О касательных плоскостях и нормалях к кривым поверхностям

При пересечении поверхности торса плоскостью, перпендикулярной к касательной ребра возврата, получается кривая линия с вершиной острия, касательная в которой является главной нормалью ребра возврата поверхности. Соприкасающаяся плоскость ребра возврата является касательной плоскостью торса. Это необходимо учитывать при исследовании пространственных кривых. [c.271]

Траекторией точки, движущейся по поверхности, будет, очевидно, кривая, лежащая на этой поверхности всеми своими точками. Возьмем поверхность Q (рис. 365), и пусть аа будет элемент траектории, точки. Проведем в точке М касательную к траектории Mr, нормаль к поверхности MJV и главную нормаль к траектории Мп. Проведем теперь через касательную т и нормаль /V к поверхности плоскость, которая пересечет поверхность по некоторой кривой элемент ЬЬ этой кривой будет принадлежать геодезической линии данной поверхности, касающейся траектории в точке М Проведем [c.422]

Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенный через точку касания. При этом под касательной плоскостью понимают плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведенным на поверхности через данную точку. [c.32]

Если через точку М поверхности провести всевозможные кривые, проходящие по поверхности, то касательные к ним будут лежать в одной плоскости, называемой касательной плоскостью к поверхности в точке М (рис. 7.2). Перпендикуляр к касательной плоскости в точке ее касания с поверхностью называется нормалью к поверхности. [c.198]

Главная нормаль к веревочной кривой совпадает в этом случае с нормалью к поверхности (п. 57), так что составляющая F тождественна с нормальной реакцией поверхности. Кроме того, так как Fb = О, то проекция силы F на касательную плоскость, т. е. сила трения (отнесенная к единице длины), направлена по касательной к веревочной кривой и поэтому совпадает с F [c.221]

Если рассмотреть сечение поверхности плоскостью, которая проходит через касательную некоторого нормального сечения и образует с последней угол а (угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности), то кривизна нормального сечения поверхности выражается формулой [c.218]

Поясним последнее. Для этого в рассматриваемой точке кривой проведем плоскость через нормаль к поверхности и касательную к кривой. Она пересечет поверхность по плоской кривой — нормальному сечению поверхности. Для него (в указанной точке) очевидно вьшолняется условие (4.8). Таким образом, нормальная кривизна является кривизной нормального сечения поверхности. Величину Г( называют геодезическим кручением. [c.30]

В особых точках касательная плоскость или не определяется единственным образом, или не существует вообще. Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называют обыкновенными. Наконец, введем еще одно понятие — нормаль к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на построение нормалей к кривым поверхностям, по существу, сводятся к задачам на построение касательных плоскостей. [c.182]

Искривленность срединной поверхности характеризуется радиусами нормальной кривизны Лр, йор- Первая из них является радиусом плоской кривой, получающейся при пересечении срединной поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к линии а. Вторая, соответственно, является радиусом нормального сечения в направлении второй координатной линии. Введенные величины связаны с радиусом-вектором срединной поверхности и ортом нормали соотношениями [c.630]

Чтобы опустить перпендикуляр из центра О на эту касательную плоскость, можно воспользоваться правилом Евклида Обозначив через РР касательную к сфероконической кривой, опустим из точки О перпендикуляр на РР. Это будет ОР, так как РР — касательная к сфере. Через точку Р в касательной плоскости проведем перпендикуляр к РР и обозначим его через PQ. PQ — нормаль к софокусной поверхности второго порядка. Из точки О проведем перпендикуляр 0Q к этой нормали. Тогда 0Q будет нормалью к касательной плоскости. Отсюда вытекает следующее построение. [c.60]

Для простоты при описании электрических и магнитных свойств движущегося вещества будем учитывать наличие только электрических и магнитных диполей. Обозначения для объемов и ограничивающих их поверхностей те же самые, что и в гл. 2. Пусть a(t)—поверхность разрыва в области Dt, движущаяся с абсолютной скоростью V по отношению к системе отсчета Rg и имеющая единичную ориентированную нормаль п. Обозначим через сингулярную кривую на а (т. е. острую кромку, на которой касательная плоскость терпит разрыв) для простоты будем считать ее неподвижной относительно a t) [c.173]

Среди бесконечного числа различных кривых поверхностей существуют такие, которые простираются лишь в конечной и ограниченной части пространства и проекции которых имеют конечные размеры по всем направлениям поверхность шара, например, относится к этому случаю. Площадь его проекции яа плоскость была бы равна площади круга того же радиуса, что и шар, и можно себе представить, что плоскость, на которую проектируется поверхность, — достаточно большого размера, чтобы эта проекция поместилась. Все цилиндрические поверхности не ограничены в том направлении, которое определяется прямой, служащей образующей. Самая плоскость, являющаяся наиболее простой из всех поверхностей, не ограничена в двух направлениях. Наконец, существует большое количество поверхностей, различные полы которых простираются одновременно во всех областях пространства. Однако плоскости, на которых строятся проекции, обладают, по необходимости, ограниченной протяженностью. Поэтому, если бы не было другого средства, чтобы познать природу кривой поверхности, кроме двух проекций каждой из ее точек, то этот способ был бы применим только к тем точкам поверхности, которые соответствуют протяженности плоскости проекций все те точки, которые не укладывались бы в эти пределы, не могли бы быть ни заданы, ни определены таким образом, метод был бы недостаточным. Наконец, он был бы и недостаточно плодотворным, потому что мы не могли бы сделать никаких выводов о плоскостях, касательных к поверхности, о нормалях, о двух кривизнах в каждой точке поверхности, о линиях перегиба, о ребрах возврата, о кратных линиях, кратных точках, словом, о всех свойствах, которые необходимо рассматривать в отношении кривой поверхности. [c.29]

О касательных плоскостях и нормалях к кривым поверхностям [c.45]

Помимо пользы для искусства, рассмотрение касательных плоскостей и нормалей к кривым поверхностям является одним из самых плодотворных методов, которые применяются в начертательной геометрии для решения вопросов, трудно поддающихся другим способам приведем несколько таких примеров. [c.48]

Нормаль поверхности. Прямая п, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью поверхности в данной ее точке (рис. 309). Нормаль поверхности в данной ее точке можно рассматривать как линию пересечения нормальных плоскостей к двум кривым, проведенным на поверхности через данную ее точку. [c.291]

Рассмотрим систему координат на поверхности, связанную с геодезическими линиями на поверхности. Геодезической линией на поверхности называется кривая, геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Смысл определения геодезической линии заключается в том, что геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь две точки, всегда является прямой линией на поверхности и кратчайшей среди всех кривых, соединяющих эти точки на плоскости, геодезическими линиями являются прямые. Для того чтобы линия на поверхности была геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора кривизны на касательную плоскость равнялась нулю. Линия на поверхности — геодезическая, если ее главная нормаль совпадает с нормалью к поверхности или эта линия прямая. [c.46]

Пространственные кривые линии, как линии пересечения поверхностей, обычно содержат в себе иррегулярные вершины. Рассмотрим некоторые пространственные кривые линии пересечения поверхностей. Заметим, что прямую линию, касательную к кривой линии пересечения поверхностей, можно построить как линию пересечения плоскостей, касательных к поверхностям в выбранной на кривой линии точке, а положение нормальной плоскости кривой линии пересечения поверхностей в намеченной на ней точке определяется нормалями поверхностей, построенными в данной точке кривой линии. [c.356]

Если через нормаль провести плоскость, то, пересекаясь с поверхностью, она дает кривую I. Пусть У —радиус кривизны этой кривой в точке М. Если поворачивать плоскость вокруг нормали и каждый раз определять кривизну X-—IIR кривой пересечения, то окажется, что существуют такие две взаимно перпендикулярные кривые 1 п 2, кривизны которых имеют экстремальные значения по отношению ко всем другим. Направления, характеризуемые единичными векторами pi и р2. называются главными в данной точке М, соответствующие кривизны — г л а в н ы м и кривизнами поверхности. Если на поверхности провести линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направлениями, то получим так называемые линии главных кривизн. Эти линии образуют на поверхности ортогональную [c.217]

Плоскость, проходящую через центр сферы О, точку а и вектор касательной, назовем центральной плоскостью — пересечение ее со сферой образует большой круг нормаль к кривой в точке а, перпендикулярную к центральной плоскости,— центральной нормалью к кривой. Обозначим единичный вектор последней через к. Тройку полуосей, на которых лежат единичные векторы г, t и А, будем называть трехгранником радиуса-вектора г. Этот трехгранник есть не что иное, как известный сопровождающий трехгранник Дарбу пространственной кривой на поверхности. [c.137]

Графическое диференцирование. а) Касательная при заданном направлении. Проводят несколько хорд, параллельных заданному направлению, и соединяют их середины вспомогательной кривой (фиг. 93), которая встречается с заданной кривой в точке Р соприкосновения касательной. Ь) Касательная в заданной точке соприкосновения. Зеркальная линейка, боковая отражающая поверхность которой перпендикулярна к плоскости чертежа, так поворачивается, что зеркальное изображение кривой является продолжением (без заметного из.тома) заданной кривой в точке Р пря.мая пересечения плоскости зеркала и чертежа является тогда нормалью к кривой, а следовательно, перпендикуляр к ней, — касательной. Зеркало должно быть металличе- ч>иг, эз. [c.203]

Из точки т ведем в соприкасающейся плоскости перпендикуляр к ОВ. Пересечение этого перпендикуляра с плоскостью Р и даст конец вектора ускорения точки В. Для нахождения ускорения точки С находим по предыдущему проекции этого ускорения на направления ВС я АС, пусть это будут отрезки Сп и Сш (фиг. 10). Через точки пят проводим плоскости Р и Р, соответственно перпендикулярные к сторонам АС и ВС. На линии их пересечения должен лежать конец вектора J —ускорения точки С. Далее необходимо рассмотреть, какую траекторию описывает точка С на поверхности, по к-рой она перемещается. Из плана скоростей мы имеем вектор ее скорости V(J (фиг. 11), т. е. направление, касательное к ее траектории. Проводим нормаль СК к поверхности через точку С. Находим сечение этой поверхности плоскостью, содержащей и ск, и центр кривизны О этого сечения. Возможные траектории для точки С будут иметь соприкасающимися плоскостями плоскости, содержащие V какая-нибудь из этих плоскостей пересечет поверх- ность по нек-рой кривой с радиусом кривизны тем же самым, что и радиус кривизны той неплоской кривой, для которой проведенная плоскость в данный момент является соприкасающейся. Если к нормальному сечению провести плоскость под углом а, то радиус кривизны д этого сечения выразится [c.159]

Уравнения равновесия нити на гладкой поверхности в проекциях на местные оси. Пусть дуга AAi представляет собой участок нити, находящийся в рав-полесип на гладкой новерхностн. Чоре.з начальную точку А проводим осп /1т и Ап — касательную к нити и нормаль к поверхности в точке А. Отрезок АО на нормали к поверхности пусть определяет радиус кривизны R сечения поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверхности и касательную к нити. Радиус кривизны р самой кривой АЛ изображается отрезком АС главной нормали п кривой. Угол ме кду направлениями АС и АО обозначается б-(рпс. 25.4) по теореме Менье пз курса дпффереициальпой геометрии [c.437]

Пусть перед соударением точка имеет скорость v , образующую с внешной нормалью к поверхности угол падения а см. рис. 155, где О — точка, в которой происходит соударение, т — единичный вектор касательной к кривой, являющейся пересечением поверхности и плоскости, проходящей через векторы нормали п и доударной скорости v ). Масса т точки и коэффициент восстановления ае заданы. Требуется найти модуль послеударной скорости точки v , угол отражения /3 и величину I ударного импульса. [c.426]

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Через всякую обыкновенную точку М поверхности проходит бесчисленное множество регулярных кривых, принадлежащих поверхности. Касательные ко всем этим кривым в точке М лежат в одной плоскости, называемой касательной п.госкостью к поверхности и точке УИ. Прямая, проходящая через iA перпендикулярно касательной плоскости, называется нормалью к поверхности в точке М. Касательная плоскость проходит через векторы Гц и касательные к линиям соответственно v = % и ii — i в точке УИ. [c.294]

Контуром собственной тени будет кривая, по которой заданная поверхность касается лучевого цилиндра. Каждый из световых лучей, касаясь поверхности вращения в некоторой обыкновенной точке А, должен принадлежать касательной плоскости к поверхности, проходящей через эту точку. Таким образом, задачу можно свести копределению геометрического места точек, в которых данная поверхность касается плоскостей, параллельных световому лучу. Для рещения так сформулированной задачи в поверхность вращения вписывают сферы и строят проекции тех окружностей, по которым каждая сфера касается данной поверхности. Так, сфера с центром в точке С касается поверхности вращения по окружности радиуса г. Радиус вспомогательной сферы, проведенный в искомую точку касания, должен быть нормалью к касательной плоскости. Значит, фронтальная проекция радиуса с а должна составлять прямой угол с одноименной проекцией фрон-тали касательной плоскости. В нашем примере касательная плоскость должна быть параллельна фронтально расположенным световым лучам. Вот почему на рис. 484 a перпендикулярна к фронтальной проекции луча. Точка А, в которой радиус пересекает окружность касания сферы и поверхности вращения, будет при- [c.341]

Для этого построим сначала орты касательной т и главной нормали V к кривой равновесия нити АВ (плоскость //, содержащая эти орты, является соприкасающейся плоскостью). Затем построим касательную плоскость I и нормаль К—К к поверхности, а также плоскость III, проходящую через нормаль К—К и касательную т ккри- [c.147]

Напряжения в изогнутой пластинке или оболочке. Упругие усилия и моменты в изогнутой оболочке или пластинке, при значительном изгибе последней, могут быть определены тем жг приемом, которым мы пользовались в 294 для случая малой дгформации пластинки. Пусть будет кривая, проведенная на деформированной средней поверхности, V — нормаль к этой кривой, лежащая в касательной плоскости к поверхности и проведенная из точки в ту или другую сторону, выбранную определенным образом. Мы предположим, что положительное направление на кривой выбрано таким образом, что нормаль V, касательная к 5, и нормаль к поверхности, проведенная из Р в направлении, выбранном для нее за положительное, образуют правую систему. Через касательную к 5 в ЯJ проведем нормальное сечение деформированной средней к поверхности и отметим на нем плоский элемент, ограниченный нормалью к поверхности в точке и нормалью к (плоской) кривой, получающейся в сечении, в соседней ее точке P . Усилия, приложенные к этому элементу и развиваемые частью оболочки, находящейся по ту сторону от х, куда направлена нормаль V, на остальную часть, могут быть приведены к силе, приложенной в /э,, и паре. Средние значения этой силы и пары на единицу длины дуги Р Р1 получаются делением величин силы и пары на эту длину. Пределы этих средних значений суть упругое усилие и момент, отнесенные к кривой 5 в точке Р . Мы обозначим их так жг, как в 294, через Т, 5, Л/, //, О. Для того чтобы их определить, возьмем временно оси х, у, г, направленные соответственно по нормали V, касательной к кривой 5, и нормали 1 средней поверхности в точке PJ, и через Л ,,. .. обозначим компоненты напряжения относительно этих осей. Тогда, обозначая через / радиус кривизны нормального сечешя, плоскость которого проходит через-касательную к 5 в имеем [c.554]

Перпендикуляр N касательной плоскости в точке касания ее с поверхностью называется нормалью к поверхности (рис. 5). След пересечения поверхности с плоскостью, проходящей через нормаль, представляет собой плоскую кривую, лежащую в поверхности и называемую нормальным сечением (рис. 5). Плоскость, образующая нормальное сечение, может быть задана углом ф, составленным этой плоскостью с некоторым начальным лучом Яо. кЬторый лежит в касательной плоскости (рис. 5). Через точку Л поверхности можно провести бесчисленное множество нормальных сечений. Кривизна нормального сечения в точке А является функцией угла ф будем [c.14]

Если в каждой точке поверхности мржно провести плоскость, касательную к последней, то будем называть поверхность регулярной. Перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания ее с поверхностью называется нормалью к поверхности, плоскости, ттрохедящие через нормаль к поверхности, оставляют на последней следы, называемые нормальными сечениями. Таким образом, нормальные сечения на поверхности — это плоские кривые. Кривизна нормального сечения в точке касания определяется формулой (см. рис. -6) [c.42]

Рассмотрение касательных плоскостей и нормалей к кривым поверхностям очень полезно в различньис прикладных областях, а для многих из них оно является абсолютно [c.45]

Одно из условий, которым должно удовлетворять положение граней соприкосновения, состоит в том, чтобы они были перпендикулярны между собой и расположены перпендикулярна к поверхности свода. При значительном уклонении от этого условия не только были бы нарушены общепринятые законы, без которых пострадала бы сторона эстетики, но и самый свод стал бы менее прочным и менее долговечным так, если бы одна из граней соприкосновения была наклонной к поверхности свода, то один из двух смежных клинчатых камней имел бы тупой, а другой — острый угол во взаимодействии, которое оба эти клинчатые камня оказывали бы друг на друга, эти два угла обладали бы различным сопротивлением в силу хрупкости материала острый угол мог бы дать трещину, что изменило бы форму свода и сократило бы долговечность здания. Поатому разделение свода на отдельные камни требует обязательного знания свойств касательных плоскостей и нормалей к кривой поверхности свода. [c.46]

Вычислим производную от радиуса-вектора г по дуговой координате S, введенной на некоторой линии I, расположенной на поверхности So, и обозначим ее г, = dr/ds. Очевидно, что Т/ — орт касательной к этой линии, направленный в сторону роста дуговой координаты s. Если ds = = dsj = a dai, то т = е , а если ds = dsj = fl2da2. то Xi = е . Пусть выбранная линия / есть сечение поверхности So плоскостью, содержащей нормаль т. Такое сечение называется нормальным. В этом случае выбранная линия I есть плоская кривая, для которой [c.420]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...