Плоскости, касательные к кривым поверхностям

ГЛАВА плоскости, касательные к КРИВЫМ поверхностям [c.130]

Глава X. Плоскости, касательные к кривым поверхностям [c.132]

ПЛОСКОСТИ, касательные к кривым ПОВЕРХНОСТЯМ 47. Общие понятия [c.181]

Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость. [c.225]

Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности [c.231]

Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке [c.231]

Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю Укажите пример пересечения по двум прямым. [c.231]

ПЛОСКОСТИ, КАСАТЕЛЬНЫЕ К КРИВЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ 51. Общие понятия [c.199]

В различных вопросах, которые мы рассматривали о плоскостях, касательных к кривым поверхностям, мы всегда предполагали, что точка, через которую надлежит провести [c.59]

Построение касательных линий к кривым линиям двоякой кривизны, как линии пересечения двух плоскостей, касательных к кривым поверхностям, является способом, которым Монж широко пользуется как общим методом, представляющим интере с и поныне. [c.280]

Плоскость, касательная к поверхности в данной точке, содержит касательные прямые, построенные к любой из кривых линий, намеченных на кинематической поверхности и проходящих через данную точку. Из этого следует, что касательную плоскость в данной точке поверхности можно определить как плоскость, образованную касательными к двум любым линиям, построенным на поверхности и пересекающимся в заданной на поверхности точке. [c.266]

Обертывающей поверхностью семейства соприкасающихся плоскостей пространственной кривой линии является ее касательный торс, его образующие — касательные к кривой линии, которая служит ребром возврата торса. [c.338]

Пространственные кривые линии, как линии пересечения поверхностей, обычно содержат в себе иррегулярные вершины. Рассмотрим некоторые пространственные кривые линии пересечения поверхностей. Заметим, что прямую линию, касательную к кривой линии пересечения поверхностей, можно построить как линию пересечения плоскостей, касательных к поверхностям в выбранной на кривой линии точке, а положение нормальной плоскости кривой линии пересечения поверхностей в намеченной на ней точке определяется нормалями поверхностей, построенными в данной точке кривой линии. [c.356]

Нормальная плоскость в общем случае пересекает поверхность по кривой линии, а касательную плоскость — по прямой линии, которая является касательной к кривой линии сечения поверхности. [c.409]

Следовательно, положение плоскости а, касательной к поверхности в данной точке А. можно определить двумя прямыми аиЬ, каждая из которых является касательной к кривой, проведенной по поверхности через точку А. На черт. 284 прямые а и Ь — касательные к кривым f и /. [c.130]

Если же построить касательную плоскость 2 к цилиндрической поверхности вращения Ф, то она будет пересекать последнюю по кривой второго порядка I, распавшейся на две совпавшие прямые т. е. можно сказать, что ветви кривой I соприкасаются. Такая [c.133]

Плоскости 7i и 7s, параллельные Я2 и касательные к цилиндрической поверхности, укажут прямые а и 6, которые будут содержать опорные точки А, АI ч В, Bi— дальние А, А и ближние В, Bi по отношению к плоскости П2 ТОЧКИ кривой пересечения. [c.153]

Касательная составляющая, направленная по касательной к кривой пересечения плоскости, проходящей через Тп и я, с поверхностью сечения, называется касательным напряжением и обозначается через т (рис. 4). [c.34]

Понятие касательной плоскости играет весьма важную роль во всех областях геометрии. Подобно тому как касательная к кривой (плоской или пространственной) позволяет изучить форму кривой вблизи точки касания, так и касательная плоскость может быть использована для исследования формы поверхности в окрестности точки касания. При этом обнаруживается, что провести ее можно не во всякой точке поверхности. В зависимости от этого точки поверхности подразделяют на обыкновенные и особые. [c.248]

Теперь возьмем на кривой I произвольную точку М и покажем, что в этой точке данные поверхности имеют общую касательную плоскость. Для этого заметим, что в точке М обе поверхности имеют одну общую касательную прямую, которая касательна к кривой I. Легко установить, что в точке М будет еще и другая общая касательная, а следовательно, и общая касательная плоскость. [c.306]

Вообще эти кривые должны пересекаться в четырех точках. В данном случае в точке Р у них общая касательная, а потому точка Р для них двойная. Но точка М у них тоже двойная, так как если бы она не была двойной, то это означало бы, что у рассматриваемых кривых есть еще (помимо Р и М) точка пересечения N. которая принадлежит не линии пересечения I, а какой-то другой. А выше было показано, что, кроме I, других линий пересечения у поверхностей Ф и Ф2 нет. Значит, точка М тоже двойная и в ней может быть проведена общая касательная к полученным кривым. Эта касательная лежит в произвольно выбранной секущей плоскости и вместе с касательной к кривой I определяет в точке М общую касательную плоскость к поверхностям Ф2 и Ф,. [c.306]

Геометрическая интерпретация этого условия очевидна. Если, как обычно, есть угол трения (tgлиния действия силы F должна составлять с касательной к кривой с угол, не меньший, чем it/2 — <р, т. е. должна лежать вне или на поверхности конуса Г, ось которого совпадает с касательной, а половина угла при вершине равна дополнению угла трения до прямого угла (конуса прямых, проходящих через точку Р и образующих с нормальной плоскостью к кривой угол <р). [c.17]

Построим в каждой точке у триэдр, состоящий из трех взаимно перпендикулярных единичных векторов s, t, п, где п — вектор нормали срединной поверхности, s — вектор касательной к кривой у, — вектор тангенциальной нормали, т. е. вектор, лежащий в касательной плоскости к срединной поверхности и направленный так, что тройка векторов t, S, п ориентирована в пространстве так же, как тройка векторов Afj, М. , п. Тогда векторы и можно представить в виде [c.37]

Для этого в плоскости, касательной к рассматриваемой поверхности в точке М (рис. 205, 206), на касательных к нормальным сечениям по обе стороны от данной точки откладываются отрезки, равные корням квадратным из величин соответствующих радиусов кривизны этих сечений. Множество точек - концов отрезков задают кривую, называемую индикагрисой Дадпена. Алгоритм построения индикатрисы Дюпена (рис. 205) можно записать [c.141]

При пересечении поверхности плоскостью, касательной к этой поверхности в какой-либо ее точке, могут получиться две прямые с пересечением в этой точке, прямая и кривая, две кривые. Например, однополостный гиперболоид вращенвя, т. е. линейчатая поверхность с двумя прямыми образующими, может быть пересечен по двум пересекающимся прямым линиям. То же мы видим в отношении гиперболИ йского параболоида (рж . 321). [c.227]

Образование сферического эвольвентного профиля у зуба конического колеса можно представить так. Пусть имеется некоторый конус 5 (рис. 56,6), боковая поверхность которого об-- ернута листом бумаги, имеющим разрез по ОА. Берем бумагу за одну кромку по разрезу и начинаем сматывать ее с конуса в направлении, указанном стрелкой, так, чтобы она все время составляла плоскость, касательную к боковой поверхности конуса. При этом кромка бумаги опишет в пространстве эволь-вентную коническую поверхность. Но так как любая точка кривой АВ находится на одном и том же расстоянии [c.109]

Если через некоторую точку, произвольно взятую на линии пересечения (за горизонтальную проекцию этой точки примем точку Н, произвольно взятую на кривой ВСОЕ) ее вертикальную проекцию получим, проектируя Н нл /д ъ точку г), нужно провести касательную к этой линии пересечения, то очевидно, что эта касательная будет лежать в пересекающей плоскости, и ее вертикальной проекцией будет / очевидно также, что она будет лежать в вертикальной плоскости, касательной к цилиндрической поверхности, и что ее горизонтальной проекцией, которая будет одновременно проекцией касательной плоскости, будет прямая РНМ, касательная в точке Н к заданной кривой ВСОЕ. Таким образом, все определено в отношении искомой линии пересечения. [c.101]

Чтобы найти касательную в точке I горизонтальной проекции надо построить горизонтальный след Р касательной в соответствующей точке кривой пересечения поверхностей. Этот след должен находиться на пересечении следов плоскостей, касательных к обеим поверхностям в точке пересечения, соответствующей точке /. Но очевидно что если через точку С провести к кривой B DE касательную СР, мы и получим след касательной плоскости к конической поверхности. Что касается следа плоскости, касательной к шару, то мы поступим так же, как для поверхностей вращения, т. е. проведем через точку к окружности If т касательную о, продолженную до встречи с прямой LM в точке о, отложим на СЕ отрезок АО, равный [c.121]

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плоскости проекций V и наклонена к плоскости проекций Я. Поверхность детали состоит из цилиндра вращения и поверхности вращения, производящей линией которой является дуга окружности радиусом R с центром в точке /с/с. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверхности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной повмхности вращения вдоль ее параллелей. Плоскости, перпендикулярные к плоскости проекций Я и касательные к заданной поверхности, являются касательными плоскостями и вспомогательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания. [c.284]

Подвижным аксоидом является плоскость, касательная к неподвижному аксоиду-цилиндру. Горизонтальной проекцией линии сужения поверхности являегся кривая линия ас — эвольвента горизонтальной проекции направляющей линии цилиндра-ак-соида. Горизонтальные проекции положений производящей прямой линии совпадают с касательными кривой линии ас. Соответствующими построениями определены фронтальные проекции ряда положений производящей прямой линии. [c.373]

В особых точках касательная плоскость или не определяется единственным образом, или не существует вообще. Точки, в которых можно провести единственную касательную плоскость, называют обыкновенными. Наконец, введем еще одно понятие — нормаль к поверхности. Так называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания. Очевидно, что задачи на 1юстроение нормалей к кривым поверхностям можно свести к задачам на построение касательных плоскостей. [c.130]

Плоскость, касательную к поверхности, следует рассматривать как предельное положение секуи1ей плоскости (по аналогии с прямой, касательной к кривой, которая также определяется как предельное положение секутцей). [c.140]

Если рассечь поверхность выпученной мембраны плоскостями 1 ) (Xi, лга) = onst, ТО получим на ней горизонтали, которые будут соответствовать линиям Ф (xi, Х2) = onst, т. е. траекториям касательного напряжения на поперечном сечении скручиваемого бруса. Полное касательное напряжение в некоторой точке поперечного сечения направлено, как это уже отмечалось, по касательной к кривой Ф (xi, х ) = = onst, проходящей через данную точку, и на основании (7.40) и (7.89) равно [c.150]

Пусть перед соударением точка имеет скорость v , образующую с внешной нормалью к поверхности угол падения а см. рис. 155, где О — точка, в которой происходит соударение, т — единичный вектор касательной к кривой, являющейся пересечением поверхности и плоскости, проходящей через векторы нормали п и доударной скорости v ). Масса т точки и коэффициент восстановления ае заданы. Требуется найти модуль послеударной скорости точки v , угол отражения /3 и величину I ударного импульса. [c.426]

Теорема Сильвестра. Полодию для общего случая движения Пуансо можно определить, как геометрическое место точек, лежащих на нейтральной поверхности второго порядка и обладающих тем свойством, что плоскости, касательные к поверхности в различных точках этой кривой, находятся на постоянном расстоянии от центра поверхности. Поэтому на основании формул (47. 65) и (4 7.G6) на стр. 535 и 536 при обозначениях, принятых в настоящей гллве, мы можем уравнения иолодии наиисать гак [c.551]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...