Точечные группы примеры

Перед тем как пояснить это примером, напомним символы, с помощью которых обозначаются наиболее важные элементы симметрии. Цифры 1, 2, 3, 4, 6 и символ бесконечности оо означают оси симметрии. При этом номер оси (число) показывает, сколько раз за один полный оборот вокруг данной оси симметрии возникает состояние, совпадающее с исходным (до вращения). Те же цифры, но с черточками над ними указывают на зеркально поворотные оси. Буквой т обозначают плоскость симметрии. Точка между символами элементов симметрии означает параллельность последних, двоеточие — перпендикулярность, косой штрих — наклон их друг к другу. В символ группы симметрии (точечной группы) входит только минимальное число элементов симметрии, достаточное для обозначения соответствующего класса симметрии. Так, симметрия сдвоенного конуса обозначается символом оо т, хотя, кроме оси с -го порядка и перпендикулярной ей плоскости симметрии, фигура включает еще и центр симметрии. [c.275]

Примеры энергетических диаграмм показаны на рис. 110 для кластера us с замкнутыми оболочками и для двух систем электронов, в кластере Nig, имеющих различную спиновую поляризацию [732]. Энергетические уровни орбиталей индицированы согласно неприводимым представлениям кубической (0 ) точечной группы симметрии. Предполагается, что кластеры имеют простую кубическую форму с такими же межъядерными расстояниями, как и у массивного металла. Все показанные для us уровни получены исходя из энергетических состояний десяти 5 -электронов и одного s-электрона каж- [c.243]

Я надеюсь, что эта книга поможет читателю понять роль групп молекулярной симметрии и их связь с точечными группами молекул и группами вращения при применении теории групп к проблемам молекулярной спектроскопии. Для облегчения понимания материала в книге приводится много примеров применения развиваемых здесь идей и много рисунков, показывающих действие операций симметрии, а также задачи с решениями. Читатель может сам регулировать темп чтения этой книги, либо опуская задачи и решения, либо решая задачи по мере их появления и сравнивая их с решениями, приведенными в тексте, либо просто читая задачи и решения как составную часть текста. [c.10]

В качестве простого примера влияния вращения молекулы на ее спектр можно рассмотреть молекулу метана. Она имеет тетраэдрическую равновесную геометрию в основном электронном состоянии, и для классификации колебательных состояний применяется точечная группа Та. Проводя рассмотрение на основе точечной группы симметрии, можно показать, что молекула метана не имеет электрического дипольного момента и разрешенного в электрическом дипольном приближении вращательного спектра. Однако центробежное искажение вращающейся молекулы может привести к появлению отличного от пуля электрического дипольного момента, поэтому молекула метана будет иметь вращательный спектр ). Группа молекулярной симметрии метана позволяет понять, какие ровибронные состояния могут взаимодействовать в результате центробежного искажения молекулы, и определить, какие вращательные переходы могут появляться в спектре. [c.13]

Приведем примеры точечных групп симметрии некоторых простых молекул [c.44]

Важно уточнить преобразование молекулярных координат при операциях молекулярной точечной группы и выяснить соответствие между элементами точечной группы и элементами группы молекулярной симметрии. Здесь в качестве примера мы рассмотрим молекулу воды, а затем обсудим общее правило, устанавливающее соответствие между элементами молекулярной точечной группы и группы молекулярной симметрии для произвольной нелинейной жесткой молекулы. [c.299]

В нашем примере точечной группы 42т, таким образом, только две компоненты восприимчивости (2/ /,/) из двадцати семи независимы друг от друга и отличны от нуля. [c.70]

Примером точечной группы Sg может служить деформированное бензольное кольцо с атомами водорода, лежащими в вершинах частично повернутого шестигранника, как изображено на фиг. 2,е. [c.16]

Примерами молекул, относящихся к точечным группам и могли бы слу- [c.18]

Примера точечной группы Сзд можно, вероятно, привести ион (NHa)3 (фиг. [c.19]

Точечная группа Г. Если молекула, кроме свойств симметрии точечной группы Т, имеет центр симметрии, то она принадлежит к точечной группе 7. В силу наличия перечисленных свойств симметрии эта группа имеет также три плоскости симметрии, проходящие через три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка. Нельзя найти реальную молекулу, принадлежащую к этой точечной группе, если даже мысленно деформировать ее соответствующим образом. Однако, если можно было бы к молекуле С(СНз)4 на фиг. 3, а добавить четыре группы СНз симметрично к группам СНа, которые имеются в реальной молекуле, так, чтобы центральный атом С оказался бы в центре симметрии, то полученная конфигурация могла бы служить примером точечной группы Тд. [c.22]

Элементы симметрии и примеры наиболее важных точечных групп Ч [c.23]

В качестве примера рассмотрим плоскую Y-образную молекулу типа XYZ. , (например, молекулу Но,СО), нормальные колебания которой были показаны на фиг. 24 и которая принадлежит к точечной группе Мы видим, что [c.120]

В качестве примера на фиг. 44 изображены нормальные колебания плоской молекулы типа Х.,У4, принадлежащей к точечной группе Уд (подобной молекуле этилена С. Н,5 см. стр. 350). Для каждого колебания указан тип симметрии, к которому оно относится. Правильность этого отнесения может быть легко проверена читателем с помощью табл. 14. К сожалению, обозначения [c.121]

В качестве примера на фиг. 45 изображены в масштабе нормальные колебания молекулы N63, принадлежащей к точечной группе (см. стр. 195). Мы имеем два полносимметричных колебания (тип симметрии А ) и два. вырожденных колебания (тип симметрии Е). При колебаниях первого типа моле- [c.124]

На фиг. 49, а изображены нормальные колебания молекулы типа в предположении, что она имеет транс-(центросимметричную) форму, т. е. принадлежит к точечной группе Реальным примером молекулы такого [c.130]

Если, наконец, несколько нормальных колебаний возбуждаются многократно, то сначала нужно найти результирующий тип симметрии каждого многократно возбужденного колебания, согласно табл. 32 (или для невырожденных колебаний, согласно правилам, данным на стр. 140), затем составить комбинации полученных типов симметрии с помощью табл. 31 и 33. В качестве примера рассмотрим возбужденное колебательное состояние молекулы бензола (см. фиг. 50), принадлежащей к точечной группе в которой воз- [c.148]

В качестве примера таких веществ можно назвать древесину, пьезоэлектрические керамики и др. Сим-метрийные свойства таких сред описывают с помощью предельных (непрерывных) точечных групп симметрии, которые содержат операции бесконечно малых поворотов, т, е. оси симметрии бесконечного порядка (оо). Таких групп семь < , оотт, оо22, < /т, oo/mmm, оо/оо, oo/oomm. [c.39]

Рассмотрим конкретный пример кристалла титаната бария (BaTiOj). Он представляет собой сегнетоэлектрический кристалл с температурой фазового перехода Т . = 120 °С. Ниже температуры перехода Т < Т ) кристалл является ацентрическим с точечной группой 4mm и преобладает линейный электрооптический эффект. Выше температуры перехода Т > Т ) кристалл обладает симметрией тЗт (кубической) и линейный электрооптический эффект исчезает. Пусть поле действует вдоль направления <110) в кристалле [c.282]

На примере LiNbOg рассмотрим условия, при которых выполняется фазовое согласование. Оптически одноосный отрицательный кристалл LiNbOg принадлежит к точечной группе симметрии Зт. Поляризация второго J порядка Рг с частотой 2(о и оптические электрические поля световой волны, изменяющиеся с частотой (о, связаны системой уравнений [c.368]

Влияние других элементов симметрии на восприимчивость (2/ I, 1), описывающую возникновение второй гармоники, мы исследуем на примере точечной группы 42тфгй). К ней, например, принадлежат КОР и АОР. Эти два вещества имеют важное значение в НЛО (см. гл. 3). В част- ности, на этом примере (см. также г разд. 1.23) мы покажем, что вследст- вие свойств симметрии сильно умень- [c.69]

Точечные группы. В общем случае молекула обладает несколькими из перечисленных выше элементов симметрии (см. примеры фиг. 1). Комбинируя все большее и большее число элементов симметрии, мы получаем системы, обладающие все большей и большей степенью симметрии. Однако возможны не любые комбинации элементов симметрии, а лишь вполне определенные. Например, молекула не может иметь в одном и том же направлении ось симметрии третьего и ось симметрии четвертого порядка. С другой стороны, существование известных элементов симметрии часто обусловливает существование некоторых других если молекула имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (ХУ , фиг. 1,а), то линия их пересечения обязательно является осью симметрии второго порядка. Если молекула имеет ось симметрии второго порядка (С ) и плоскость симметрии, перпендикулярную к этой оси, она обязательно должна также обладать центром симметрии (см. молекулы типа ХзУз25 на фиг. 1,г). В самом деле, поворот на 180°, например, вокруг оси г (Сз) превращает д в — д и в —у, а последующее отражение меняет знак г, следовательно, в результате х, у л г превращаются в—х,—у, — г, т. е. имеет место инверсия. [c.15]

Точечные группы Ср . Если молекула имеет ось симметрии Ср порядка р и р плоскостей симметрии проходящих через ось, то она принадлежит к точечной группе Ср . При рассмотрении свойств симметрии молекулы всегда предполагается, что ось симметрии (если она вообще существует) ориентирована по вертикали. Поэтому в настоящем случае плоскости, проходящие через ось, являются вертикальными плоскостями. По этой причине они называются плоскостями о . Легко видеть, что система, имеющая ось симметрии порядка р, не может иметь только одну вертикальную плоскость симметрии, если р . Все р плоскостей располагаются симметрично под углами. Точечная группа С, обычно записывается, как С и имеет единственный элемент симметрии — одну плоскость симметрии (кроме тождественного элемента /). Примером группы может служить нелинейная молекула NO I. Существует много молекул, относящихся к группе симметрии т. е. имеющих ось симметрии второго порядка и две взаимно перпендикулярные плоскости [c.16]

Точечные группы Ор группы диэдра). Если молекула имеет ось симметрии Ср порядка р и р осей второго порядка перпендикулярных к оси Ср и образующих между собой равные углы ), то она принадлежит к точечной группе Ър. Группа /),, конечно, эквивалентна группе С . Ее не относят к группе и р. Группа часто называется группой V (от немецкого слова Vieгergruppe — четверная группа). Она имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка (и не имеет других элементов симметрии). Примером могла бы явиться молекула С Н , если бы обе группы СН были повернуты относительно друг друга на угол, отличный от 90° (фиг. 2, и). В точечной группе >з мы имеем одну ось симметрии третьего порядка и три оси второго порядка, перпендикулярные ей. Примером может служить молекула С2Н5, в которой обе группы СН3 повернуты относительно друг друга, как показано на фиг. 2, к, на угол, отличный от 60° или 120° (в противном случае молекула будет обладать более высокой симметрией, см. ниже). [c.18]

Точечные группы С,.. Если молекула имеет ось симметрии Ср порядка р и горизонтальную плоскость симметрии о , перпендикулярную оси, то она принадлежит к точечной группе Ср . Ясно, что группа С, эквивалентна группе (см. выше), т. е. в этом случае имеется только одна плоскость симметрии. В точечной группе мы имеем ось симметрии второго порядка и плоскость симметрии, перпендикулярную оси. Примером группы является плоская от аис-конфигурация молекулы С Н С (см. фиг. 1,г) и плоская /я/7а с-конфигурация молекулы С6Н2С12ВГ2 (см. фиг. 2, л). В этих случаях оси второго порядка перпендикулярны плоскости молекулы. Существование оси и плоскости Од обусловливает существование центра симметрии (см. стр. 15), в чем можно убедиться на двух приведенных выше примерах. В качестве [c.18]

Точечные группы Если молекула имеет ось симметрии порядка р и, р осей симметрии второго порядка, перпендикулярных оси С , как в точечных группах Dp, и, кроме того, р (вертикальных) плоскостей симметрии о , делящих пополам 5 гол между двумя соседними осями второго порядка и проходящих через ось симметрии порядка р, то она принадлежит к точечной группе (й — начальная буква слова diagonal — диагональ). Точечной группы вовсе ие существует, так как при этом отсутствует угол, который делился бы пополам плоскостью симметрии. Группа обычно называется группой Vj. Эта группа имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка, как это имело место в случае группы Ve D . Кроме того, здесь имеются две плоскости симметрии, делящие пополам угол между двумя осями С,. Следствием этого является то, что третья ось С, служит одновременно зеркально поворотной осью четвертого порядка S . Примером является молекула аллена (Н С = С — СН. ), в которой плоскости обеих групп СН. взаимно перпендикулярны (фиг. 2, н). Другим примером может служить перпендикулярная (однако неустойчивая) форма молэкулы С.2Н4. Легко заметить, что эти две молекулы обладают всеми перечисленными элементами симметрии. Для точэчной группы мы имеем одну ось симметрии третьего порядка [c.19]

Примерами точечных групп Dia.D a,. . могли бы служить молекулы Х У, X-Yj ,... если бы они состояли из двух симметричных групп, повернутых друг относительно друга соответственно иа углы 45 36°----Молекула серы Sg является, повидимому, реальной молекулой, относящейся к точечной группе Dta- Ввиду существования зеркально поворотной оси S..p порядка 2 р некоторые авторы вместо символа Dpa применяют символ SipTj. [c.19]

ОСЬ Сз и через каждую из осей С , а также одну плоскость перпендикулярную к оси Сз, но не имеет центра симметрии. Примерами являются все плоские и симметричные молекулы типа ХУд (см. фиг. 1, подобные молекуле ВР, (см. стр. 322). Другим примером является зеркальная (цис-) форма молекулы (фиг. 2, и), 1, 3, 5-трихлорбензол, С8Н3С13 (фиг. 2,р) и подобные им молекулы. Точечная группа (имеющая одну ось С , четыре оси С,, плоскость Од и четыре плоскости о, ,) опять обладает центром симметрии и вследствие этого зеркально поворотной осью четвертого порядка. Любая плоская симметричная молекула типа могла бы служить иллюстрацией этой точечной группы (см. фиг. 1,ж). Примером группы могла бы явиться молекула [c.20]

Точечная группа Т (тетраэдрическая группа). Если молекула имеет три взаимно перпендикулярные оси симметрии второго порядка (как это имеет место в случае точечной группы >2 V) и, кроме того, четыре осп симметрии третьего порядка, то она принадлежит к точечной группе Т. Оси второго порядка делят пополам углы между осями третьего порядка, как в правильном тетраэдре. Однако симметрия здесь ниже, чем с,имметрия тетраэдра. Примером могла бы служить молекула, подобная тетраметилметану С(СНз)4, если бы четыре атома С групп СН3 находились в вершинах правильного тетраэдра, в центре которого находился бы пятый атом С, и если бы равносторонние треугольники, образованные тремя атомами Н групп СН3, не находились в их наиболее симметричном положении (см. фиг. 3, а). [c.20]

Точечная группа Т . Если молекула, кроме трех взаимно перпендикулярных осей симметрии второго порядка и четырех осей третьего порядка (точечная группа Т), имеет плоскость симметрии <з , проходящую через каждую пару осей третьего порядка (т. е. две взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через каждую ось второго порядка), всего шесть плоскостей симметрии , то она принадлежит к точечной группе Т . Наличие этих плоскостей предполагает, что оси второго порядка одновременно являются зеркально поворотными осями четвертого порядка. Так как правильный тетраэдр обладает этой симметрией, то все тетраэдрические молекулы относятся к этой точечной группе СН4 (см. фиг. 3, ), СС14, и др. Молекула тетрамэтилметана С(СНз)4 также может служить примером этой группы. [c.20]

Точечная группа О,. Если молекула имеет, кроме трех взаимно перпендикулярных осей симметрии четвертого порядка и четырех осей третьего порядка (точечная группа О), центр симметрии /, то она принадлежит к точечной группе Од. Следствием этого является наличие шести осей второго порядка (кроме трех осей второго порядка, которые совпадают с осями четвертого порядка) и девяти плоскостей симметрии. Оси симметрии четвертого порядка являются также одновременно зеркально поворотными осями четвертого порядка. Читатель может легко убедиться из фиг. 3, г и 3, в том, что правильный октаэдр и куб обладают такой симметрией. Очень вероятным примэром точечной группы Од является конфигурация молекулы ЗЕв при условии, что атомы Е размещены по вершинам правильного октаэдра, а атом 8 находится в центре (см. стр. 461). Другим примером могла бы служить молекула 8 , ес.1Ш бы атомы размещались по вершинам куба, что, повидимому, нэ имеет места. [c.22]

В линейной молекуле, имеюв1ей два одинаковых ядра, но не принадлежащей к точечной группе /)оол, такой, как молекула типа X — У — У (реальным примером которой [c.28]

В качестве примера, иллюстрирующего несколько более сложный случай молекулы с осью симметрии третьего порядка, на фиг. 36 показаны нормальные колебания плоской симметричной молекулы типа ХдУд, принадлежащей к точечной группе [c.104]

Типы симметрии точечных групп и иллюстрируются примерами нормальных колебаний молекул типа Хд, XsYg и Х , изображенных на фиг. 32, а, 36 и 38, а. Более сложным примером для точечной группы являются [c.132]

Вырожденные типы симметрии точечных групп как и в случае рассмотренных ранее точечных групп Ср, являются разделимо вырожденными, поэтому иногда удобно характеры вырожденных составляющих давать отдельно. В случае точечной группы они в точности совпадают с соответствующими характерами табл. 26 для группы Са. Для точечных групп С д и Сол их легко получить по примеру уже рассмотренных групп i и Се- [c.137]

Точечная группа О . Кроме элементов симметрии точечной группы О точечная группа О имеет еще центр симметрии i, а также несколько других элементов симметрии, обусловленных им. Поэтому каждому типу симметрии точечной группы О соответствует два типа симметрии в точечной группе О один из них — симметричный по отношению к центру симметрии I, другой — антисимметричный. Таким образом, мы получаем типы симметрии и характеры, пргиведенные в табл. 29 ). В качестве примера на фиг. 51 показаны нормальные колебания октаэдрической молекулы типа XYg (подобной молекуле SFg, см. стр. 361). В данном случае не возникают нормальные колебания типов симметрии Aia, A g, Лз , Pig (см. табл. 36). [c.138]

Если мы имеем совокупность атомов, занимающих общие положения (ни один из привэденных выше примеров не соответствует этому случаю), то получается двенадцать (а не шесть) степеней свободы, т. е. шесть вырожденных колебаний. Это происходит прежде всего потому, что каждому смещению атома совокупности соответствует два различных смещения каждого из атомов совокупности, получающегося из исходного атома при повороте вокруг оси С . Таким способом объясняется появление шести степеней свободы. Но три атома, получаемые путем поворота, представляют только половину совокупности атомов, так как каждому из них соответствуёт другой атом, расположенный симметрично относительно плоскости о . Отражение в плоскости о , вообще говоря, будет преобразовывать данное колебание в иное колебание, однако при надлежащем выборе линейной комбинации вырожденных колебаний одно из колебаний по отношению к этой плоскости будет симметричным, другое — антисимметричным, т. е. соответствующее число степеней свободы будет удваиваться. Итак, для рассматриваемой совокупности атомов, занимающих общие положения, для вырожденного типа симметрии получается двенадцать степеней свободы, иначе говоря, шесть вырожденных колебаний. При наличии т таких совокупностей получится 6/ге вырожденных колебаний. Это справедливо не только для типа симметрии Е точечной группы Сз , но также для дважды вырожденных типов симметрии всех точечных групп, за исключением точечных групп Ср, Ср,1 и Т. Для последних групп отсутствуют плоскости о , проходящие через ось Ср или оси С , перпендикулярные оси Ср, а поэтому нет причин для удвоения числа степеней свободы. Для этих точечных групп т совокупностям атомов, занимающих общие положения, соответствует только 3/ге дважды вырожденных колебаний. [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...