Задачи с потенциалом в виде двойной ямы

Интегральные уравнения граничных задач. Теоремы существования и единственности. Рассмотрим первую и вторую основные граничные задачи с постановкой этих задач мы познакомились в 2 гл. II. Правда, здесь речь идет уже о построении решения системы уравнений (8.4). Разыскивая решение первой задачи в виде потенциала двойного слоя первого рода, а решение второй — в виде потенциала простого слоя первого рода, получим на основании [c.265]

Введенные выше потенциалы позволяют решение основных краевых задач теории упругости свести к интегральным уравнениям второго рода. Начнем с первой основной задачи. Пусть для упругого тела, занимающего область D, ограниченную поверхностью S, требуется определить смещения, предельные значения которых будут принимать заданные значения iF (< ) (см. (1.1) гл. III). Будем разыскивать смещения в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя (1.8). Тогда в соответствии с формулой (1.21) приходим к интегральным уравнениям [c.557]

Уравнения (2.5) тождественны уравнениям задачи I, полученным, исходя из представлений смещений, в виде потенциала двойного слоя, отличаясь от них, разумеется, физическим смыслом для искомой функции и значениями правой части. [c.558]

Перейдем теперь к рассмотрению задачи 1 . Здесь использование представления смещений в виде потенциала двойного слоя сразу приводит к ограничению на поведение решения в бесконечности ( и(р) ] < с/Д ), хотя по постановке задачи такое ограничение и не требуется. Поэтому уравнение (2.2) может оказаться и неразрешимым. Заметим, что само установление этого факта представляет собой достаточно сложную задачу, поскольку необходимо определить собственные функции союзного уравнения. [c.561]

Установленное несоответствие между разрешимостью интегрального уравнения и разрешимостью краевой задачи следует трактовать как дефект использованного представления для смещений в виде потенциала двойного слоя. Этот потенциал убывает на бесконечности как 1/Л в то время как по постановке задачи смещения должны иметь порядок 1// . [c.564]

Однородное интегральное уравнение, союзное к (2.24), представляет собой уравнение, которое можно получить, если пытаться построить решение первой основной задачи для областей Dt, 02, Оз, . .., От в виде обобщенного упругого потенциала двойного слоя, распределенного на всех поверхностях ). Поскольку краевые условия однородны, то все смещения в дополнительных областях будут равны нулю, а следовательно, будут равны нулю и напряжения. Из непрерывности же вектора напряжений на границе будет вытекать, что во всей области О напряжения равны нулю, что приводит к смещениям тела как жесткого целого. Поскольку же нетривиальное решение при однородных условиях существует, то в общем случае уравнение [c.567]

Решение первой основной задачи теории упругости будем искать в виде потенциала двойного слоя. Тогда, учитывая граничное условие (14.2), получим относительно неизвестной функции ф(р) интегральное уравнение [c.102]

Особенно интересны предельные случаи р = оо (твердая неподвижная сфера) и р = 0 последний соответствует электрическому проводнику в однородном поле. Вообще условия (11.17а) и (11.176) определяют краевую задачу теории потенциала, возникшую впервые в теории магнитной поляризации (магнитной индукции) Пуассона, в теории электростатической индукции Фарадея, в теории электро- и теплопроводности и в теории фильтрации 8). Легко видеть, что обобщенный поляризационный потенциал А — определен во всем пространстве, регулярен на бесконечности и является гармонической функцией всюду, кроме 5, где дА/дп = дА /дп. Следовательно, он представляет собой [42, стр. 286] потенциал двойного слоя плотности ф(у) на 5. Далее, если имеем Х,= (р — р )/(р+рО. то Ф(у) является решением интегрального уравнения типа Фредгольма [c.317]

Решение первой внутренней (внешней) граничной задачи — (О" " ((I)") ищем в виде потенциала двойного слоя [c.251]

Доказательство. Мы уже знаем (см. теорему VI, 5.2), что //бС - (5) первая внутренняя задача имеет единственное решение, которое представляется в виде потенциала двойного слоя [c.277]

Решение первой краевой задачи, когда на Л задан вектор перемещения u(yo) = f(yo), мы представим в виде потенциала двойного слоя, используя формулу (16). Получим следующую систему интегральных уравнений [c.617]

Решение первой внутренней задачи достаточно искать в виде потенциала двойного слоя первого рода, чтобы на основании теоремы 2 1 для неизвестной плотности (дго) иметь интегральное уравнение [c.55]

Решение первой внешней задачи, подобно первой внутренней, также ищется в виде потенциала двойного слоя первого рода, и тогда для неизвестной плотности имеем на основании теоремы 2 1 интегральное уравнение [c.56]

Из теоремы 7 гл. III, 4 вытекает, что вектор 21 (дг) является единственным решением статической однородной задачи (Г ). Он называется вектором жесткого смещения. Вектор 21 (х) может быть представлен в виде потенциала двойного слоя. Так как 21 (дг) есть регулярное в , решение уравнения Д й = 0, то по формуле (1.60) можем записать [c.168]

Теорема 6. Статическая неоднородная задача (Dj разрешима для любого вектора f x) класса Н, причем решение выражается в виде потенциала двойного слоя или в виде его комбинации с потенциалами простого слоя. [c.173]

Докажем теорему 13. Для этого рассмотрим отдельно случаи, когда а) о)2 не является собственной частотой задачи (Г ) и б) о)2 есть собственная частота задачи (Г ). В случае а) согласно теореме 11 однородное интегральное уравнение (Д ) имеет только тривиальное решение и, следовательно, по первой теореме Фредгольма неоднородное уравнение (О имеет, и притом единственное, решение, которое и является решением задачи (В . Однородная задача (Да) по теореме единственности имеет лишь нулевое решение, и, следовательно, решение неоднородной задачи (В выражается единственным образом в виде потенциала двойного слоя (первого рода). В случае б) согласно той же теореме 11 неоднородное уравнение (О ) разрешимо только ПJ)И выполнении условий [c.199]

Сейчас мы подошли к некоторым техническим трудностям. Для того, чтобы применить т орему единственности 2.2, мы должны показать, что имеет непрерывную нормальную производную на 5. Рассуждаем следующим образом. Пусть (р, 5 ) х1 В) есть решение (6.9), (6.10) при / = 0. Как и в задаче Неймана, видим, что р и V - решения интегральных уравнений и поэтому они непрерывны более того они непрерывны по Гельдеру (см. аналогичное доказательство у Келлога [1], стр. 300) и непрерывно дифференцируемы по Гельдеру (см. Вернер [ 2 ], конец стр. 50). Отсюда следует, что потенциал двойного слоя 41 принадлежит классу С с каждой стороны 5 (см. Вернер [2], лемма 7, стр. 36) и [c.379]

Решение этих задач будем представлять в виде потенциалов простого и двойного слоев, выбирая их таким образом, чтобы в результате прийти к интегральным уравнениям второго рода. Решение задачи Дирихле будем искать в виде потенциала двойного слоя (6.22). Осуществляя (согласно (6.27)) предельный переход к точкам поверхности, приходим к уравнениям [c.99]

Уравнение задачи О также оказывается разрешимым при выполнении тоже одного условия, но здесь собственную функцию надо еще напти, а поэтому фактическая проверка разрешимости уравнения затруднительна. Тем более, что, как правило, это условие не будет выполняться, поскольку в отличие от задачи здесь нет каких-либо ограничений на краевое условие, нарушение которых делает задачу неразрешимой. Заметим, что представление решения задачи О в виде потенциала двойного слоя приводит автоматически к тому, что искомая гармоническая функция будет убывать на бесконечности как I/R , что не требуется по постановке задачи. [c.102]

Если обратиться к классической теории потенциала, то сингулярные интегральные уравнения, полученные для решения как первой основной задачи, так и для второй, представляют собой интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Разница заключается в том, что для решения первой основной задачи исходят из представления в виде потенциала двойного слоя, а для решения второй основной задачи следует воспользоваться представлением смещений в виде обобщенного потенциала простого слоя. Разумеется, отличие также состоит в физическом смысле искомых функций и значениях правых частей. Для этих сингулярных уравнений индекс (разность между числом собственных функций исходного уравнения и союзного к нему) оказывается равным нулю [152]. Следовательно [153J, будет существовать оператор, который преобразует их в эквивалентные регулярные уравнения второго рода, и поэтому к исходным уравнениям применимы альтернативы Фредгольма. При этом поверхность тела может быть представлена набором кусочно-однородных поверхностей, подчиняющихся условиям Ляпунова, а плотность сингулярного интегрального уравнения должна удовлетворять условию Гельдера — Липшица вместе со своей производной [153] [c.55]

Введенные выше потенциалы простого слоя, двойного слоя и их производные, как показано в 1, удовлетворяют тождественно дифференциальным уравнениям теории упругости внутри тела при отсутствии объемных сил. Частное решение, соответствующее действию объемных сил, выражается объемным потенциалом с плотностью, равной объемной силе. В связи с этим решение тон или иной краевой задачи теории упругости можно попытаться искать в виде суммы одного или нескольких граничных потенциалов и объемного потенциала. Плотности граничных потенциалов должны содержать достаточно неизвестных, чтобы можно было удовлетворить граничные условия. Для нахождения этих неизвестных строятся интегральные уравнения на границе тела —граничные интегральные уравнения (ГИУ). Если при заданных краевых условиях доказано существование решения построенного интегрального уравнения, то тем самым обоснована использованная формула представления решения. Вопрос обоснования формулы представления решения не возникает, если в качестве ее используется формула Сомильяны, справедливая дл любого регулярного, т. е. принадлежащего классу ( (Q) n (Q)) , поля перемещений, а также для более общих классов перемещений, для которых имеет место формула Бетти. Поскольку плотности потенциалов простого и двойного слоя, входящих в формулу Сомильяны, имеют прямой физический смысл, то соответствующую формулировку метода граничных элементов (МГЭ) называют прямой формулировкой МГЭ. В противоположность этому формулировку МГЭ, использующую другие формулы представления, называют непрямой формулировкой МГЭ. [c.62]

Решение задачи типа Дирихле ищется в виде обобщенного потенциала двойного слоя, а задачи типа Неймана — в виде потенциала простого слоя. Из граничных условий получаются ИУ второго рода по границе области относительно неизвестных плотностей потенциалов. [c.186]

С. В. Фалькович (1947) для решения задачи обтекания крыла воспользовался потенциалом ускорения. При этом потенциал ускорения представляется в виде потенциала двойного слоя, расположенного на плоскости проекции крыла. Таким методом задачу трехмерного обтекания крыла впервые решал Г. Шлихтинг (Luftfahrt-Fors hung, 1936, 13 10, 320-335) для частного случая прямоугольного крыла однако из-за ошибки в выкладках были получены неправильные окончательные формулы. С. В. Фаль кович дал правильное решение для крыла трапециевидной формы. [c.158]

Потенциал скорости обтекания тела с вихревой пеленой может быть представлен в виде суммы регулярной во внешности тела гармонической функции и формального потенциала двойного слоя — в виде соответствующего интеграла по поверхности пелены (формальность состоит в незамк-нутости этой поверхности и,возможно, в ее негладкости, проявляющейся в спиралевидно-коническом скручивании края). Строгое исследование задачи подразумевает установление максимально широкого класса поверхностей, для которых интеграл по поверхности вихревой пелены обладает обычными свойствами потенциала двойного слоя, а также возможность определения формы этой поверхности, исходя из полной системы граничных условий задачи обтекания и условия Жуковского-Чаплыгина. Кроме того, по-видимому, должно выполняться дополнительное условие, что при непрерывной деформации тела в бесконечный цилиндр составляющая потенциала скорости, соответствующая вихревой пелене, должна непрерывно преобразовываться в непрерывную ветвь ar tg в, где в — полярный угол. [c.171]

В плоской задаче можно, однако, избежать использования сиа-гулярных уравнений. В самом деле, если решение первой задачи ищется в виде потенциала двойного слоя второго рода, а решение второй — в виде потенциала простого слоя второго рода, то на основании теорем 2 и- 3 3 получим интегральные уравнения [c.267]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...