Вычисление производных второго порядка

Этот сеточный шаблон используется также для вычисления производных второго порядка [c.484]

В 5 мы изучили граничные свойства первых производных потенциала простого слоя. Имея в виду вычисление производных второго порядка этого потенциала, докажем теорему [c.225]

Вычисление производных второго порядка. Докажем следующее предложение. [c.240]

При помощи формул (3.26) вычисляются компоненты тензора малой деформации, когда в декартовой прямоугольной системе координат заданы перемещения w (xi, Хг, Ха). Для вычисления последних, когда заданы компоненты тензора деформаций екп, следует решить систему шести линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка (3.26). Чтобы система была совместной, заданные компоненты вьп должны удовлетворять так называемым условиям совместности, или условиям интегрируемости этой системы. Примем, что е п — заданные однозначные функции Xk, имеющие непрерывные частные производные второго порядка. [c.57]

Непосредственные вычисления показывают, что в правой части равенства (9) все члены содержащие частные производные второго порядка от функции /, взаимно уничтожаются. [c.99]

Для ЭТОЙ цели указанная сумма (3.30) конечного числа членов подставлялась в определенные интегралы (3.25) и (3.26), выражающие энергии и внутренних и внешних сил. Прежде чем вычислять суммы интегралов, находились их частные производные по неизвестным постоянным С, . .., Затем использовалось вариационное условие 6(1 г+1 ) =0, приводившее к системе п линейных уравнений для определения постоянных Си. .., Сп. Эта система получалась после вычисления интегралов, которые появляются в этих уравнениях (при заданном распределении давления р по пластинке) в качестве коэффициентов этой системы. Можно добавить, что, как показали Ритц, а потом и другие авторы, при надлежащем выборе функций йУ ,(л , у) в представлении (3.30) рассмотренный метод дает очень быструю сходимость и его можно также использовать (после вычисления частных производных второго порядка от ге ) для нахождения действующих в пластинках напряжений изгиба или моментов. В случае пластинки с жестко заделанными краями Ритц и Стодола ) заметили, что вариация части интеграла, определяемого соотношением (3.25), [c.152]

Факт каноничности нреобразования (27.12) эквивалентен интегрируемости при некотором числе с ф О системы (28.2), а интегрируемость, в свою очередь, эквивалентна совпадению двумя способами вычисленных всевозможных производных второго порядка от [c.167]

Частные производные второго порядка появляются при вычислении частных производных по элементам от этого выражения. После того как [c.256]

Уравнения, преобразованные к новым переменным (6.3), содержат неизвестные функции ерь (О и их первые производные, которые совпадают со скоростями распространения соответствующих разрывов. Для всех трех типов разрывов скорость распространения определяется местными значениями основных газодинамических параметров. При описании численных процедур мы предполагали, что величины и [ф ]<, которые входят в коэффициенты характеристических соотношений, берутся с нижнего слоя. Именно поэтому уравнения, определяющие искомые функции слева и справа от разрыва, разделяются. При этом имеем первый порядок точности относительно шага по времени. Однако с помощью стандартной техники пересчета можно построить алгоритм, дающий аппроксимацию второго порядка. При этом для сокращения объема вычислений целесообразно сначала провести расчет в окрестностях всех линий разрыва, а затем находить неизвестные величины во внутренних узлах. [c.148]

Гравитационное поле. В основной задаче поле силы рассматривается однородным, и в векторе g объединяются и притяжение к Земле, и центробежная сила (т. I, гл. XVI, 7). В действительности же, в силу ли формы Земли или в силу неоднородного распределения ее масс необходимо присоединить к g поправочный член, представляющий собой производную от некоторого потенциала (/j, при вычислении которого можно ограничиться членами второго порядка малости в соответствии с тем, что при [c.115]

Система (7.11) включает m уравнений второго порядка в частных производных, и решить ее можно лишь в простых случаях. Как отмечалось в гл. V и VI, чаще приходится ограничиваться вычислением смешанных моментов или кумулянтов фазовых координат системы. [c.280]

Обычная параболическая интерполяция кривых не дает удовлетворительных результатов, так как небольшая неточность в задании или определении координат приводит к существенному изменению величин вычисляемых производных, особенно второй. Поэтому применялось интерполяционное вычисление производных при одновременном сглаживании кривой по методу наименьших квадратов. Не останавливаясь на выводах, приведем их окончательные результаты, полученные для наилучшего приближения кривой, заданной пятью точками, параболой третьего порядка. [c.309]

Входящее в (4.124) распределение р( ) заранее неизвестно и должно быть опре делено в результате решения задачи. Наличие индуцированного градиента давления придает параболической системе уравнений пограничного слоя новые свойства, связанные передачей возмущений вверх по потоку и с появлением соответствующей неединственности решения, описанной в работе [Нейланд В. Я., 1970] и выше в этой главе. Дополнительное краевой условие, задаваемое, например, на донном срезе р = 1) = В, позволяет получить единственное решение краевой задачи (4.124). Для численного решения краевых задач такого типа использован метод, опубликованный в работе [Дудин Г.Н., Лыжин Д.О., 1983]. Процедура решения заключается в задании некоторого поля скоростей и давления в области (0 1 0 Л сх)). В дальнейшем линеаризованная краевая задача (4.124) решается при известных градиенте давления, распределении давления и толщине вытеснения <5 ( ), в результате определяется новое распределение толщины вытеснения <5( ), которое не совпадает с исходным <5 ( ). Следующий этап вычислений связан с нахождением поправки А (С) к распределению толщины вытеснения. Для этого используется линейное дифференциальное уравнений второго порядка, в котором неоднородный член пропорционален разности ( ) — 5 ). Процедура вычислений повторяется при новом распределении толщины вытеснения 5+1 (е) = ( ) + Д( ) И соответствующих распределениях давления и градиента давления до тех пор, пока разность <5 ( ) — <5( ) не станет достаточно малой. Таким образом можно рассчитывать также течение и в пограничном слое с возвратными токами, используя ориентированные разности при аппроксимации конвективных производных. [c.184]

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции f в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов кр (где р называется порядком метода). Но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции /(2, у, у ). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). [c.359]

Следует.иметь в виду, что в большинстве практических случаев, когда учитываются случайные значения величин входных параметров прибора, кривая распределения фх (х) представляет собой кривую распределения ошибок того или иного параметра. База рассеяния такой кривой, как правило, во много раз меньше величины самого параметра и величины диапазона изменения функции типа и = и х). Поэтому независимо от вида функции и = и (х) участок ее, соответствующий величине базы кривой рассеяния ф х) ошибок параметра X, с точностью до, величин второго порядка малости можем считать линейным, причем угол наклона линейного участка определяется частной производной вычисленной при значении д ,-, соответствующем середине базы кривой рассеяния ф (д ). [c.249]

Этот метод является методом второго порядка, так как в нем используется член ряда Тейлора, содержащий к . Ошибка на каждом шаге при использовании этого метода, имеет порядок к . За повышение точности приходится расплачиваться дополнительными затратами машинного времени, необходимыми для вычисления у п+1- Более высокая точность может быть достигнута, если пользователь готов потратить дополнительное машинное время на лучшую аппроксимацию производной путем сохранения большего числа членов ряда Тейлора. Эта же идея лежит в основе методов Рунге — Кутта. [c.77]

Эги значения М содержат только первые частные производные от А, В, С по переменным 0, ф и после вычисления этих производных приобретают вполне определенные значения переменные 0, ф равны их начальным значениям 0о, Фо-Отсюда следует, что для определения начальных значений 0 , ф можно разложить живую силу 2Т по степеням малых величин 0 — 0о, ф — фо (перед подстановкой в уравнения Лагранжа (2)), и здесь необходимо сохранить только первые степени этих величин. Однако, так как сюда входят вторые частные производные от и, то функция и должна быть вычислена с точностью до членов второго порядка относительно малых величин. При разложении Т я V по степеням этих малых величин объем вычислений, вообще говоря, можно значительно сократить, особенно тогда, когда заранее известно, сколько степеней должно быть сохранено (см. п. 200). [c.413]

Для решений итерационного типа требуется использовать некоторый критерий для остановки процесса или изменения шага, а также необходимо задавать предельное число выполняемых итераций. Наиболее удобным критерием сходимости процесса на г-м шаге является сравнение разности двух последовательных значений Хг и главного члена в Однако вычисление производных более высокого порядка, чем второй, не совсем удобно (причина состоит в том, что сами по себе ряды Тейлора являются не очень хорошей экстраполяционной формулой). Более удобный критерий состоит в контролировании числа значащих цифр в х,- следующим образом [c.182]

С этими изменениями и при а = а/а, если считать а > а, следующие выражения дают все те производные возмущающей функции, которые должны быть вычислены для получения возмущений первого и второго порядков. Также для краткости мы положим т вместо т /1 гп. Кроме того, если требуется вести вычисления, выбрав в качестве единицы секунду дуги вместо радиана, то т необходимо умножить на 206264",8. [c.394]

Как только получено выражение для (а / У, возмущения второго порядка можно вычислить с затратой труда, сравнимой с той, которая необходима для получения возмущений первого порядка. Тем не менее легко сообразить, что если приближения должны быть проведены до третьего порядка, то потребуется намного большее количество труда из-за большого числа необходимых производных возмущающей функции. Может показаться, что вычисления можно было бы сократить, совершенно избегая разложений в ряды Тэйлора и используя вместо них при вычислении возмущающей функции возмущенные значения координат. Однако переменные Ганзена не годятся для такого метода, так как получаются очень сложные алгебраические выражения. Для возмущений порядка выше второго, по-видимому, более всего подходит метод вычисления возмущений в прямоугольных координатах. [c.399]

Как мы увидим ниже, изменение энергии (31.18) даже при максимальных полях, получаемых в настоящее время в лабораториях, оказывается обычно малым по сравнению с энергиями атомных возбуждений. Поэтому сдвиг энергетических уровней в поле можно рассчитывать с помощью обычной теории возмущений. Для вычисления восприимчивости, т. е. второй производной по полю, необходимо учесть члены вплоть до второго порядка по Н следовательно, нужно воспользоваться широко известной формулой теории возмущений, включающей члены второго порядка ) [c.262]

Индексы Т и 8 означают, что при вычислении этих производных температура и энтропия соответственно остаются постоянными. Эти обычные коэффициенты упругости называются коэффициентами второго порядка, поскольку они содержат вторые производные от энергии. [c.54]

Для вычисления аберраций /-го порядка нужно брать производные по т и М от всех членов порядка -1 I, которые получаются в разложении эйконала N по степеням координат луча. Так как величины У , и от которых зависят члены разложения эйконала, второго порядка малости по отношению к координатам луча у, 2, т и М, то надо найти такое число произведений степени , которое можно составить из величин и и это (i -+ 3)(t + 5) [c.141]

Вычисления Фрида [Ф13] демонстрируют необходимость условия 2. Он увеличивал кривизну сторон, пока их отклонение от исходного квадрата не стало того же порядка, что и размеры самого квадрата. На единичном квадрате это еще означает ограниченность кривизны, но изменение масштаба до размера /г делает кривизну (т. е. вторую производную) величиной порядка l//i. Численные результаты были соответственно бедны. Элементы, рассматриваемые в практических задачах, занимают промежуточное положение между этими чрезмерно искаженными элементами и элементами, близкими к прямолинейным, требуемым по предположению равномерности в теореме 3.6. [c.193]

Действительно, обратившись к операторам Мо и ь отметим, что Мо — интегральный оператор с ядром—функцией Грина для оператора Lq. а Li — дифференциальный оператор второго порядка. Отсюда следует, что перемножение этих операторов приводит к необходимости вычисления вторых производных функции Грина, которые, как известно, имеют формальную, т. е. полученную [c.149]

Такое определение требует проверки нескольких фактов. Во-первых, будет ли оператор [6/, оператором первого порядка Прямое вычисление показывает, что возникающие вторые производные при вычислении 11 [УР) сокращается после вычитания У 1/Р). Если оператор С/ имеет вид [c.213]

Складывая два уравнения, мы сразу получаем выражение (3.281) для второй частной производной по х, но без оператора lim . Это означает, что пренебрежение высшими степенями разложения в ряд Тейлора в точности эквивалентно замене дифференцирования линейной операцией вычисления конечных разностей. Естественно, что погрешность такой замены в точности равна погрешности, обусловленной отбрасыванием членов высшего порядка. [c.146]

Разностные формулы для производных более высокого порядка выводятся с использованием полиномов высших порядков. Выражения, полученные при помощи полиномов порядков выше второго, уже не идентичны выражениям, полученным разложениями в ряды Тейлора, и в каждом случае ошибка аппроксимации должна проверяться при помощи разложения в ряд Тейлора. В вычислительной гидродинамике метод полиномиальной аппроксимации, как правило, применяется только для вычислений значений производных вблизи границ (см. разд. 3.3.2). [c.44]

Для вычисления смешанных производных второго порядка на рис. 21.7 приведен девятиточечный шаблон. [c.485]

Все эти свойства очевидны, за исключением соотношения 4), называемого тождеством Пуассона. Доказать его можно непосредственным вычислением двойных скобок Пуассона. Можнс также воспользоваться следующими соображениями. В скобке Пуассона (х, (ф, ф)) операция дифференцирования выполняется дважды над функциями ф и ф, а вся скобка представляет собой линейную однородную функцию производных второго порядка от Ф и ф. Таким образом, левая часть тождества Пуассона является линейной функцией вторых производных от всех трех функций ф, ф и X- Соберем вместе члены, содержащие вторые производные от функции X- Они войдут в выражение [c.498]

ГО означает, что среди 49 частых производных второго порядка, ходящих в вьфажеине (3.116). различными являются лишь 28 прпизвод-ь ч, что сокращает объем соответствующих вычислений по нх прсделеипю. [c.319]

Из всего вышеизложенного видно, что при общих расчетах можно применять обычные обозначения с суммированием по индексам и с записью ко- или контравариантных компонентов в виде или использовать соответствующие символические Л0бозначения Tu. Однако, поскольку в голографии часто прихо Садится менять систему координат, особенно при переходе от про-ст()анства к криволинейной поверхности предмета или к плоскости фотографической пластинки, то более предпочтимы абстрактные символические обозначения кроме того, большое число индексов, появляющихся при последовательных линейных преобразованиях, заслоняет физическую сущность, которая в действительности не зависит ни от каких специфических координат [2.2, с. 31]. Правила расчета на самом деле очень просты и выявляют геометрический смысл-, это относится и к вычислению производных, которые рассмотрим далее. Для удобства будем использовать следующие принятые в механике обозначения латинские курсивные буквы — для скаляров, строчные буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для векторов прописные латинские или греческие буквы, напечатанные полужирным шрифтом — для тензоров второго порядка. [c.15]

В предлагаемой модификации схемы [1, 2] повыгаение порядка аппроксимации и уменыаение эффектов размазывания обеспечивается дополнительным этапом, который предшествует вычислению так называемых больших величин в задаче о распаде разрыва. Указанный этап включает введение вспомогательных ( фиктивных ) точек, параметры в которых определяют в соответствии с ориентацией характеристик большие величины на полушаге. Параметры в фиктивных точках находятся интер- или экстраполяцией согласно принципу минимальных значений производных [3]. В результате счет ведется на шаблоне, который зависит от текущих параметров и на который не распространяется теорема [1] о немонотонности разностных схем второго порядка. В общем случае при наличии размазанных разрывов погрешности разностного решения в областях влияния разрывов пропорциональны их ширине А, а следовательно, порядок разностной аппроксимации задачи снижается до первого [2, 4]. Несмотря на это, использование схем повышенного порядка для сквозного построения разрывных решений целесообразно по следующим причинам. [c.186]

Для построения степенных разложений оптических характеристик на основе ряда Тейлора необходимы формулы для вычисления производных от 3 (Я.) высших порядков. Имея в своем распоряжении формулу дифференцирования (4.13), нетрудно решить эту аналитическую задачу. Для начала в качестве примера найдем вторую производную от полидисперсного интеграла (4.8). Для этого достаточно повторно применить формулу дифференцирования к полидисперсному инт егралу т. е. к (4.13), потребовав, конечно, при этом выполнения условий з (Н1) =8 (Н2) =0. Опуская промежуточные выкладки, аналогичные тем, которые приводились ранее при выводе (4.13), имеем [c.245]

Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые на пробную функцию определяющим дифференциальным уравнением, функционалом и вариационными преобразованиями ), вообще говоря, различны. Рассмотрим в качестве примера задачу нз разд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное уравнение второго порядка (7.42). В физической задаче, описываемой этим уравнением, физическое решение обычно является непрерывным вместе с непрерывными первой и второй производными. Функционал (7.33) содержит только первые производные и может быть вычислен, еслн пробная функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные. Еслн бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первые производные были бы неопределенными ) в точках разрыва и значение интеграла соответственно было бы неопределенным. Хотя вариационные преобразования между (7.35) и (7.38) накладывают требования непрерывности пробной функции вместе с непрерывностью первых производных, заметим, что формулировка может быть обобщена на случай непрерывности пробной функции и кусочной непрерывности первых производных. Условия для этого случая являются самыми слабыми доп> стимыми условиями относительно гладкости функций, нЛагаемыми вариационной процедурой, и поэтому рассматриваются как условия допустимости задачи. [c.163]

Подпрограммы формирования параметров для численного интегрирования по методу Гаусса, вычисления значений функций форм и их локальных и глобальных производных для двухмерных четырехугольных и трехмерных шестигранных конечных элементов первого и второго порядка и формирования масивов NPD и NPA [c.203]

Здесь требуется задание четырех на 1ьных условий — значений и ее производных первого, второго и третьего порядков при у = 0. Для упрощения последуюш,их формул будем искать и в форме суммы ее четной и нечетной по у частей, что соответствует разбиению на задачи А и Б. Вычисления далее ведутся параллельно. Начальные условия записываются в виде [c.487]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...