Схемы для аппроксимации членов

Схемы для аппроксимации членов с вязкостью [c.385]

S.6.3. Схемы для аппроксимации членов с едкостью 385 [c.385]

В пятой главе рассматриваются методы реализации простейшей модели конвективного теплообмена, заключающейся в решении уравнения энергии при заданном поле скоростей. Обсуждаются особенности конечно-разностной аппроксимации конвективных членов в уравнении энергии. Подробно разбираются численные схемы для двух часто встречающихся на практике задач расчет двумерного стационарного температурного поля жидкости при течении в канале и совместный расчет одномерного температурного поля стенки и жидкости. [c.5]

Одношаговая явная двухслойная по времени схема, обеспечивающая статическую устойчивость для конвективных членов, основана на использовании односторонних, а не центральных разностей по пространственным переменным. Когда скорости положительны, то используются разности назад, и наоборот ). Таким образом, односторонняя разность всегда берется против потока, т. е. в направлении вверх по течению от точки, в которой вычисляется б /б/ ). Данная схема имеет ошибку аппроксимации Е = 0 А1, Ах) и записывается так [c.101]

Схема Крокко [1965] для аппроксимации конвективных членов уже была изложена в разд. 3.1.12. Для полного модельного уравнения (5.1) эту трехслойную схему можно записать в виде [c.388]

Считая в рассматриваемом случае преимущественным направлением направление координаты s, при конструировании маршевого алгоритма можно полностью использовать способы построения компактных схем для одномерных нестационарных уравнений с диффузионными членами. При этом существует две возможности 1) рассматривать аппроксимацию уравнений (2.2) как аппроксимацию системы с определением направлений ее характеристик и 2) рассматривать аппроксимацию уравнений (2.2) как аппроксимацию независимых скалярных уравнений вида (2.1) из гл. 1. [c.136]

Далее для тех задач, которые будут рассматриваться, приводятся несколько примеров разностных схем для расчета пространственных течений типа расщепления для решения задачи обтекания тел потоком идеальной несжимаемой жидкости, неявные разностные схемы с различной аппроксимацией конвективных членов для уравнений пограничного слоя, явные схемы для расчета пространственных сверхзвуковых течений, неявные методы повышенного порядка точности и неравномерной сеткой для уравнений пространственного турбулентного пограничного слоя. [c.128]

Метод решения. Система уравнений (1.1)-(1-3) решалась конечно-разностным методом по неявной схеме с использованием метода переменных направлений для уравнений завихренности и концентрации. Для конвективных членов применялись как монотонные аппроксимации, так и центральные разности. Использовались неравномерные сетки по обоим направлениям по вертикали в пограничном слое у поверхности растущего кристалла сетки существенно сгущались для разрешения тонкого концентрационного пограничного слоя по горизонтали - в областях X = 2а, 4й и 6а, т.е. в местах смены направлений входящего и выходящего потоков. Уравнение Пуассона решалось итерационным методом с набором оптимальных итерационных параметров. Тестовые расчеты на различных сетках (101 х 61, 201 х 71, 285 х 81) позволили выявить оптимальные сеточные и временные параметры как для эволюционных уравнений, так и итерационные шаги для уравнения Пуассона. [c.73]

Схема Уайтхеда обладает тем очевидным преимуществом, что теперь нужно решать только линейное неоднородное уравнение вместо нелинейного уравнения. Более того, эту схему возмущений можно в принципе продолжить далее, используя pvi-Vvj в качестве следующей аппроксимации инерционных членов. Это дает также идею итерационной схемы для получения более высоких приближений. К сожалению, как это обнаружил сам Уайтхед, не существует решения приведенных выше уравнений для v , удовлетворяющих условию однородного течения на бесконечности. Более того, можно показать, что следующее приближение, скажем V2, становится бесконечным вдали от сферы. Невозможность продолжить решение Стокса при помощи только что намеченной итерационной схемы известна как парадокс Уайтхеда. [c.61]

Формально порядок ошибки аппроксимации соответствует величине ошибки при Ал ->0, А -> О, поэтому общая ошибка аппроксимации для конечно-разностного уравнения (3.165) будет величиной порядка 0(А/, Ал 2). На практике величина такой ошибки может быть меньше. При малых, но отличных от нуля А можно считать, что а = 1/Ре О (А/). В этом случае первый отбрасываемый член в ряде Тейлора диффузионного члена будет иметь порядок 0[а(А Ах )], а величина суммарной ошибки для уравнения (3.165)—порядок 0(А/ , Ал 2). Условие устойчивости для уравнения (3.165) будет определяться наиболее жестким из условий, связанных с конвективным членом, С = = иА /Ах 1, и с диффузионным членом, с1 = осА /Ах 1/2-(Устойчивость для конвективного и диффузионного членов во многих случаях, но не всегда, можно исследовать раздельно см., например, Касахара [1965].) Известной явной схемой, устраняющей ограничение, обусловленное диффузионным членом, является схема Дюфорта и Франкела [1953]. Эту схему для решения многих задач гидродинамики с успехом использовали разные авторы, например, Пейн [1958], Фромм и Харлоу [1963], Фромм [1963, 1965, 1967], Амсден и Харлоу [1964], Хын и Макано [1966], Торранс [1968]. [c.96]

Это выражение дает основную форму разностной схемы Адамса — Бэшфорта для конвективных членов. В сочетании с аппроксимацией диффузионного члена центральными разностями для момента времени п в случае плоской задачи получаем [c.115]

Даже при сравнительно мягких условиях (3.478), предложенных Томаном и Шевчиком [1966], можно получить нереально резкое изменение функции 5 в окрестности границы В 6 для течений при малых Ке = 0(10). Для течений при таких малых Ке иа выходной границе Роуч и Мюллер [1970] брали самые мягкие граничные условия для 5, которые получаются из уравнения переноса вихря. Предполагая, что / 0 (т. е. что В 6 действительно является выходной границей потока), конвективный член для и можно аппроксимировать с помощью разностей против потока при г = /, не прибегая к дальнейшим аппроксимациям. Конвективный член для о также можно аппроксимировать при помощи разностей против потока (в зависимости от знака У/, /) или при помощи какой-либо другой схемы, используемой во внутренних точках аналогично, для диффузионного члена в направлении у при I — I пе требуется аппроксимации. Член, описывающий диффузию в направлении х, мог бы быть вычислен при / = / — 1. Но само по себе такое вычисление является статически неустойчивым (см. разд. 3.1.4) для члена (д%/дх )/Яе, особенно в течениях при малых Ке, В этом легко убедиться, если вернуться к рис, 3,6 корректирующее смещение, обусловленное членом дХ/дх для точки = /—1, [c.242]

В обоих рассмотренных методах для аппроксимации конвективных членов используется схема с донорными ячейками (вторая схема с разностями против потока) и, следовательно, в обоих методах имеется схемная искусственная вязкость (см. разд. 5.5.1, 5.5.2). Джентри, Мартин и Дали [1966] указали, что наличие в обоих методах искусственной вязкости <7 н означает пеинвариантность искусственной вязкости относительно преобразования Галилея, т. е. невозможность использования в этих методах преобразования, состоящего в обращении потока ). Кроме того, как отметили Эванс и Харлоу [1958, 1959], а также Лонгли [I960], без введения явной искусственной вязкости метод будет локально неустойчив в точках торможения потока, так как здесь схемная вязкость и стремится к нулю см. также формулу (5.25) и далее. В исходных работах оба метода были записаны как в декартовых, так и в цилиндрических координатах. [c.361]

Есть также указания на то, что при анализе устойчивости можно пренебречь членами со смешанными производными типа (5.98). Кенцер [1970] показал, что члены ей смешанными производными не оказывают влияния на устойчивость, по крайней мере в пределе при Дл - 0. В отличие от подобного вывода, сделанного выше для конвективных членов, представляется, что данный результат вытекает из опыта расчетов при конечных Дл > 0. По крайней мере такой опыт показывает, что если члены со смешанными производными и порождают какие-либо ограничения, связанные с устойчивостью, то они перекрываются другими условиями для устойчивости. Конечно, это может оказаться неверным для всех схем, которые могут быть созданы в будущем 2), однако сейчас это позволяет нам значительно упростить изложение, уделяя внимание только аппроксимациям модельных членов вида д[ g/дx)]/дx и д д/дх ). [c.384]

Построить схему для уравнения диффузии, основанную на аппроксимации Адамса — Бэшфорта для производной по времени. Доказать по меньшей мере условную устойчивость этой схемы. Для уравнения, содержащего конвективный и диффузионный члены, доказать, что при малых и/а имеет место по меньшей мере условная устойчивость. [c.532]

Развитие методов, основанных на компактных аппроксимациях, фактически происходило в двух направле1шях — конструирование нецентрированных схем третьего порядка и центрированных схем четвертого порядка. Под нецентрированными (или несимметричными) схемами здесь условно понимаются схемы, содержащие операторы, меняющие свою самосопряженную или кососимметричную часть в зависимости от знаков коэффициентов уравнений или от знаков собственных значений матриц в случае систем уравнений. Наоборот, компактные схемы, разностные операторы в которых не переключаются при изменении этих знаков, в дальнейшем будем называть центрированными (или симметричными), имея в виду, что соотношения типа (0.17) для первых и вторых производных в этом случае будут иметь равные по модулю коэффициенты a j и a ,a также j3 , и jSi. Не-центрированные схемы треть. го порядка были впервые предложены, исследованы и применены автором этой книги [4, 5, 27 -29]. Первая из этих публикаций относится к 1972 г. Позднее появились центрированные схемы четвертого порядка [30-36], предложенные почти одновременно несколькими авторами (первое упоминание о таких аппроксимациях в [37], см. также [1]). Если последние применялись главным образом при аппроксимации уравнений Навье-Стокса несжимаемой жидкости, то схемы третьего порядка прошли всестороннюю апробацию для различного класса задач - в случае уравнений Эйлера и Навье-Стокса сжимаемого газа (задачи о внутренних и внешних течениях в широком диапазоне чисел Маха и Рейнольдса), в случае уравнений гидродинамики, записанных в различных формах, в случае уравнений Рейнольдса осредненных турбулентных течений и т.д. Данная книга посвящена именно этому классу компактных схем. Компактные аппроксимации рассматриваются в ней прежде всего как эффективный способ дискретизации конвективных членов, содержащих несамосопряженные операторы наоборот, дискретизация членов с вязкостью вследствие самосопряжениости соответствующих операторов интерпретируется как второстепенная часть алгоритма, реализуемая различными способами. Таким образом, область целесообразного применения описываемых здесь методов — задачи с преобладающей ролью конвекции или чисто конвективные задачи. Именно таковыми в большинстве практически важных случаев являются задаад аэрогидродинамики. Благоприятные качества схем третьего порядка обусловлены в случае уравнений гидро-12 [c.12]

Таким образом, можно построить много вариантов абсолютно устойчивых в Приближении замороженных коэффициентов схем для уравнения (2.1), в которых разностные аналоги производных Эср/Эл имеют вид А Ajp/й. При этом основными факторами, между которыми должен Достигаться компромисс, являются порядок аппроксимации диффузионных членов и простота решения разностных уравнений. Условно будем классифицировать эти схемы с точки зрения второго фактора, т.е. по тому, ак осуществляется переход от одного слоя г = onst к другому. При этом южно выделить схемы, реализуемые скалярными и векторными трех- очечными прогонками, а также схемы с факторизованными оператора-основанные на расщеплении по физическим признакам. [c.49]

Если использовать схему второго порядка относительно г, то для конструктивного нрименсния алгоритма (3.32)требуется вычисление средних значений правой части вида 0,5 ( (и , х/) +g (и ", х,)). Для аппроксимации с точностью 0(т") можно, например, воспользоваться экстраполяцией по известным значениям сеточных функций и " и и" . Другой путь состоит в представлении в виде суммы членов, содержащих и" с последующим включением этих членов в левые части уравнений (3.22). [c.90]

Схемы для уравнений Навье-Стокса. Как и в случае систем уравнений с диффузионными Ч71енами, рассмотренном в гл. 1, при аппроксимации уравнений Навье-Стокса определяющую роль играет дискретизация их гиперболической части, члены же с коэффициентом вязкости могут быть аппроксимированы многими способами, влияющими в основном на простоту обращения операторов. [c.150]

Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечно-разностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение с (д+1)-го временного слоя при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение где / = maxi. Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводности, где температуры или градиенты температуры на границах, как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявных схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы чехарда и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида 1 и /г ), характерные для явных схем. Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой по обоим чередующимся направлениям обхода точек используются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964]) [c.148]

В обоих рассмотренных методах для аппроксимации конвективных членов используется схема с донорными ячейками (вторая схема с разностями против потока) и, следовательно, в обоих методах имеется схемная искусственная вязкость (см. разд. 5.5.1, 5.5.2). Джентри, Мартин и Дали [1966] указали, что наличие в обоих методах искусственной вязкости озна- [c.361]

При теоретическом исследовании используется численный подход [3, 4], позволяющий моделировать отрывные течения на основе нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса. Аппроксимирующая система уравнений Навье-Стокса получается на основе неявной конечно-разностной схемы при этом для аппроксимации конвективных и диффузионных членов дифференциальных уравнений в полуцелых узлах используются TVD-схема второго порядка точности и схема центральных разностей соответственно. Для решения нелинейных разностных уравнений применяется модифицированный метод Ньютона-Рафсона с пересчетом матрицы Якоби на усеченном шаблоне. На итерации по нелинейности используется итерационный GMRES-метод для решения системы линейных алгебраических уравнений. [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...