Уравнения Бельтрами в напряжениях

Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами—Мичелла, обобщенные на задачи температурных напряжений. [c.485]

Приведенные в последних двух параграфах общие решения уравнений равновесия сами по себе не дают решения задачи теории упругости, так как содержащиеся в них функции напряжений должны быть определены из условий совместности деформаций (например, из уравнений Бельтрами в декартовых координатах) и условий на поверхности тела однако эти решения оказывают существенную пользу при вариационном методе решения задач, данном Кастильяно и изложенном в главе XI там они будут использованы. [c.250]

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Принцип Кастильяно в интегральной форме выражает условия совместности деформаций тела. Если функционал Кастильяно выразить только через напряжения (о), то отвечающие ему уравнения Эйлера дадут для постоянных объемных сил уже знакомые нам уравнения Бельтрами (2.42) — условия совместности деформаций, выраженные через напряжения. [c.64]

Если задача теории пластичности решается в напряжениях, то для их определения в общем случае нужно решить уравнения (10.24) и систему из шести нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которая является обобщением уравнений Бельтрами — Митчелла. Ввиду громоздкости названные уравнения [c.305]

В прямых решениях задач об упругих телах ищутся тензоры напряжений, деформаций и вектор перемещения, вызываемые действующими на них внешними силами. Для этого следует проинтегрировать дифференциальные уравнения Ляме (5.4), если за основные неизвестные приняты перемещения Uk, и дифференциальные уравнения (5.26) и соотношения Бельтрами — Митчелла (5.33), (5.34), если за основные неизвестные приняты компоненты тензора напряжений при заданных граничных и начальных условиях. В первом случае говорят, что задача решается в перемещениях, во втором — в напряжениях. [c.89]

В противоположность приему, план которого рассмотрен выше (во всех преобразованиях выражать неизвестные через перемещения), можно применить другой—все неизвестные выразить через напряжения (в этом случае необходимо использовать уравнения неразрывности). В итоге получим следующие уравнения метода сил (уравнения Бельтрами) [c.32]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Таким образом, при решении прямой задачи в напряжениях первоначально находятся шесть функций oij Xk), которые должны удовлетворять дифференциальным уравнениям равновесия (4.3), уравнениям Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничным усло- [c.80]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Если подставить выражения (11.30) для компонент тензора напряжений в уравнения Бельтрами (11.25), а функции (1 — д // )" -, (1 — xlR)" заменить их разложениями в ряды [c.373]

Равенства (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) называются уравнениями совместности деформаций в напряжениях или уравнениями Бельтрами — Митчелла. Таким образом, установлено, что компоненты тензора напряжений должны удовлетворять девяти дифференциальным уравнениям различного порядка (трем урав- [c.230]

Исследование проведем сразу на примере смешанной задачи (т. е. будем исходить из условий (1.2)). Рассмотрим множество тензоров, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и первому из условий (1.2). Обозначим это множество через /( ). Образуем теперь множество Кг тензоров, удовлетворяющих уравнениям совместности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами — Митчелла) ( 4 гл. И), причем соответствующие смещения должны удовлетворять первому из условий (1.2). [c.626]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

В рассмотренных в 3 задачах о растяжении бруса компоненты тензора напряжений были постоянными или линейными функциями координат, поэтому уравнения Бельтрами автома- [c.344]

Если напряжения представлены через функцию напряжений, то уравнения равновесия автоматически удовлетворяются. Однако х, у) не может быть произвольной функцией, так как компоненты тензора напряжений, кроме уравнений равновесия, должны удовлетворять уравнениям Бельтрами — Мичелла. В рассматриваемом случае уравнения Бельтрами — Мичелла превращаются в уравнение для функции (х, у). [c.366]

Уравнения Бельтрами—Митчелла называются условиями совместности в напряжениях. Вместе с уравнениями равновесия [c.340]

Решение в напряжениях. Зависимости Бельтрами. Тензор напряжений 7, удовлетворяющий уравнениям статики в. объеме, должен быть так выбран, чтобы вычисленный по нему тензор деформации удовлетворял условиям совместности (2.1.5) гл. II [c.131]

Итак, функция напряжений Эри удовлетворяет этому дифференциальному уравнению четвертого порядка, называемому би-гармоническим. Оно однородно при выборе частного решения, удовлетворяющего уравнениям статики в объеме и зависимостям Бельтрами. [c.467]

В общей теории упругости используются два пути решения задач. Первый путь состоит в подстановке в уравнения равновесия элемента упругого тела вместо напряжений их выражений через смещения. Тогда для смещений однородного упругого тела получается система из трех уравнений, именуемая уравнениями Ламе. Второй путь заключается в выражении соотношений неразрывности Сен-Венана через напряжения и упрощении полученных равенств с помощью уравнений равновесия элемента тела. Полученные шесть соотношений позволяют решать задачу непосредственно в напряжениях и называются уравнениями Бельтрами— Митчелла. [c.52]

Другой подход заключается в том, что за основные неизвестные функции принимают напряжения. Для их отыскания следует в первую очередь использовать дифференциальные уравнения равновесия (1.1). К ним присоединяют условия совместности деформаций (1.10). Чтобы можно было ими воспользоваться, нужно выразить в них по закону Гука деформации через напряжения. Подобная замена после ряда преобразований с использованием уравнений равновесия (1.1) приводит к так называемым уравнениям Бельтрами-Мичелла 1281. [c.20]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла). .......................58 [c.3]

Постановка задач теории упругости в напряжениях (уравнения Бельтрами-Мичелла) [c.58]

И подстановка в (13.28) приводит к уравнениям Бельтрами — Митчелла в задаче о тепловых напряжениях [c.68]

Нетрудно также составить уравнения, содержащие только напряжения. Мы увидим сейчас, что уравнения эти состоят из уравнений (1) и из одного дополнительного уравнения, заменяющего в нашем случае шесть условий совместимости Бельтрами — Мичелла. Это дополнительное уравнение-выражает условие, которое должно быть соблюдено для того, чтобы к функциям Хх, У у, Ху, удовлетворяющим уравнениям (1), можно было подобрать функции и, V, связанные с Хх, У у, Ху соотношениями (2). [c.94]

Во многих стационарных задачах с краевыми условиями в напряжениях удобно использовать уравнения Бельтрами—Митчелла. Такие уравнения для термоупругой среды были нами выведены в 1.5. Для рассматриваемого случая производные по времени равны нулю и, следовательно, уравнения (48) и (49) 1.5 запишутся в виде [c.43]

Уравнения Бельтрами— Мичелла в напряжениях [c.118]

Эти уравнения, называемые уравнениями в напряжениях, были введены Бельтрами в 1892 г. для случая отсутствия массовых сил, а в 1899 г. другим путем были получены Мичеллом ) при учете действия массовых сил. [c.118]

Уравнения Бельтрами—Мичелла в напряжениях Ц9 [c.119]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Нужно удовлетворить также уравнениям в напряжениях Бельтрами— Мичелла и граничным условиям. Б рассматриваемом [c.408]

Функцию определим, используя уравнения в напряжениях Бельтрами — Мичелла [c.452]

Когда граничные условия сформулированы в напряжениях, то для решения задач все необходимые уравнения выражают в напряжениях. Представим уравнения совместности деформаций через напряжения при постоянных объемных силах. Это уравнения Бельтрами—Митчела. Преобразуем первое уравнение (1-11) [c.23]

М. Гуртин и Е. Штернберг [2041 установили для теории ползучести изотропных тел аналоги уравнений равновесия в перемещениях (уравнений Ляме), уравнений сплошности в напряжениях (уравнений Бельтрами—Мичелла), теоремы взаимности работ (теоремы Бетти), а также аналоги общего решения однородных уравнений в форме Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича. Аналог уравнений Бельтрами—Мичелла использовался раньше также Н. X. Арутюняном [7]. Упомянутые выше уравнения, как отмечено в [238], могут быть формально получены из соответствующих уравнений теории упругости с помощью принципа 20 [c.20]

Система уравнений Бельтрами — Митчела — это система 12-го порядка. Произведя дифференцирование при их выводе, мы искусственно повысили порядок исходной системы. В результате оказывается, что возможные решения системы (8.5.8) порождают класс функций более широкий, чем возможные решения задачи теории упругости. Решения системы (8.5.8) не обязательно удот влетворяют уравнениям равновесия. Это ясно хотя бы из следующего примера. Пусть напряжения — произвольные линейные функции координат Оц = Поскольку уравнения (8.5.8) [c.250]

Таким образом, для решения задачи теории упругости в напряжениях необходи.мо проинтегрировать девять уравнений (4.1) и (4.12). Наличие трех лишних уравнений необходимо для получения однозначного решения и обсуждалось при выводе уравнений сплошности (2.10), следствием которых являются уравнения Бельтрами—Митчела. [c.47]

Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае MOHteT заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла. [c.484]

Вторые производные от первого инварианта тензора напряжений, также входящие в уравнения Бельтрами, имеют следующий вид (см. формулы (9.116) для операторов д /дх , дУдхду, д /ду и формулы (9.114) для операторов д/дх, д/ду из последних легко получаются формулы для операторов dVdxdz, д дудг) [c.689]

Уравнение получено подстановкой в уравнение Вс = 0 выражения для 8 = С 1<г и подстановкой в последнее в = В -Г ч.р- Строго говоря, название уравнения Бельтрами—Мичвлла применено условно, поскольку Бельтрами и Мичелл выражали условия совместности деформаций не через функции напряжений, а через ами напряжения и использовали, таким образом, ме решение уравнений равновесия, а сами уравнения равновесия. [c.454]

Решение задач теории упругости неоднородного тела, как и в классическом случае, можно искать либо в напряжениях, либо в перемещениях. Очевидно, что подстановкой (4.4) в уравнения совместности (4.3) можно получить обобщенные уравнения Бельтрами—Мичела [196, 202, 203], а подстановкой (4.2) в (4.1)—обобщенные уравнения Ламе. [c.34]

Здесь, как выше, 1 = - Ь . Эти выражения, конечно, удовлетворяют уравнениям статики в объеме и краевым условиям на продольных сторонах балки, тогда как зависимости Бельтрами не выполнены, так как функции напряжений (2.5.1) при произвольном задании поверхностных сил не являются бигармониче-скими. Заметим еще, что в представленном решении (2.5.2) торец д = О свободен (в смысле Сен-Венана) от нагружения — на нем продольная и поперечная силы и изгибающий момент равны нулю [см. формулы (2.4.5)]. [c.491]

В некоторых случаях (особенно в задачах с плоским напряженным или плоским деформированным состоянием) удобно использовать уравнения в напряжениях. В классической теории упругости такие уравнения известны как уравнения Бельтрами— Митчелла. Для несопряженной термоупругости соответствующие уравнения получил весьма простым путем Игначак и затем несколько иным путем Шоош [c.29]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...