Кривые сфероконические

Кривые сфероконические 124, 150 Критерий устойчивости энергетический 81, [c.543]

Момент инерции относительно нормали к софокусной поверхности второго порядка равен —А,. Если это выражение постоянно, то ОР тоже постоянно, и поэтому искомая кривая является линией пересечения этой поверхности и концентрической сферы. Такая кривая называется сфероконической. [c.58]

Чтобы опустить перпендикуляр из центра О на эту касательную плоскость, можно воспользоваться правилом Евклида Обозначив через РР касательную к сфероконической кривой, опустим из точки О перпендикуляр на РР. Это будет ОР, так как РР — касательная к сфере. Через точку Р в касательной плоскости проведем перпендикуляр к РР и обозначим его через PQ. PQ — нормаль к софокусной поверхности второго порядка. Из точки О проведем перпендикуляр 0Q к этой нормали. Тогда 0Q будет нормалью к касательной плоскости. Отсюда вытекает следующее построение. [c.60]

В самом деле, если поверхность пересекает эллипсоид по этим двум кривым, то выберем точку Р на линии кривизны, а точку Р — на сфероконической [c.60]

Ясно, что эта траектория будет сфероконической кривой, уравнения которой при произвольных начальных значениях имеют вид [c.117]

Конусы, описанные неизменяемой прямой и мгновенной осью вращения, пересекают сферу по сфероконическим кривым. Свойства таких конусов излагаются обычно в курсах стереометрии недостаточно полно. Поэтому ниже рассмотрены некоторые полезные свойства конусов. Чтобы не прерывать последовательности изложения, эти сведения помещены в конце главы. [c.123]

Из предыдущего следует, что нужно рассмотреть движение двух прямых неизменяемой прямой и мгновенной оси вращения. Первая прямая неподвижна в пространстве и при движении тела описывает в этом теле конус, который, как это следует из п. 152, пересекает гирационный эллипсоид по сфероконической кривой. Этот конус обычно называют неизменяемым. Мгновенная ось вращения описывает оба конуса — в теле и в пространстве. Из п. 143 следует, что конус, описанный в теле, пересекает эллипсоид инерции по полодии, а коиус, описанный в пространстве, пересекает неподвижную плоскость, по которой катится эллипсоид инерции, по герполодии. Этн два конуса можно соответст-пенно назвать мгновенным конусом (нли конусом полодии) и конусом герполодии. [c.123]

Обозначим через L, / и те точки, в которых соответственно неизменяемая прямая, мгновенная ось и эксцентрическая прямая пересекают эту сферу, а через Л, В, С — точки, в которых ее пересекают главные оси инерции. Ясно, что пересечения неизменяемого конуса, конуса мгновенных вращений и эксцентрического конуса с этой сферой будут сфероконическими кривыми, представленными на рис. 17 соответственно линиями КК, JJ, DD. При этом предполагается, что на сферу смотрят со стороны оси о А. Все большие круги на сфере рис. 17 представлены прямыми. Так как конусы и эллипсоид инерции имеют одни и те же [c.124]

Примеры. Пример 1. Если положить 1 — = sin Ь sin- а, то можно определить е как эксцентриситет сфероконической кривой с полуосями а к Ь. Обозначая через ene эксцентриситеты сфероконических кривых, соответствующих неизменяемому и эксцентрическому конусам, доказать, что [c.125]

Предполагая, что все Wi, >2, (О3 — положительные величины, получим, что прямая 01 проходит через первый октант, а тело поворачивается вокруг 01 в направлепии АВС (см. рис. 17). Так как прямая 0L неподвижна в пространстве, то она движется в теле в направлении, противоположном его вращению. Тогда, так как точки L п А лежат по одну сторону сфероконической кривой JJ (как в случае, когда Л > S > С), точка L движется в теле вдоль своей сфероконической кривой в направлении КК. Если же точки L и Л лежат по разные стороны сфероконической кривой JJ, то точка L движется в противоположном направлении (см. также п. 150). [c.126]

Обозначим через v скорость неизменяемой прямой вдоль своей сфероконической кривой. Тогда, так как тело вращается около оси 01 с угловой скоростью 0) и отрезок 0L равен единице, получим, что [c.126]

Комбинируя этот результат с результатом п. 164, получим, что скорость точки L вдоль своей сфероконической кривой равна [c.127]

Примеры. Пример 1. Если фокальные прямые неизменяемого конуса пересекают сферу в точках S н 5, то этн точки называются фокусами сфероконической кривой. [c.127]

Пример 4. Показать, что скорость движения мгновенной оси вран ения по ее сфероконической кривой равна [c.128]

Пример 5. Показать, что скорость движения эксцентрической прямой по своей сфероконической кривой равна [c.128]

Пример 7. Показать, что движение точки L по ее сфероконической кривой совпадает с движением точки, катящейся под действием двух сил. Эти силы [c.128]

Но для произвольной сфероконической кривой tg Р = tg n/tg /, [c.130]

В связи с теоремами п. 157 полезно установить некоторые свойства сфероконической кривой. Представим эту кривую линией DED E (рис. 23). Как и прежде, считаем, что на рисунок смотрят из точки, расположенной иа [c.150]

Пример 1. Если равномоментная поверхность пересекается с поверхностью второго порядка, софокусной гирационному эллипсоиду для центра тяжести, то линиями пересечения будут сфероконическая кривая и линия кривизны. Но если поверхность второго порядка будет эллипсоидом, обе эти линии не могут быть действительными. [c.60]

Можно показать, что эти сфероконические кривые замкнуты и окружают точки эллипсоида, являющиеся концами его большего и малого диаметров. В случае, когда GVT = В, где В — средний момент ииерции, сфероконическая кривая распадается на две окружности (центральные круговые сечения гирационного эллипсоида). [c.118]

Чтобы найтн постоянные р и р, заметим, что р является значением у полученным из уравнения сфероконической кривой при г= 0. Таким образом [c.120]

Этот конус имеет те же круговые сечеиия, что и эллипсоид ииерции, и пере секает этот эллипсоид по сфероконической кривой. [c.124]

Сфероконические кривые. Опип1ем сферу единичного радиуса с центром в неподвижной точке О твердого тела. Пусть эта сфера неподвижна в теле и поэтому движется вместе с ним в пространстве. [c.124]

Если положить 2—0 в уравнении любого из этих трех конусов, то значение у х будет рупно тангенсу угла между радиусом-вектором точки пересечения сфероконической кривой с плоскостью ху и осью X. Аналогично, полагая у —О, найдем соответствующую прямую в плоскости хг. [c.125]

Первый из полученных двух рядов равенств позволяет определить эти полуоси в плоскости АОВ, второй — в плоскости АОС. Если < ВТ, то в первом ряду появляется мнимое число. В этом случае сфероконическая кривая не пересекает плоскость АОВ. Поэтому вогнутость сфероконических кривых направлена к концам осей ОА или ОС, т. е. к концам осей наибольп его или наименьшего момента инерции в зависимости от того, будет больше нли меньше ВТ. Так как igb/igb = IA, то неизменяемый коцус и ось наибольшего момента инерции всегда находятся или внутри конуса мгновенных вращений, или вне его. [c.125]

Так как неизменяемая прямая 01 неподвижна в пространстве, а тело поворачивается вокруг прямой 01, как вокруг мгнопеи-ной оси, то очевидно, что направление движения прямой 0L в теле перпендикулярно к плоскости IOL. Следовательно, па сфере с центром в точке О дуга IL перпендикулярна к сфероконической кривой, описываемой неизменяемой прямой. Это простое условие служит для связи между движениями неизменяемой прямой н мгновенной оси вдоль их сфероконических кривых. [c.126]

Продолжим дугу /L до ее пересечения в точке N с осью Л Л. Тогда прямая LN будет перпендикулярна к сфероконической кривой, описанной неизменяемой прямой. Пусть оси коордииат направлены но главным осям инерции тела относительно иенодвижной точки О. Тогда направляющие косинусы прямых 0L и 01 пропорциональны величинам Лы1, йсо , ug и ui, Ша, Ыд соответственно. Уравнение плоскости LOI [c.126]

На языке сферической тригонометрии величина п равна длине дуги, нормальной к сфероконической кривой и лежащей между этой кривой и главной плоскостью ннерцни АВ тела, [c.127]

Сравнивая эти результаты с соответствующей формулой для скорости движения точки L, приведенной в п. 165, видим, что для каждого утверждения, относящегося к движению точки L по ее сфероконической кривой, имеется соот-ветству1он ее утверждение, относящееся к движению точки I. Например, обозначая через S фокус сфероконической кривой, образованной пересечением сферы с конусом. мгновенных вращений, вндим на основании результатов примера 1, что проекция скорости точки / на перпендикуляр к дуге S I равна постоянному коэффициенту, умноженному на os LI. Этот постоянный коэффициент равен коэффициенту примера 1, умноженному на G iTAB. [c.128]

Опишем единичную сферу с центром в точке О и свяжем ее с телом (рис. 18). Предположим, что неизменяемая прямая и мгновенная ось пересекают эту сферу в точках L, / в момент времени /ив точках L, Г в момент времени t + dt. Тогда прямые ) IL, IL, будут последовательными перпендикулярами к сфероконической кривой КК, описываемой неизменяемой прямой, и поэтому будут перескаться в некоторой точке Р, которую можно рассматривать как центр кривизны этой сфероконической кривой. Обозначим р PL. Тогда проекция скорости точки I на перпендикуляр к прямой IL будет равиа скорости точки L, умноженной на sin (р + р. На основании резуль- [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...