Нормальная форма системы Гамильтона

Нормальная форма системы Гамильтона [c.268]

Уу (/ = 1,. .., л), приводящее систему (2. 92) к нормальной форме. Нормальной формой системы уравнений (2.92) будем называть такую систему дифференциальных уравнений, которой соответствует функция Гамильтона, равная алгебраической сумме гамильтонианов п линейных, не связанных между собой осцилляторов [c.125]

Как и в случае, когда в системе (2.92) матрица G t) постоянна, нормальной формой системы (2,92) будем называть такую систему уравнений с постоянными коэффициентами, которой соответствует функция Гамильтона вида (2.93). [c.129]

Если система (1) автономна, то сформулированные утверждения о неустойчивости остаются в силе надо только в резонансном соотношении (3) и нормальной форме функции Гамильтона положить ТУ = 0. Если п = 1 и система неавтономна или она автономна и п = 2, то при выполнении неравенства (16) с обратным знаком имеет место устойчивость по Ляпунову. [c.122]

Для практического применения полученных результатов нужно иметь эффективные способы нахождения нормальной формы функции Гамильтона. Нахождение нормальной формы в неавтономном случае особенно затруднено. Если, например, воспользоваться классическим преобразованием Биркгофа, то для нахождения соответствующей производящей функции придется строить периодические решения некоторой системы дифференциальных уравнений. Необходимые при этом вычисления весьма громоздки. [c.12]

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Необходимо здесь отметить, что формулировка законов механики в форме принципа Гамильтона имеет и то значение, что он позволяет установить, как нужно описывать немеханические системы с той же математической строгостью, которая характерна для классической механики. Принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Здесь интересно отметить, что есть закон, который во многом аналогичен принципу Гамильтона и который имеет очень общий характер. Этот закон часто служит физику трамплином для перепрыгивания провалов в экспериментальных данных. Он гласит, что всякая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Такое состояние, вообще говоря, будет равновесным, хотя и не обязательно. Это — важный эвристический метод физики. Например, в теории Бора мы говорим, что электрон спонтанно переходит из возбужденного в нормальное состояние, так как он стремится к состоянию с минимумом энергии. Впрочем, аналогичную формулировку можно дать и второму началу термодинамики, особенно в его вероятностной трактовке. Важен следующий факт если задано исходное состояние физической системы и ее энергетический баланс, то можно указать, в общем, направление, в котором будет происходить изменение состояния системы. Таким образом, этот, по сути дела, вариационный принцип минимума потенциальной энергии лежит в основе исследования задач устойчивого равно- [c.865]

Приведение выражения второго порядка гамильтониана Ih к нормальной форме (эта форма, как мы видели, различна в зависимости от того, имеет место или отсутствует резонанс частот линеаризованной системы), конечно, не всегда решает вопрос об [c.232]

Уравнение Гамильтона в нормальной форме всегда допускает понижение порядка, поскольку решения вырожденной системы являются группой симметрий для возмущенной части системы (см. 51). [c.313]

При отсутствии резонансов (7.5) в гамильтоновой системе нет резонансов (7.4) порядка 3 и 4 (когда /г = к = 3 или А = 4). Поэтому, согласно классическому результату Биркгофа, вблизи точки р функция Гамильтона приводится к нормальной форме [c.300]

Пусть А1,...,Л2п — собственные значения линеаризованной канонической системы с гамильтонианом Яг. Можно считать, что Хп+к = —Хк (1 < /г < п). Рассмотрим случай, когда числа Ах,..., Л чисто мнимы и независимы над полем рациональных чисел, т. е. сумма тхАх -Ь. .. -Ь гтг А с целыми тп равна нулю только если все т,- — нули. При этом предположении Биркгоф нашел формальное каноническое преобразование, приводящее систему (1.1) к нормальной форме. В частности, уравнения Гамильтона (1.1) имеют п интегралов в виде формальных степенных рядов по х,у, попарно находящихся в инволюции (см. 11 гл. II). [c.309]

А. Нормальная форма консервативной системы вблизи положения равновесия. Предположим, что в линейном приближении положение равновесия гамильтоновой системы с п степенями свободы устойчиво, и что все п собственных частот (О1,. . ., различны. Тогда квадратичная часть гамильтониана приводится [c.352]

В. Нормальные формы уравнения с периодическими коэффициентами вблизи положений равновесия. Пусть р = q = О — положение равновесия системы с функцией Гамильтона, зависящей 2я-периодически от времени. Предположим, что линеаризованное уравнение приведено линейным симплектическим периодическим по времени преобразованием к автономной нормальной форме с собственными частотами o . [c.355]

Наконец, пусть дана замкнутая траектория автономной системы уравнений Гамильтона. Тогда мы можем приводить систему в окрестности этой траектории к нормальной форме, пользуясь любым из следующих двух приемов [c.355]

Если пренебречь нелинейными членами в уравнениях Гамильтона и пренебречь расстройкой частоты е, то все траектории нашей системы замыкаются, сделав три оборота (т. е. имеют период 6л). Мы хотим теперь исследовать влияние нелинейных членов и расстройки частоты на поведение траекторий. Ясно, что все траектории в общем случае замыкаться не будут. Чтобы исследовать, как они себя ведут, полезно рассмотреть нормальную форму. [c.357]

Ряды Биркгофа (которые получатся если не ограничиваться нормализацией нескольких первых членов ряда Тейлора функции Гамильтона, а идти до бесконечности) — один из примеров формально состоятельной, но на самом деле расходящейся схемы теории возмущений. Если бы эти ряды сходились, то общая колебательная система с одной степенью свободы с периодическими коэффициентами приводилась бы вблизи положения равновесия к автономной нормальной форме и в ней не было бы расщепления сепаратрис (а на самом деле оно есть). [c.363]

Теорема 10. (Биркгоф [22]). Предположим, что собственные частоты (о< 2л-периодической системы (15) не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка /. и меньше. Тогда симплектической 2я-периодической по времени заменой переменных функция Гамильтона приводится к такой же нормальной форме Биркгофа степени как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены степени -Ы и выше будут 2л-периодически зависеть от времени. [c.283]

После применения преобразования (5.3) система уравнений (5.4) приобретает нормальную форму с функцией Гамильтона (2.1). Постоянную матрицу А в формуле (5.2) подберем так, чтобы преобразование (5.1) было вещественным, унивалентным, каноническим 2л-периодическим по t. [c.40]

При исследовании функции Гамильтона с помощью канонической замены переменных, носящей название преобразования Биркгофа [7], будет приводиться в окрестности начала координат к некоторому простейшему виду (к нормальной форме) и в зависимости от соотношений между коэффициентами нормальной формы будут сделаны выводы об устойчив ости или неустойчивости положения равновесия. Рассмотрим преобразование Биркгофа подробно, предполагая, что изучаемая динамическая система имеет п степеней свободы. Итак, пусть изучается каноническая система дифференциальных уравнений [c.52]

Одим из основных технических приемов при исследовании системы (1) является разработанный егце в 1879 г. метод нормальных форм Пуанкаре [14], который в последние десятилетия нашел широкое применение в разнообразных нелинейных задачах [15]. Сугцность метода нормальных форм Пуанкаре в задаче об устойчивости системы (1) состоит в том, что при помогци близкого к тождественному канонического преобразования qj,Pj функция Гамильтона (2) приводится к некоторой простейшей (нормальной) форме. Соответствуюгцая ей каноническая система дифференциальных уравнений сугцественно упрогцается, что значительно облегчает ее исследование. Нормальная форма функции Гамильтона будет различной в резонансном и нерезонансном случаях. [c.115]

По коэффициентам нормальной формы функции Гамильтона, на основании соответствуюгцих теорем, полученных к настоягцему времени для резонансных и нерезонансных случаев, можно сделать те или иные выводы об устойчивости системы (1). [c.116]

Широкое распространение в теории канонических систем получил метод нормализации гамильтониана в окрестности равно-ise Horo решения (положения равновесия), который, в сущности, является специальным методом замены переменных. Впервые вопросы нормализации гамильтоновых систем были подробно исследованы Биркгофом [161, 162]. К первоначальной канонической системе применяется такая каноническая замена переменных, чтобы в новых обобщенных координатах и импульсах функция Гамильтона имела наиболее простой вид, который и принято иа- 1ывать нормальной формой гамильтониана возмущенного движения. [c.195]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Аналог теоремы 4 для гамильтоновых систем, зависящих от параметра, указан в [74]. В работе [142] рассмотрена задача о приводимости к нормальной форме Биркгофа гамильтоновых систем с параметром, допускающих интегралы с вырожденными квадратичными частями. Пусть г = 2 и коэффициенты ьаг в квадратичной форме гамильтониана (11.1) как функции е удовлетворяют условию ГП]а1 + гпгаг О для всех целых т, т2, не равных одновременно нулю. В [142] доказано, что если гамильтонова система допускает формальный интеграл Г = Гд + Гд+ +. .. д 2), аналитический по е, причем однородные формы Гд и Яг функционально независимы при всех е, то существует нормализующее преобразование Биркгофа, аналитически зависящее от е. [c.130]

Дальнейшая нелинейная нормализация может быть осугцествлена либо при помогци классического преобразования Биркгофа [21], либо при помогци сравнительно нового метода Депри-Хори или его модификаций [22]. Для неавтономной системы оказался эффективным [17 метод точечных отображений, основанный на приближенном решении уравнения Гамильтона-Якоби вблизи точки qj = Pj =0. Нелинейная нормализация последовательно упрогцает (или даже уничтожает совсем) члены третьей, четвертой и т. д. степеней в разложении (2). При этом нормальная форма членов степени в преобразованной функции Гамильтона будет зависеть от наличия или отсутствия резонансов (3) до порядка включительно. [c.116]

Если в системе (1) функция Гамильтона будет условно-периодичес-кой по t, то задача об устойчивости станет крайне сложной. Это связано с тем, что применение метода нормальных форм требует анализа устойчивости и нормализации линеаризованной системы (1), которая будет иметь условно-периодические коэффициенты, а аналога теоремы Флоке-Ляпунова о приводимости систем с периодическими коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами для условнопериодических систем нет. [c.124]

Теорема. Предположим, что собственные частоты щ не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка 8 и меньше. Тогда существует такая каноническая система координат в окрестности положения равноеесия, что в ней функция Гамильтона приводится к нормальной форме Биркгофа степени 8 с точностью до членов степени + 1 . [c.353]

При кратных собственных числах в типичном случае матрица линейной гамильтоновой системы имеет две жордановы клетки второго порядка (см. п. 2.3). При собственных числах, близких к кратным, квадратичная часть гамильтониана приводится к виду ( 1Ь) из (5). Согласно [117], в этом случае члены гамильтониана до 4-го порядка включительно можно привести к следующему виду, также называемому нормальной формой [c.278]

Хотя, вообще говоря, ряды для преобразования в нормальную форму расходятся, их все же можно применять для исследования решений системы Гамильтона (1) вблизи равновесного решения. Если положить сг = ( , то в соответствии с первым уравнением (7) капопическое нреоб-разовапие w = = а +. .. будет иметь только действительные [c.274]

Если преобразование системы Гамильтона (2) в нормальную форму (4) производится сходящимся стснсппым рядом, то [c.277]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...