Сосредоточенная сила в бесконечной плоскости

Нормальная сосредоточенная сила в бесконечной плоскости. [c.158]

Контур 2 составлен окружностью большого радиуса с центром в начале координат, берегами разрезов и двумя малыми окружностями с центром в вершинах трещин. Г-интеграл по большой окружности равен нулю, так как напряжения на ней убывают, как 1/г (сосредоточенная сила в бесконечной плоскости). Считаем, что материалы 1 и 2 находятся в упругом состоянии. На основании (3.17) находим [c.49]

СОСРЕДОТОЧЕННАЯ СИЛА В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛОСКОСТИ 203 [c.203]

Л. М. Качанов (1961, 1963) рассмотрел случай линейной ползучести, отвечающей схеме максвелловской среды, и установил линейную зависимость критического коэффициента интенсивности напряжений от времени, вводя при этом новую константу материала, названную коэффициентом повреждаемости. В такой постановке он рассмотрел задачу о развитии трещины под действием сосредоточенных сил в бесконечной плоскости и в полосе конечной ширины. Л. М. Качанов отметил, что качественная картина сохраняется в общем и для других линейных сред, обладающих свойством текучести (например, среда, подчиняющаяся интегральным соотношениям Больцмана). [c.426]

Тензорную функцию Грина можно указать также для обсуждавшегося в п. 8.5.3.3 случая сосредоточенной силы в бесконечной плоскости. Для плоского деформированного состояния она будет иметь вид [c.274]

Технику граничных элементов можно пояснить более полно, если воспользоваться рис. 1.2. Рис. 1.2 (а) представляет область R, ограниченную контуром С, — это тот же тип краевой задачи, который обсуждался выше в связи с рис. 1.1. Рис. 1.2 (Ь) представляет бесконечную плоскость, а пунктирная линия С отмечает след контура С на этой плоскости. Зачастую легче находить аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений для неограниченной области (рис. 1.2 (Ь)), чем для фактической области R (рис. 1.2 (а)). В частности, мы в состоянии найти сингулярное решение для точечного возмущения (например, источника, стока или сосредоточенной силы) в некоторой точке р в бесконечной области. Предположим на момент, что это сингулярное решение воспроизводит на пунктирной линии С точно те условия, какие заданы на границе С (рис. 1.2 (а)). Если бы [c.11]

В данной главе изложен алгоритм [95, 102] расчета статической траектории распространения исходной внутренней трещины, базирующийся на решении плоской задачи теории упругости для тел с криволинейными разрезами. Приложенная к телу нагрузка и форма исходной трещины удовлетворяют некоторым условиям симметрии, так что оба ее конца развиваются одинаково. В этом случае траектория может быть построена без учета зависимости скорости роста трещины от коэффициента интенсивности напряжений в ее вершине. Аналогично может быть рассмотрено распространение краевой или полубесконечной трещины при действии любой несимметричной нагрузки. Изучены случаи развития исходной прямолинейной или двух сдвинутых параллельных трещин в бесконечной плоскости при действии растягивающих усилий на бесконечности или растягивающих сосредоточенных сил. Задачи на каждом этапе сводятся к сингулярному интегральному уравнению для гладких контуров, численное решение которого находится методом механических квадратур. [c.41]

При действии в точке О бесконечной плоскости сосредоточенной силы Р (рис. 78) [c.158]

Если на прямолинейную горизонтальную границу АВ полу-бесконечной пластинки действуют несколько сосредоточенных сил Р, Pj, Pj, то напряжения на горизонтальной плоскости тп можно получить с помощью суперпозиции напряжений, вызываемых каждой из этих сил. Для каждой из них кривые напряжений и можно получить, сдвигая кривые, построенные для силы Р, к новым началам координат Oj, 0 ,. .. Отсюда следует, что напряжение а , вызываемое, например, силой Р на плоскости тп в точке D, получается путем умножения ординаты Н- К на Pj. Таким же образом напряжение в точке D, вызываемое силой Ра, получается равным Н К -Р и так далее. Общее нормальное напряжение в точке D на плоскости тп, вызываемое силами Р, Pj, Pj, будет [c.119]

Рис. 9.34. Напряженное состояние полу-бесконечной плоскости, загруженной сосредоточенной силой, нормальной к кромке а) к установлению связи между <г и компонентами напр, жений в декартовой системе координат б) эпюра а/, е) эпюра

Прежде чем перейти к конкретным задачам, отметим, что при нагружении пластин сосредоточенными силами не очевидно существование конечных значений критических нагрузок. Действительно в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил возникают неограниченно большие напряжения, поэтому бессмысленно говорить о критических напряжениях в срединной плоскости пластины. Строго говоря, необходимо доказать, что несмотря на это потеря устойчивости пластины может произойти только при превышении внешней нагрузкой некоторого конечного критического значения. Таким доказательством является возможность записи энергетического критерия устойчивости в форме С. П. Тимошенко. При использовании энергетического критерия в такой форме задача устойчивости пластин, нагруженных сосредоточенными силами, не требует предварительного определения действительных начальных усилий. В этом случае бесконечно большие напряжения в решении не фигурируют. [c.209]

Задача устойчивости прямоугольной пластины, сжатой сосредоточенными силами, имеет интересную многолетнюю историю. В 1906 г. А. Зоммерфельд впервые рассмотрел задачу устойчивости бесконечно длинной полосы, сжатой в своей плоскости двумя сосредоточенными силами (рис. 5.5, б). Решение этой задачи им получено путем интегрирования основного линеаризованного уравнения устойчивости пластины (4.33), причем поле действительных начальных усилий, входящих в это уравнение, не определялось, а заменялось системой статически возможных начальных усилий, выраженных формулами (5.77). В резуль- [c.211]

Пусть срединная поверхность задается одним из трех векторных уравнений (13.6.2). Тогда решение однородных статических безмоментных уравнений, как было показано в 13.6, выражается через аналитическую функцию г(5 (S). Точкам полного эллипсоида, двухполостного гиперболоида или эллиптического параболоида соответствует вся плоскость комплексного переменного Полюсы комплексной функции напряжения имеют такой же смысл, что и для сферы в точке = So (So отлично от нуля и бесконечности) полюс не выше третьего порядка соответствует сосредоточенным силам и моментам, а полюсы выше третьего порядка дают сосредоточенные воздействия более сложной структуры в точках S = О и S такой же смысл имеют полюсы функций (S) и (S) соответственно. Интенсивность и направление силы и момента, входящих в состав сосредоточенного силового воздействия, можно определить с помощью комплексных интегральных уравнений равновесия. Для оболочек второго порядка они выводятся так же, как для сферы, при помощи равенств (16.26.1), (16.26.2). Опуская подробности, приведем эти уравнения [c.242]

Действие сосредоточенных растягивающих сил на контуры отверстий. Рассмотрим поставленную выше задачу для случая, когда напряжения на бесконечности отсутствуют, а плоскость растягивается двумя сосредоточенными силами Р, приложенными к контурам отверстий и Lg (рис. 43). Берега трещины свободны от нагрузки. Комплексные потенциалы напряжений Ф (г) и (z), согласно выражениям (V.53), ищем в виде (V.121), где функции Фо (z) и о z) определяются соотношениями [c.178]

Заметим, что функция (V.143) определяет решение задачи теории упругости для бесконечной плоскости с круговым отверстием Lj, нагруженным в точке = iR нормальной сосредоточенной силой Р. [c.179]

Из формул (4.2.2) следует, что смещения и неограниченны на больших расстояниях от начала координат из-за членов, содержащих логарифмическую функцию g x, у). Это вытекает из природы сосредоточенной силы F — фактически она представляет силу, приходящуюся на единицу длины, в направлении оси Z, и чтобы отразить условия плоской деформации в плоскости х, у, надо считать, что такие силы действуют вдоль всей бесконечной линии, совпадающей с осью г. [c.54]

Рассмотрим бесконечную плоскость с гладким криволинейным разрезом L, ось симметрии которого совпадает с осью Оу прямоугольной декартовой системы координат хОу. Предположим, что берега трещины свободны от нагрузки, а в точках плоскости Zi = ihi Z2=—ih2 hi, /i2>0) приложены сосредоточенные силы F, растягивающие пластину (рис. 17). [c.53]

В качестве примера рассмотрим бесконечную плоскость с ломаной трещиной, образуемой полубесконечным (Lo) и конечным (Li) прямолинейными разрезами. Разрез L длины 21 выходит из вершины разреза Lo под углом л—а. Плоскость растягивается двумя сосредоточенными силами F, приложенными в точках Z = = g + //ii и 22= g—ih2 (/ii, /i2 0) и действующими перпендикулярно к лучу Lo (рис. 34). Берега разрезов свободны от напряжений. [c.99]

Яо=/// о=0,1 и i o/ i = 0,l сравниваемые решения отличались еще на 8,75% с уменьшением отношения радиусов кольца до 1/15 и 1/20 относительное отклонение коэффициентов интенсивности напряжений соответственно снизилось до 4,65 и 2,65 %. Таким образом, можно сделать вывод, что влияние внешнего ненагруженного края кругового кольца (при действии на внутреннем контуре сосредоточенных растягивающих сил) очень существенно. При определении коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах краевых радиальных трещин, выходящих на внутреннюю граничную окружность, считать кольцо бесконечной плоскостью с отверстием и трещинами можно лишь начиная со значения i o/ i=l/20. [c.196]

Удобство применения функции напряжений заключается в том, что, пользуясь ею, мы можем указать очень большое число напряженных состояний, имеющих ось симметрии. Для этого достаточно лишь решения уравнения Лапласа (126), которых мы знаем очень много, подставить в формулу (125) или (131), и мы немедленно сможем вычислить функцию напряжений для деформированного состояния, обладающего осевой симметрией, а при помощи ее легко по написанной выше формуле вычислить также сами напряжения и деформации. Функция напряжений вполне определяет характер соответствующего напряженного состояния, так что она может служить для классификации напряженных состояний, имеющих ось симметрии. В то время как в случае плоской задачи, как уже было показано в четвертой главе, мы знаем ряд функций напряжений для разных случаев, имеющих важное значение, здесь дело обстоит иначе. Из всех практически важных случаев осевой симметрии функция напряжения, повидимому, известна лишь для случая бесконечного тела, ограниченного плоскостью и нагруженного сосредоточенной силой, т. е. для случая, рассмотренного нами в 87 ). Результаты, выведенные там, можно выразить через следующую функцию напряжений [c.214]

Перейдем теперь к обсуждению условий (4.86), откуда должны определяться усилия р1 и рг при второй постановке задачи. В этом случае в отличие от первого аналитическое выражение напряжений Од ( а, у) для плоскости со щелью довольно сложно. Однако их распределение в окрестности концевых точек щели (разреза) довольно точно и просто описывается коэффициентами интенсивности напряжений. Поэтому целесообразно предварительно вычислять соответствующие коэффициенты интенсивности, для чего следует пользоваться комплексными потенциалами для плоскости со щелью, загруженной по берегам силами —qJ x) и —т (ж) ( + относится к верхнему берегу, а — относится к нижнему берегу), исходными сосредоточенными силами и силами иа бесконечности. Но очевидно, что при этом сосредоточенные силы роли не играют, и, следовательно, их можно опускать. Для данного случая комплексные потенциалы имеют вид [1] [c.248]

Пусть упругая плоскость Ег, Vг) на отрезках оси Ох —а + + 2п1 х а + 2п1 а<1 п = 0, 1, 2,. ..) усилена периодической системой одинаковых включений (.Е VI) и в точках = х +2п1 + к=1, 2,. .., М) загружена одинаковыми сосредоточенными силами = Х + (к = , 2,. .., N). Кроме того, плоскость на бесконечности в направлении оси Ог/ подвержена действию равномерно распределенных усилий интенсивности д. Требуется определить скачок тангенциальных контактных напряжений на берегах включений и другие характеристики задачи. [c.276]

Сосредоточенная сила, приложенная в точке неограниченной плоскости. Пусть на бесконечности напряжения равны нулю (Г = Г = 0), а напряжения, приложенные [c.195]

Точно такие же выражения получаются и при ряде других предельных переходов. В качестве одного из простейших примеров, более или менее точно воспроизводящих обычные условия приложения сосредоточенных силы и пары, укажем на следующий. Представим себе, что в круговое отверстие, просверленное в бесконечной пластинке, вставлена жесткая шайба того же радиуса и спаяна с пластинкой вдоль своей окружности. Пусть на эту шайбу действует некоторая сила и пара (в плоскости пластинки). Решение задачи упругого равновесия пластинки при этих условиях будет дано ниже ). Если мы станем беспредельно уменьшать радиус [c.199]

З.З. Сосредоточенная сила внутри бесконечной плоскости и в полуплоскости, функция напряжений Эри (8.145) дает при а = п решение для бесконечной плоскости, разрезанной вдоль отрицательной полуоси у при действии сосредоточенной силы в начале координат. Но для неразрезанной полной плоскости, согласно рис. 8.26(а), одного только этого решения недостаточ- [c.236]

Ряд работ выполнил Секри [2,117, 2.118, 2.119]. В [2.117] рассматривается напряженное состояние в бесконечной плоскости, имеющей вырез в виде двух пересекающихся кругов. Решение ищется в биполярных координатах. Подробно описываются случаи одноосного и всестороннего растяжения. В [2.118] производится предельный переход в решении [2.117] и изучается случай соприкасания кругов. Наконец, в [2.119] рассматривается распределение напряжений в плоскости, ослабленной двумя круговыми отверстиями при действии вдоль линии центров и перпендикулярной ей сосредоточенной силы (см. также [2.92]). [c.290]

Если, кроме сосредоточенных расклинивающих сил, приложенных в серединах сторон щели, упругая плоскость находится под действием всестороннего сжатия с напряжением р = onst в бесконечности. [c.523]

I. Вводные замечания. В настоящем параграфе рассматривается пример применения аппарата плоской задачи теории упругости — задача о напряженном состоянии бесконечного клнна, загруженного сосредоточенной силой, приложенной к вершине и направленной вдоль оси его симметрии. Обсуждается и частный случай этой задачи — напряженное состояние полубесконеч-ной плоскости, загруженной сосредоточенной силой, приложенной нормально к прямолинейной кромке. Наконец, в этом же параграфе приводится таблица с результатами решения некоторых других задач. [c.678]

Как. уже отмечалось в гл. 5, при изгибе пластин и оболочек Кирхгофа жесткими штампами-на границе зоны контакта. могут появляться сосредоточенные силы и моменты. Вопрос о типе реакции и структуре интегральных уравнений может оказаться нетривиальным и в том случае, когда контакт со штампом осуществляется не по площадке, а по линии. Этот вопрос рассмотрим здесь в дискуссионном плане на примере бесконечной пластины Кирхгофа, изображенной на рис. 8.35. На отрезке к пластине приварена абсолютно жесткая в своей плоскости днафрагма-штамп, нагруженная силой 2Р. Ширину площадки контакта учитывать не будем — контакт будет осуществляться по отрезку [—1,1] оси х. Для равновесия,пластины приложим силы Р на оси у. [c.371]

ПОМОЩЬЮ этой формулы молаю показать, что при действии в точке Z = Zq бесконечной плоскости сосредоточенной силы Q комплексный потенциал / (z) дается равенством [c.182]

Армирование полупространства продольной пластиной. Пусть бесконеч пая тонкая пластина толщины Л, расположенная в плоскости прикреплена в двух точках (О, О, 0) и (/, 0,0) к поверхности упругого пол)шрост-ранства Хз < О (рис. 68, а). Пластина растягивается на бесконечности в однородном поле напряжений a i и а 2 (рис. 68, б). Со стороны заклепок на пластину действуют сосредоточенные силы реакции (Р, О, 0) в точке (0,0,0) и (-Р, 0,0) в точке (/, 0,0). [c.156]

ИЛИ путем интегрирования по формулам (138) получить функцию напряжений для деформации, имеющей ось симметрии. Но этот способ, вообще говоря, не дает для тел, имеющих ось симметрии, таких ргше-ний, чтобы на поверхности, свободной от действия внешних сил, напряжения были равны нулю. Тем не менее это удается сделать в рассмотренном выше случае бесконечного тела, ограниченного плоскостью и нагруженного сосредоточенной силой, для которого функция напряжений получается из функции напряжений для полуплоскости, нагруженной перпендикулярной к ней силой, при помощи формулы (138). Именно в этом случае функция напряжений z) имеет вид [c.216]

Пусть упругая плоскость с модулем упругости Ег И коэффициентом Пуассона Гг (параметры Ляме Хг и д,2) на конечном отрезке оси Ох [—а, а] усилена включением малой толщины Ъ ж ъ точках = x +iyuik=i,2,...,N 2 Ф а) загружена сосредоточенными силами Qu= X +.iY , а на бесконечности по направлению осей Ох и Оу подвержена равномерно растягивающим усилиям интенсивностей р и д соответственно (рис. 3.12). В условиях плоской деформации требуется определить контактны напряже- [c.234]

Рассмотрим две постановки задачи. В нерво11 постановке принимается условие совместимости горизонтальных деформаций включения и упругой однородной сплошной плоскости, загруженной по отрезку [—а, й] оси Ох тангенциальными напряжениями интеисивности —Т5(ж), а также указанными выше сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Эта модель, по существу, совпадает с принятой в работе [4]. Горизонтальная деформация точек оси Ох плоскости г х) от этнх силовых факторов, [c.235]

Во второй постановке задачи принимается условие совместности горизонтальных деформаций включения и упругой однородной плоскости со щелью по отрезку [—а, а, загруженной по берегам щели нормальными и горизонтальными силами соответственно интенсивностей —д х) и —т (ж), а такй е исходными сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Чтобы вывести уравнение задачи в этом случае, отдельно рассмотрим верхнюю и нижнюю полуплоскости, притом относящиеся к ним величины отметим индексами -Ь и — соответственно. [c.237]

Очевидно, что условия (4.86), как и условия (4.8а), непосредственно вытекают из условий непрерывнобти напряжений Ох справа и слева на вертикальных отрезках х = а, lyi < k/2 стыковки включения с упругой плоскостью и фактически выражают эти условия в интегральной форме. Здесь Ох(х, у) — горизонтальная компонента поля напряжений в упругой плоскости со щелью по отрезку [—а, aJ, вызванного приложенными сосредоточенными силами и силами на бесконечности, а также нормальными и горизонтальными силами соответственно интенсив-ностей —qAx) и —т+(а ), действующими на верхнем и нижнем берегах щели. [c.242]

Решение задачи теории упругости о прямолинейной щели в растягиваемой плоскости обладает следующей особенностью при любой сколь угодно малой, но конечной растягивающей нагрузке ро контур прямолинейной щели деформируется в эллиптическую полость, а напряжения на концах трещины при этом оказываются бесконечно большими. Подобные сингулярности, вообще говоря, присущи решениям уравнений линейной теории упругости в случаях, когда краевые геометрические или силовые условия имеют особенности. В качестве примера можно указать поведение решений линейной теории упругости в задачах о вдавливании штампов с угловыми границами при действии сосредоточенных сил, при наличии угловых надрезов на границе тела и т. д. В задаче Колосова-Инглиса подобная особенность имеет место на концах щели, где радиус кривизны равен нулю, а кривизна — бесконечности. [c.378]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...