Группа локально компактная

Локально компактные группы. Это такие Г., в к-рых каждый элемент обладает компактной окрестностью. Этот класс Г. очень широк он содержит все дискретные и все компактные Г., а также все конечномерные группы Ли (см. ниже). Характеристическим свойством локально компактной Г. является наличие инвариантной меры на ней (т. н. меры Хаара). К классу локально компактных относится большая часть Г., используемых в физике. [c.542]

В некоторых специальных случаях автоморфизмы и эндоморфизмы некомпактной локально компактной группы определяют преобразования компактного однородного пространства этой группы. Примеры такого рода рассматриваются в 17.3, где С — нильпотентная, но не коммутативная группа Ли. [c.241]

П 8. Локально компактные группы и группы Ли [c.719]

В этой связи отметим, что произведение (свертку) 3 можно было бы использовать для того, чтобы снабдить пространство ё с структурой группы. Излагаемый ниже метод по духу аналогичен методу, предложенному в гл. 2, 2, п. 3 для построения слабо непрерывных унитарных представлений локально компактных групп. [c.306]

Локально компактная группа 216 [c.417]

Общее определение действия локально компактных групп на пространствах Лебега...........79 [c.6]

Общее определение действия локально компактных групп на пространствах Лебега. Пусть G — произвольная локально компактная сепарабельная группа, а (М, Ж, а,) — пространство Лебега. Имеются две возможности для естественного определения действия группы G на сохраняющего [c.79]

Теорема 3.1. Для всякого непрерывного действия с инвариантной мерой сепарабельной локально компактной группы О на пространстве Лебега существует и единственна [c.81]

Для группы 2 вопрос а) сводится к нахождению спектральной меры и кратностей, вопрос б) — к описанию возможных спектров динамических систем. Оба вопроса являются тонкими, хотя и далеко продвинуты для 0 = 2 (см. [24]). Разумеется, для общих локально компактных групп ситуация много сложней. [c.84]

Нетрудно обобщить спектральную теорию нормальных (гауссовских) динамических систем (см. [24]) на произвольные локально компактные группы. Для групп типа И спектральная теория тесно связана с теорией факторов [21]. [c.85]

Пусть теперь некоторая локально компактная группа и действует автоморфизмами измеримым образом на пространстве Лебега М, Ж, ц) с инвариантной мерой. [c.91]

С другой стороны, можно показать, что стабильный изоморфизм двух ручных разбиений со счетными элементами равносилен обычному изоморфизму (с квазиинвариантной мерой). Поэтому задача для потоков и вообще для локально компактных групп свелась к задаче о дискретных группах. В частности,, сформулированная ранее ( 1) теорема 1.3 вытекает из теоремы 1.2 и теоремы 3.1. [c.99]

Чтобы закончить рассмотрение ручных разбиений, упомянем еще о нескольких фактах. Исчерпывается ли класс ручных разбиений траекторными разбиениями дискретных или непрерывных локально компактных групп Оказывается, нет. [c.101]

Локальный дефект источника. Рассмотрим батарею ЭГЭ, в которой параметры одного или нескольких (компактной группы) элементов аномальны. Будем считать, что аномальные ЭГЭ расположены в окрестности точки с координатой Хл. Такая ситуация может возникнуть, в частности, при нарушении коммутации отдельного элемента батареи, или, например, в результате локального изменения свойств плазмы в межэлектродном зазоре (МЭЗ) термоэмиссионного преобразователя (локальная разгерметизация, замыкание зазора, локальное сопротивление для протока паров цезия и т. п.). [c.165]

Таким образом, по крайней мере для маленьких значений Ь, преобразование однозначно определяется векторным полем. Для больших 4 следует рассмотреть композицию отображений, определенных в локальных координатах. Если решения существуют для всех вещественных значений 4, векторное поле называется полным. Следует иметь в виду, что если 4 велико, то мы вынуждены работать на многообразии в различных локальных системах координат, но это не порождает особых трудностей. Если многообразие М компактно и не имеет границы, то оно может быть покрыто конечным числом координатных карт. Внутри любой карты решения существуют для некоторого фиксированного интервала времени. Так как каждая точка X еМ принадлежит некоторой не очень маленькой координатной окрестности, отсюда следует, что любое С -гладкое векторное поле на замкнутом компактном многообразии без границы полно и, таким образом, определяет гладкий поток, т. е. однопараметрическую группу диффеоморфизмов многообразия М. [c.25]

Возникающее в результате этой идентификации пространство — поверхность т рода 2. Так как сумма внутренних углов восьмиугольника Q равна 2тг, отображение отождествления является гладким в вершинах (которые склеиваются в одну точку), и можно, следовательно, перенести метрику из Q на т. Мы получим компактное многообразие, которое является локально изометричным Н. Топологически это многообразие гомеоморфно сфере с двумя ручками, т. е. поверхности кренделя . Можно также показать, что т — пространство, полученное отождествлением орбит группы Г, порожденной изометриями А , г = 1,..4, отображающими а,, в а. Другими словами, фундаментальная группа пространства т может быть отождествлена с дискретной группой Г гиперболических преобразований Мёбиуса. [c.221]

Бесконечномерные группы Ли являются обобщением ГЛ. Элементы таких Г. характеризуются заданием бесконечного набора числовых параметров (или нек-рого количества ф-ций). В физике используют в осн. Г. линейных операторов в бесконечномерных линейных пространствах, Г. диффеоморфизмов гладких многообразий и Г. калибровочных преобразований. Теория таких Г. разработана в гораздо меньшей степени, чем теория обычных (конечномерных) ГЛ. Большинство результатов здесь носит отрицат. характер эти Г. не являются локально компактными, на них не существует инвариантного интеграла, они могут не иметь полпой системы унитарных представлений. [c.542]

Пусть X = GjH — однородное пространство, для к-рого локально компактная группа G является группой цреобразованн11, а замкнутая подгруппа Н — стабилизатором нек-рой точки. Для того чтобы на X существовало И. п., необходимо и достаточно, чтобы для всех h H выполиплось равенство Дд (/i) = Д//(/г). В частности, это верно в Случае, когда Н компактна или по-луироста. [c.137]

Представления некоторых групп. Коммутативные г Р У п п ы. Любое неприводимое унитарное представление локально компактной коммутативной группы одномерно, при этом каждому элементу группы ставится в соответствие комплексное число ехр(га). Любое представление коммутативной группы ограни-чеНнымй операторами в гильбертовом пространстве является суммой (дискретной, если группа компактна) одномерных представлений. [c.102]

Топологическая динамика. Фазовое пространство в этой теории — хорошее топологическое пространство, обычно метризуемое компактное или локально компактное (см. 1 приложения). Топологическая динамика рассматривает группы гомеоморфизмов и полугруппы непрерывных преобразований таких пространств. Иногда эти объекты называются топологическими динамическими системами. Так же, как и для эргодической теории, в рамках этой книги мы используем понятия и результаты из топологической динамики прежде всего в качестве инструментов для исследования гладких динамических систем. Хотя мы не пытаемся дать всеобъемлющее введение в топологическую динамику, в данной книге содержится много результатов, относящихся к этой теории, начиная с первого обзора примеров в гл. 1 и затем в гл. 3. В 4.1, 4.5 и далее 20.1 и 20.2 приведены фундаментальные связи между топологической динамикой и эргодической теорией. Некоторые результаты гл. 8 (например теорема 8.3.1), а также гл. 11 и 15 целиком посвящены специальным классам динамических систем без каких-либо предположений о дифференцируемости и поэтому относятся к топологической динамике. [c.21]

Рассмотрим локально компактную метризуемую топологическую группу G. Этот класс включает, с одной стороны, компактные коммутативные группы, удовлетворяющие второй аксиоме счетности, которые появились в 1.3, и, с другой стороны, группы Ли, например группы изометрий гиперболической плоскости ( 5.4 и 17.5). Торы относятся к обоим классам. [c.240]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

Напомним прежде всего, что фундаментальным свойством локально компактных групп является существование левоинва-риантной меры, единственной с точностью до постоянного множителя (очевидно, что существует также правоинвариантная мера, единственная с точностью до постоянного множителя). Эта мера, называемая мерой Хаара, конечна [т. е. ц (G) < оо] в том и только в том случае, если группа G компактна. Для компактной группы G интеграл по мере Хаара ц [c.216]

Предложение. Пусть G — локально компактная группа и — мера Хаара на ней. Тогда G усреднима, если для каждой [c.219]

Мы доказали последний результат, пользуясь лишь элементарными средствами. Как показывает более глубокое исследование, этот результат является лишь частным случаем общей теории локально компактных усреднимых групп. Ниже мы приведем некоторые результаты этой теории без доказательств. [c.220]

Предложение. Локально компактная группа С с заданной на ней мерой Хаара усреднима в том и только в том случае, если для всякого компактного множества К и любых чисел е, 6> О существует компактное множество и изме- [c.220]

Для локально компактных групп было предложено много альтернативных определений усреднимости. Мы приведем здесь лишь те из них, которые наиболее тесно связаны с теорией [c.220]

Введенные нами обозначения и полученные результаты позволяют сформулировать (помимо критерия 1) следующие критерии усреднимости локально компактной группы G [c.223]

Ранее мы доказали, что всякая компактная группа и всякая абелева (локально компактная) группа усреднимы. Приведенные выше свойства делают понятной общую причину, по которой евклидова группа усреднима, и, кроме того, позволяют сделать вывод, что любая замкнутая подгруппа евклидовой группы также усреднима. [c.224]

Заметим, что для любой локально компактной, некомпактной усреднимой группы условие т]-асимптотической абелевости выполняется при одном из двух следуюш,их более сильных условий [c.230]

Тогда существует инволютивный антиунитарный оператор С, действующий на и такой, что Си ( ) С = и ) для всех причем дискретный спектр представления и (0) симметричен. Если, кроме того, операторы (С) образуют абелеву локально компактную п-параметрическую группу, то весь спектр представления и 0) симметричен. [c.269]

СНАГ означает Стоун [370, 371], Наймарк [284], Амброуз [8] и Год-ман [143]. В самой простой формулировке, достаточной для наших целей, эта теорема утверждает следующее. Если и (О) — сильно непрерывное унитарное представление локально компактной абелевой -параметрической группы О, то существует единственное спектральное семейство Е на группе [c.270]

Начиная с 70-х годов, преимущества широкого изучения действия общих групп стали очевидными и соответствующая теория интенсивно развивалась в тесном взаимодействии с теорией представлений, теорией групп Ли и дифференциальной геометрией. При этом, в свою очередь, эргодические методы дали много нового и для теории групп Ли (например, в теории арифметических подгрупп Мостова—Маргулиса) и теории представлений. Особенно важно, что метрические задачи для групп R , групп движений и др. стали широко использоваться в математической физике. В самое последнее время активно изучаются действия бесконечномерных ( больших ) групп (например, групп диффеоморфизмов, токов и др.). Различие между локально к01мпактными группами и остальными в эргодической теории очень существенно, а именно, орбиты действия не локально компактной группы могут не иметь даже квазиинвариантной меры поэтому разбиение на орбиты, разложение на эргодические компоненты могут быть не определены корректно. Для локально компактных групп эти вопросы решаются так же, как и для групп Z и R. Здесь мы будем рассматривать лишь локально компактные группы. Остановимся на немногих общих вопросах определение действия групп, эргодические теоремы, характеризация дискретного спектра. [c.79]

В. А. Рохлиным в [37]. Для общего случая локально компактной группы положительное решение в несколько различающихся вариантах дано Макки (О. Маскеу) [911 и А. М. В ершиком [8], а для R — Маруямой (С. Магиуата) [94]. Единственность доказана в [8]. [c.81]

К сожалению, для произвольных локально компактные групп вопрос до конца не решен (1984 г.). Естественно предположить, что для аменабельных локально компактных групп универсальной последовательностью служит последовательность Фёлнера (Е. Folner), т. е. такая совокупность G , G G, что для любых hi,..., [c.82]

Теорема 3.3. Пусть О — сепарабельная локально компактная группа, эргодически действующая на пространстве Лебега (М, Ж, г) с инвариантной мерой, и спектр О дискретен. Тогда существуют компактная группа/С, гомоморфизм ф 0-5- С на плотную в К подгруппу и замкнутая подгруппа H zK такие, что действие С на М, Ж, д.) метрически изоморфно действию О сдвигами на элементы ф(0) в однородном пространстве К/В правых классов смежности, снабженном образом меры Хаара на К. [c.84]

Теорема 1.3. Пусть О] и 62 — две недискретные локально компактные аменабельные (т. е. имеющие топологическое инвариантное среднее) группы со счетной базой открытых множеств. Любые два свободных эргодических действия этих групг с инвариантной мерой траекторно изоморфны между собой, и, в частности, изоморфны эргодическому действию группы R сдвигами на двумерном торе. [c.94]

Теоремы 1.1—1.3 решают поставленную выше проблему о траекторной изоморфизме для действий локально компактных аменабельных групп с инвариантной мерой. За пределами этого класса групп все обстоит значительно сложнее. Мы сформулируем несколько результатов позже, а сейчас наметим доказательство теоремы 1.1 и введем попутно важные новые понятия. Мы следуем доказательству [9], [5], см. также [69], [10], [90], [97], [75]. [c.94]

Теорема 3.1 (Рамсей (А. Ramsey) [102]). Траекторное разбиение любой локально компактной недискретной группы со счетной базой на пространстве Лебега с квазиинвариантной мерой стабильно эквивалентно траекторному разбиению некоторой дискретной группы. [c.99]

Группы преобразований. Векторное поле X задаёт в каждой точке М. направление и скорость движения в этом направлении. Если двигаться в заданных направлениях с заданными скоростями, то все точки М. будут постепенно перемещаться, т. е. определяется семейство преобразований М., зависящее от параметра, (, причём afiLt= a/4f, т- е. это семейство представляет собой однопараметрич. группу преобразований. В общем случае векторное поле определяет однопараметрич. группу преобразований лишь локально, т. е. в нек-рой окрестности каждой точки и для нек-рого интервала изменения параметра. Если группа определена глобально (на всём многообразии и для всех значений параметра), векторное поле наз. полным. На компактных М, все гладкие векторные поля являются полными. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...