Доказательство теоремы Биркгофа

В настоящей главе будет дано вариационное доказательство теоремы Биркгофа о существовании периодических траекторий биллиарда в следующей уточненной формулировке. [c.58]

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ БИРКГОФА [c.59]

Доказательство можно найти в [130]. При Г = 0 эта теорема совпадает с теоремой Биркгофа. [c.128]

Доказательство теоремы 1 основано на методе работы [81] (см. п. 1 2). Оно использует тот факт, что в каждом классе свободно гомотопных путей на М имеется неустойчивая замкнутая геодезическая. Существование замкнутых геодезических (без анализа устойчивости) на многообразиях с выпуклой границей было отмечено в классических работах Уиттекера [163] и Биркгофа [18]. Вместо группы гомологий, примененной для доказательства неинтегрируемости в случае пустого дМ, здесь используются Другие топологические инварианты [25]. [c.142]

Этот результат формально не вытекает из теоремы 1, поскольку мы не предполагаем аналитичности поля и по координатам 91,92- Доказательство теоремы 2 основано на методе Биркгофа (см. п. 2 2). [c.154]

Еще один метод доказательства неинтегрируемости гамильтоновых систем основан на оценках снизу коэффициентов степенных рядов для формальных интегралов, существующих по теореме Биркгофа (см. 11 гл. II). Причиной расходимости здесь снова оказываются аномально малые знаменатели — почти резонансные соотношения между частотами малых колебаний в окрестности положений равновесия. [c.309]

Дело в том, что рассуждение, с помощью которого Пуанкаре пришел к своей теореме, применимо в целом ряде других случаев. Однако хитроумное доказательство, данное Биркгофом, плохо поддается обобщению. Поэтому неизвестно, правильны ли выводы, которые подсказывает рассуждение Пуанкаре, за пределами теоремы о двумерном кольце. Рассуждение, о котором идет речь, состоит в следующем. [c.385]

Примером применения методики Пуанкаре к системе с большим чем 2 числом степеней свободы является теорема Биркгофа о существовании бесконечного числа периодических решений, близких к данному линейно-устойчивому периодическому решению общего вида (или о существовании бесконечного числа периодических точек в окрестности неподвижной точки линейно-устойчивого невырожденного симплектического отображения пространства на себя). Доказательства заключаются в том, что сначала отображение аппроксимируется своей нормальной формой, а потом используется связь между неподвижными точками отображения и критическими точками производящей функции. [c.391]

Пуанкаре принадлежит первый вариант знаменитой теоремы [96], [97] о неподвижной точке, однако в приложениях получила большее распространение другая формулировка теоремы о неподвижной точке, принадлежащая Дж. Биркгофу [98], [99]. Зигель дал новое доказательство [6] теоремы Биркгофа,. сопровождаемое более точными необходимыми оценками для отображаемых областей и для постоянных. [c.798]

Доказательство. Применяя эргодическую теореме Биркгофа 4.1.2 к log С(а ) для почти каждого х еХ, получаем [c.659]

Особое место в книге занимают вопросы существования и устойчивости периодических траекторий упругих биллиардов. Дано вариационное доказательство известной теоремы Биркгофа об [c.4]

Существование двух периодических траекторий установлено Биркгофом с помощью последней теоремы Пуанкаре всякое отображение двумерного кольца на себя, сохраняющее площадь и вращающее границы кольца в противоположных направлениях, имеет не менее двух геометрически различных неподвижных точек [67]. Эта теорема была высказана Пуанкаре. Ее доказательство дано Биркгофом (см. [42]). Ниже приводится вариационное доказательство теоремы 1 из работы [34]. [c.58]

Доказательств,о. Зафиксируем п я к. Для любого биллиарда из и А,а по теореме Биркгофа существует периодическая траектория типа (п, к). Построим новую кривую, принадлежащую ил,а, которая как угодно мало отличается от исходной (в смысле метрики пространства и а,а), причем соответствующий биллиард имеет невырожденное периодическое решение того же типа. [c.123]

Таким образом, неинтегрируемые системы всюду плотны в Ж В частности, всюду плотны гамильтоновы системы, для которых расходится преобразование Биркгофа. Идея доказательства теоремы состоит в следующем. Пусть [c.254]

По-видимому, точки и йи, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме сходится, образуют в подмножество первой категории. Доказательство теоремы 16 содержится в работе (13). [c.256]

Доказательство этой теоремы, опубликованной Пуанкаре незадолго до его смерти, было дано лишь позже Дж. Д. Биркгофом, см. его книгу Динамические системы (М. Гостехиздат, 1941). [c.385]

Книга Биркгофа Динамические системы подводит итоги исследованиям автора в области динамики, выполненным до 1927 года. В этой области Биркгоф является основоположником новых точек зрения, новых методов исследования и автором целого ряда важных результатов. Здесь достаточно указать па его замечательное доказательство последней геометрической теоремы Пуанкаре о неподвижных точках при преобразовании плоского кольца, на применение им этой теоремы к теории периодических движений систем с двумя степенями свободы, на его теории центральных и рекуррентных движений. Все это в настоящее время входит в тот минимум знаний, которым должен обладать всякий желающий специализироваться в области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений или в области теоретической механики. Перевод книги Биркгофа, предлагаемый вниманию читателя, является поэтому насущной потребностью. [c.11]

Теоремы А. Пуанкаре и Дж. Биркгофа о неподвижной точке применялись Биркгофом [100], Зигелем [6] и Ю. Мозером [30] для доказательства существования новых семейств (отличных от решений первого сорта Пуанкаре) почти-круговых решений ограниченной круговой задачи трех тел. [c.798]

Элементарное доказательство этой теоремы приводится у Дж. Д. Биркгофа [11 оно сопряжено с длинными вычислениями. [c.231]

К такому результату, непосредственно не вытекающему пз содержания самой эргодической теоремы, можно прийти после внимательного анализа доказательства Биркгофа, если учесть свойства непрерывности групп преобразований х (которые всегда гарантируются благодаря условиям, налагаемым на правые части исходных дифференциальных уравнений) ). [c.114]

Если у области возможных движений есть края, то периодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов вращения и либрации. В этой ситуации результаты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденнос-ти метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г. Зейферту [90], доказавшему существование либраций в случае, когда область возможных движений диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] доказано существование либрационных решений для случая, когда область возможных движений диффеоморфна N х [О, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказательства существования либраций в работах [58, 90] имеют некоторые общие моменты. Доказательство теоремы о либрациях, проведенное в этой главе, отличается от первоначального [58]. [c.147]

Для случая движения по инерции (V = 0) В. П. Колокольцов нашел другое доказательство теоремы 1, основанное на введении в М комплексно-аналитической структуры [И2]. В идейном отношении оно восходит к Дж. Биркгофу [18, гл. П]. [c.139]

Доказательство теоремы 3 в идейном отношении сходно с доказательством теоремы 4, однако сложнее технически из-за возможной расходимости преобразования Биркгофа. Здесь существенно используется тот факт, что преобразование Биркгофа сходится на асимптотических многообразиях (см. И гл. II). Подробное доказательство теоремы 3 содержится в работе [28]. Там же указан ее автономный вариант. Пусть невозмущенная система с гамильтонианом Но имеет аналитический интеграл Fq, причем все интегральные кривые гамильтонова поля замкнуты (примером может служить квадрат модуля кинетического момента твердого тела в задаче Эйлера). Предположим, что при малых е возмущенная гамильтонова система с гамильтонианом Н = Но + Н + + о е) имеет две гиперболические траектории, и 7I, соединенные двоякоасимптотической траекторией 7e(i), гладко зависящей от е. В [28] доказано, что если несобственный интеграл Jqo (в (1-3) надо положить г = j = 0) отличен от нуля, то при достаточно малых е ф О система с гамильтонианом Н не имеет полного набора инволютивных аналитических интегралов на поверхности уровня = h, где h = Н )е)- Доказательство основано на сведении (при помощи интеграла Fo) гамильтоновой системы к неавтономной с периодическим гамильтонианом. Было бы интересно выяснить, следует ли из условий теоремы 3 несуществование п аналитических коммутирующих векторных полей у возмущенной гамильтоновой системы. [c.267]

Ограничение, наложенное здесь Биркгофом. — отсутствие кратных множителей, выраженное словами вообще говоря ( in general ), — является лишним. Очень простое доказательство теоремы о группировке гамильтоновых множителей в пары вида (Л, —Л), свободное от этого ограничения, дано, например, в известном мемуаре А. М. Ляпунова Общая задача об устойчивости движения (1-е русск. изд., Харьков, 1892 франц. перевод, Annales de Toulouse , ser. 2, t. 9, 1907 2-e русск. изд., Ленинград, 1935). [c.361]

А. Авец [1] воспользовался теоремой Биркгофа для доказательства следующего результата. [c.130]

Отметим моменты в которых эта книга отличается от немецкого первоисточника. В первую главу К. Л. Зигель добавил два параграфа, посвяш енных тройным столкновениям в задаче трех тел. Глава II в сугцности не изменилась, за исключением добавленного доказательства сходимости преобразования к нормальной форме Биркгофа отображения, сохраняюгцего плогцадь, вблизи гиперболической неподвижной точки. Основные изменения были внесены в третью главу. Двадцать шестой параграф содержит новое и более простое доказательство теоремы Зигеля о конформных отображениях вблизи неподвижной точки. 32-36 содержат вывод теорем устойчивости для систем с двумя [c.11]

Таким образом, теорема Биркгофа [1] о неподвижной точке доказана полностью. В найденном Биркгофом доказательстве теоремы Пуанкаре о неподвижной точке используется та же самая основная идея о построении охватываюгцей начало координат замкнутой кривой К, точки которой при отображении 5 " смегцаются только радиально. [c.230]

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6]. [c.362]

Данное обстоятельство приводит к тому, что дальнейшее исследование эргодических свойств биллиардов, по сравнению с гладкими равномерно полно гиперболическими системами (см. гл. 7, 3), значительно усложняется. В самом деле, для последних систем сразу можно доказать эргодичность. Это делается с помощью метода, впервые примененного Хопфом (Е. Hopf) для доказательства эргодичности геодезического потока на поверхности постоянной отрицательной кривизны. Идея этого метода состоит в том, что для почти всех точек Х и Х2 фазового пространства рассматриваемой системы строится конечный набор W4, W , Л.У1А и ЛНМ (цепочка Хопфа) такой, что Wfdxi, и где y = i l. Тогда из эргодической теоремы Биркгофа—Хинчина, (см. гл. 1, 2) легко выводится, что точки Xi и Х2 принадлежат [c.183]

Доказательство д,о ста1очности. Пусть движение / (р, t) устойчиво L и почти рекуррентно. По теореме 1,18 Ер является минимальным множеством. Это множество компактно в силу устойчивости /(р, i) по Лагранжу. Согласно первой теореме Биркгофа движение /(р, О рекуррентно. [c.70]

Отображение кольца в кольцо представляет значительный интерес и довольно часто встречается при исследовании конкретных динамических систем. Изучение ограниченной проблемы трех тел привело А. Пуанкаре к рассмотрению сохраняющего площадь отображения кольца на себя. Он обнаружил, что если при отображении внешний и внутренний контуры вращаются в разных направлениях, то нмезтся неподвижная точка. Это утверждение получило наименование последней геометрической теоремы А. Пуанкаре [431. Ее доказательство было позднее найдено Дж. Биркгофом [191. [c.299]

Книга Дж.Биркгофа Динамические системы наряду со знаменитым сочиисписм Пуанкаре Новые методы небесной механики оказала решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и аналитической динамики. Изданная на русском языке в 1941 ( ) году, она давным давно стала библиографической редкостью. Поэтому мы решили переиздать книгу Биркгофа, добавив две его работы, содержащие доказательство эргодической теоремы. По словам И. Винера (кстати сказать, не любившего Биркгофа по причинам, которые он сам объяснил в своих воспоминаниях) эти работы — поразительное свидетельство пробивной силы Биркгофа. Он занялся эргодической теоремой без всякой предварительной подготовки, не обладая никакими специальными знаниями в области интеграла Лебега и даже не особенно им интересуясь. Несмотря на это, руководствуясь только своей математической интуицией, ои сумел получить одну из важнейших теорем, вплоть до настоящего времени занимающую центральное положение в теории интеграла Лебега. [c.10]

Остальные две включеипые в русский перевод статьи Биркгофа связаны с последней геометрической теоремой Пуанкаре. Одна из них содержит подробное доказательство одного существенного для динамических приложений обобщения этой теоремы, применяемого в тексте книги. Другая проливает новый свет на роль этой теоремы в динамике. [c.12]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

В окрестности гомоклинических периодических траекторий с трансверсальными асимптотическими поверхностями справедливо утверждение, аналогичное теореме 12. Строгое доказательство этого утверждения, восходящего к Биркгофу (1935), принадлежит Смейлу (1965) и Л. П. Шильиикову (1967) (см. [33]). Отметим, что доказательство отсутствия аналитических интегралов (теорема 10) не зависит от свойства трансверсальности. Однако наличие нетрансверсальных асимптотических поверхностей может сильно влиять на качественное поведение траекторий (см. [33]). [c.253]

Согласно подходу Ферми [3], можно рассуждать следующим образом. В случае устойчивости в каждой окрестности начала координат Я лежит одпосвязпая инвариантная относительно б окрестпость 8. Примем теперь, что 8 имеет границу, которую можно представить уравнением Р х, у) = 0. Если написать такое уравнение для семейства окрестностей Я = зависящих от параметра 7, то получится семейство уравнений Р х, у, 7) = 0. Если эти уравнения удастся разрешить относительно 7 и если уравнение (р х, у) = 7, кроме того, будет аналитическим по ж и у, то этим будет доказано существование сходящегося инвариантного степенного ряда, так как при отображении б каждая граница ср х, у) = 7 переходит в себя. Наконец, следовало бы установить аналитическими методами, что в общем случае сохраняющее объем преобразование б пе имеет сходящегося инварианта. Этим самым было бы доказано утверждение, что в общем случае устойчивости не будет. Попытки провести строгое доказательство этого утверждения представляются нам довольно безнадежными. Пока даже пе доказано, что границей 8 является кривая, Биркгоф, используя приемы доказательства своей теоремы о неподвижной точке, пытался показать, что 8 будет при достаточно малой окрестности Я звездообразной, если формальный степенной ряд и, входящий в нормальную форму (12), не сводится то.пько к свободному члену, и что тогда граница С области 8 может быть представлена в полярных координатах г, I с помощью схо- [c.289]

Этот результат и представляет собой знаменитую эргодиче-скую теорему Биркгофа (точнее говоря, ее аналог), которая, по существу, не имеет ничего общего с дифференциальными уравнениями, а является теоремой, относящейся к общей теории лебеговой меры. Ее доказательство выходит за рамки этой книги. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...