Уравнения Бельтрами — Мичелла в напряжениях

Уравнения Бельтрами— Мичелла в напряжениях [c.118]

Уравнения Бельтрами—Мичелла в напряжениях Ц9 [c.119]

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Таким образом, при решении прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций oij Xk), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (4.3), уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничным усло- [c.80]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Может случаться, что сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать [c.81]

Если напряжения представлены через функцию напряжений, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяются. Однако х, у) не может быть произвольной функцией, так как компоненты тензора напряжений, кроме уравнений равновесия, должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла. В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла превращаются в уравнение для функции (х, у). [c.366]

При использовании деформационной теории, согласно которой связь между напряжениями и деформациями является конечной нелинейной, полная система уравнений может быть приведена к разрешающим уравнениям в перемещениях или напряжениях, аналогичным уравнениям Ламе или Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Для решения конкретных задач с успехом применяются различные варианты метода последовательных приближений. Возможна, например, следующая схема этого метода (метод дополнительных нагрузок). Напряжения, выраженные через деформации по формуле (10.15) [c.745]

Другой подход заключается в том, что за основные неизвестные функции принимают напряжения. Для их отыскания следует в первую очередь использовать дифференциальные уравнения равновесия (1.1). К ним присоединяют условия совместности деформаций (1.10). Чтобы можно было ими воспользоваться, нужно выразить в них по закону Гука деформации через напряжения. Подобная замена после ряда преобразований с использованием уравнений равновесия (1.1) приводит к так называемым уравнениям Бельтрами-Мичелла 1281. [c.20]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла). .......................58 [c.3]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) [c.58]

Эти уравнения, называемые уравнениями в напряжениях, были введены Бельтрами в 1892 г. для случая отсутствия массовых сил, а в 1899 г. другим путем были получены Мичеллом ) при учете действия массовых сил. [c.118]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Нужно удовлетворить также уравнениям в напряжениях Бельтрами— Мичелла и граничным условиям. Б рассматриваемом [c.408]

Функцию определим, используя уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла [c.452]

Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами—Мичелла, обобщенные на задачи температурных напряжений. [c.485]

Эти уравнения являются обобщением уравнений в напряжениях Бельтрами—Мичелла на задачу дисторсии. Заметим, что в фор- [c.534]

Эти уравнения являются обобщением уравнений Бельтрами — Мичелла на динамические задачи. Если нагрузки, а тем самым и напряжения не зависят от времени, то получаем уравнения в напряжениях эластостатики (см. формулы (6) 4.4). Применим к уравнениям (7) оператор Df, получим [c.575]

Если теперь в условия (3) и (4) подставить кц и Yji, выраженные через напряжения Oji и моментные напряжения 1ц, то эти условия можно записать в напряжениях. Можно образовать таким образом аналог уравнений в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.808]

Уравнения Бельтрами — Мичелла завершают полную систему уравнений теории упругости, позволяющую решать необходимые задачи в перемещениях или в напряжениях. [c.131]

Решение задачи теории упругости в напряжениях требует совместного решения двух систем дифференциальных уравнений уравнений равновесия (I) и уравнений совместности деформаций Бельтрами— Мичелла (VII). Ограничимся случаем отсутствия объемных сил тогда все эти уравнения будут однородными. В этом параграфе мы покажем, что система уравнений равновесия [c.243]

Исключение деформаций и напряжений позволяет получить три дифференциальных уравнения лишь относительно перемещений (уравнения Навье). Преимущество этого подхода состоит в том, что условия совместности при этом не нужны. С другой стороны, исключение деформаций и перемещений при использовании условий совместности приводит к шести дифференциальным уравнениям лишь относительно напряжений (уравнениям Бельтрами—Мичелла). Полученные таким образом уравнения Навье и соответственно Бельтрами—Мичелла часто называют также основными уравнениями теории упругости. [c.66]

Пусть, наконец, основные уравнения в перемещениях или в напряжениях задаются соответственно в форме уравнений Навье или Бельтрами — Мичелла. Они запишутся в виде [c.193]

В линейной теории упругости, напомним, распространен вариант полуобратного метода, в котором исходным этапом служит задание статически возможного, иначе говоря, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и на поверхности, напряженного состояния. Далее проверяется, что это состояние согласуется с уравнениями Бельтрами — Мичелла этим гарантируется, что линейный тензор деформации, вычисляемый по принятому тензору напряжений, допускает определение вектора перемещения и. Перенесение этого приема в нелинейную теорию затруднено тем, что обращение уравнения состояния — разыскание меры деформации по тензору напряжений из нелинейного уравнения состояния практически неосуществимо (И, 8) и неоднозначно. Аналог уравнений Бельтрами —Мичелла в нелинейной теории может быть использован лишь в исключительных случаях ( 17). Поэтому вторым вариантом полуобратного метода здесь может служить исходное задание меры деформации, удовлетворяющее условиям обращения в нуль тензора Риччи (П1.10.21). По этой мере и по уравнению состояния составляется тензор напряжений. Он должен быть статически возможным его дивергенция должна быть нулем, если не учитываются массовые силы, а по его произведению на вектор нормали определяются поверхностные силы. Конечно, нет оснований ожидать, что такая процедура не потребует при выполнении уравнений статики в объеме конкретизации задания коэффициентов определяющего уравнения, как функций инвариантов меры деформаций (скажем, коэффициентов фг(/1, 2, /з) в (4.3.4)). Значит и формы представления поверхностных сил зависят от выражений этих коэффициентов, иначе говоря, их нельзя представить в единой записи, независящей от того, какой принят закон зависимости удельной потенциальной энергии э(/,, /2, /3) от ее аргументов. [c.135]

Это—аналог уравнения совместности напряжений линейной теории-уравнений Бельтрами —Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль ). [c.143]

Нетрудно также составить уравнения, содержащие только напряжения. Мы увидим сейчас, что уравнения эти состоят из уравнений (1) и из одного дополнительного уравнения, заменяющего в нашем случае шесть условий совместимости Бельтрами — Мичелла. Это дополнительное уравнение-выражает условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы к функциям Хх, У у, Ху, удовлетворяющим уравнениям (1), можно было подобрать функции и, V, связанные с Хх, У у, Ху соотношениями (2). [c.94]

Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае MOHteT заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла. [c.484]

Уравнение получено подстановкой в уравнение Вс = 0 выражения для 8 = С 1<г и подстановкой в последнее в = В -Г ч.р- Строго говоря, название уравнения Бельтрами—Мичвлла применено условно, поскольку Бельтрами и Мичелл выражали условия совместности деформаций не через функции напряжений, а через ами напряжения и использовали, таким образом, ме решение уравнений равновесия, а сами уравнения равновесия. [c.454]

Во многих задачах эластостатики важную роль играют уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, особенно в задачах о кручении и изгибе стержней и в задачах, связанных с плоским напряженным и плоским деформированным состояниями. Аналогичные уравнения для задач эластокинетики вывел Игна-чак ). [c.574]

В некоторых случаях, особенно если граничные условия даны в напряжениях, стоит воспользоваться уравнениями, аналогичными уравнениям Бельтрами — Мичелла. Эти уравнения для несвязанных задач были выведены Игначаком ), а для связанных задач Соосом ). Другой метод решения в напряжениях дал Новацкий ) для плоского деформированного состояния. [c.762]

Существенное внимание уделяется общим методам решения проблем теории упругости. При рассмотрении дифференциальных уравнений Навье в перемещениях вводятся векторный и скалярный потенциалы, потенциал Ламе, вектор Буссинеска, вектор Папковича. Анализируя дифференциальные уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла, автор вводит функции напряжений Максвелла и Мореры. Подробно показано применение обратного и полуобратного методов Сен-Венана. [c.6]

В соответствующей форме можно представить также уравнения Навье относительно перемещений Ыг и Ыф и уравнения Бельтрами— Мичелла для компонент напряжений Огг, сГфф и Тгф (однако более подробно это обсуждаться здесь не будет). [c.197]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Теперь обратимся к уравнениям совместности деформаций в форме Бельтрами-Мичелла (3.13). Ири принятых ранее предположениях относительно компонент тензора напряжений azz — = стхх = сгуу = (Тху = О первые четыре уравнения системы (3.13) удовлетворяются при любых выражениях функции (р, а последние два уравнения получат следуюгций вид [c.64]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...