ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Доказательство теоремы Биркгофа из "Биллиарды Введение в динамику систем с ударами " задача отыскания периодических п-звенных траекторий биллиарда свелась к задаче отыскания критических точек функции L в области D. Изучим сначала структуру этой области. [c.59] Лемма 1. Область D состоит из (п—1)-й связной компоненты, каждая из которых гомеоморфна прямому произведению окружности Т и п—I)-мерного диска. [c.59] Функция g, а значит, и функция k og непрерывна в D. Таким образом, область D является несвязным объединением п—1 открытых множеств Di,.— прообразов значений 1. [c.59] Попытаемся применить к функции L на множествах Dk результаты тео-рии Морса. Для этого нужно, чтобы Рт 1 при подходе к границе внутри любой из областей Dk функция L, например, уменьшалась. [c.60] Однако на этом пути возникают принципиальные трудности, когда точка границы области Dh характеризуется совпадением более чем двух соседних координат ф/. Чтобы преодолеть эти затруднения, обрежем области Dh по краям. [c.60] На рис. 23, а, б изображены ломаные, удовлетворяющие е-условиям, а на рис. 23, в ломаная не удовлетворяет е-условиям 2) и 3) (т = 1). [c.60] Обозначим максимальные подобласти областей в которых выполняются е-условия, символами 5 Теперь мы уже готовы доказать тот факт, что вектор grad (имеется в виду евклядова метрика тора Т ) на границе D направлен внутрь этой области для любого А6 11, 2,. . . , л — 1). [c.62] например, равенство имеет место в е-условии 1) для некоторого /ле2 , а в остальных условиях стоят строгие неравенства (см. рис. 26). [c.63] Таким же образом можно рассмотреть случаи, когда равенство имеет место в одном из е-условий 2), 3), и т. д. Остановимся подробнее на е-условии п—1). [c.63] Таким образом, критическим точкам функции Ь на соответствуют по крайней мере два геометрически различных периодических решения, совершающих к оборотов в заданном направлении вокруг нашей кривой. Конечно, если п не взаимно просто с к, то может так случиться, что ломаная несколько раз пройдет сама по себе и мы такое решение уже получали при меньших п. [c.65] Примечательным является тот факт, что оценки количества периодических решений биллиарда, полученные Биркгофом [42], и в теореме 1 совпадают, хотя получены совершенно разными методами. Это наводит на мысль, что, по-видимому, для любых п, к eN, п к, существует биллиард Биркгофа, имеющий ровно два геометрически различных периодических решения, совершающих к оборотов вокруг кривой, имея п звеньев по крайней мере для л—2, =1 это, очевидно, верно. [c.65] Вернуться к основной статье