойства которых являются результатом взаимодействия фактически неопределимого числа зерен. Система упругой симметрии поликристаллических образований всегда выше, чем минералов, ее слагающих [ 105, 106]. Если, например, горная порода состоит из минеральных зерен триклинной, моноклинной сингоний, ориентировка осей которых в среднем детерминирована и определяет наличие упругой анизотропии, однако имеет и долю статистического разброса, система симмеарии такой породы будет выше сингоний минералов. Поэтому в подавляющей массе случаев горные породы будут характеризоваться типами симметрии не ниже средних сингоний ромбической, тетрагональной, гексагональной, кубической и изотропной. Это подтверждается известными экспериментальными данными [35, 107-112], а также результатами косвенной оценки, полученными с помощью микроструктурного анализа [113, 114]. [c.94]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...