Уравнения для виртуальных вариаций

Таким образом, оба уравнения связи, (9) и (10), позволяют найти направление реакции нити и могут применяться как уравнения связи при составлении уравнения для виртуальных вариаций. [c.65]

Уравнения для виртуальных вариаций [c.70]

Совокупность уравнений для виртуальных вариаций составляют уравнения для виртуальных перемещений (задающие направления реакций связей) или уравнения для вариаций обобщённых скоростей и, вообще говоря, времени. Уравнения для вариаций обобщённых скоростей необходимо рассматривать вместе с перестановочными соотношениями для операций (15 и 5(1, так как в числе стандартных операций [c.70]

Уравнения для виртуальных вариаций при неголономных связях. Пусть уравнения идеальных неинтегрируемых связей представлены уравнениями [c.71]

При вычислении вариации функционала переменные t и з выступают как равноправные аргументы. В составлении же уравнений для виртуальных вариаций роль t и з, вообще говоря, различна. Чтобы продемонстрировать это различие, возьмём связь, зависящую от двух определяющих параметров и з,Ь) и и2 з,1) и их производных по и 5 (обозначим производные точкой и штрихом соответственно) [c.74]

Реакцию идеальной связи (15), как и в дискретных механических системах, будем задавать с помощью уравнения для виртуальных вариаций, получаемого из уравнения связи. В зависимости от наличия в (15) производных по времени имеем два случая [c.74]

В случае 2 уравнение для виртуальных вариаций имеет вид [c.74]

Заметим, что варьирование также является дифференциальной операцией. Однако варьирование функции и составление уравнений для виртуальных вариаций, вообще говоря, проводятся по разным правилам (см. заметки 8, 9). Исключение составляют системы с идеальными голономными связями при применении классического изохронного варьирования (см. п. 8.1). Во всех остальных случаях условия стационарности дадут разные уравнения в зависимости от того, на каком этапе применяются неопределённые множители. [c.79]

Составление уравнений для виртуальных вариаций связи (18) обсуждалось в заметке 9. Если реакция идеальной связи задаётся с помощью неопределённого множителя Л (s, t), то вариация действия реакции, в зависимости от того, является связь (18) неголономной или голономной, содержит слагаемое (и = u, u2)) [c.82]

Расширим область применения гипотезы Гаусса о виртуальном варьировании в механике следующим образом при составлении уравнений для виртуальных вариаций неизменными принимаются время и те фазовые координаты, в уравнения которых реакции не входят. Соответственно получаем варьированное уравнение связи [c.101]

Общее уравнение (26) рассматривается вместе с уравнениями связей вида (22) и уравнениями для виртуальных вариаций вида (25). Для динамических систем (23) общее уравнение (26) не содержит реакций идеальных связей, из него следует столько уравнений движения, сколько имеется независимых виртуальных вариаций. Таким путём из уравнений несвободной системы исключаются реакции идеальных связей. [c.101]

Уравнения связей и уравнения для виртуальных вариаций вместе с функционалами (см. п. 21.2) определяют модель движения системы. [c.150]

Слагаемые, получаемые при преобразовании виртуальной работы реакций (12) с учётом уравнений для виртуальных вариаций (11), сразу включим в уравнения. Тогда [c.189]

Условие постоянства угловой скорости собственного вращения маховика рассматриваем как идеальную связь с уравнением для виртуальной вариации [c.193]

Идеальные связи и идеальные реакции. Восходящий к Лагранжу классический способ составления уравнений несвободного движения состоит в том, что реакции представляются в виде произведений неопределённых множителей и коэффициентов в уравнениях для виртуальных вариаций (уравнения Лагранжа первого рода). Неопределённые множители (соответственно и реакции), найденные с помощью уравнений связей, в каждый момент времени зависят от положений, скоростей и масс материальных точек. Полученные таким путём реакции идеальных связей для сокращения записей будем называть идеальными реакциями (идеальных связей). В невырожденных случаях идеальные реакции обеспечивают траектории, не нарушающие условия идеальных связей. [c.234]

Обсудим варьирование в последней группе слагаемых в правой части (11) вместе с варьированием ускорений. Напомним, что виртуальные вариации бгк должны удовлетворять уравнениям для виртуальных перемещений, число которых равно числу независимых удерживающих связей (обозначим это число через I). Кроме того, виртуальным вариациям 5гк могут быть поставлены в соответствие разности ускорений к к, где — мыслимые ускорения по Четаеву, удовлетворяющие условиям связей в фиксированный момент времени в действительном состоянии. Будем использовать только мыслимые ускорения, близкие действительным, т. е. [c.104]

Из уравнений связей (4) по правилам, описанным в п. 12.5, для виртуальных вариаций (5 , Ьт получаем уравнения [c.200]

Но не в этих удобствах для вычисления заключается важность наших символических уравнений (1) и (2). Истинное значение этого изображения состоит главным образом в том, что оно может быть сохранено также тогда, когда система уже больше не свободна, а имеются условные уравнения, выражающие связи между точками. Но тогда вариации нельзя больше рассматривать как совершенно произвольные, но как виртуальные вариации, т. е. такие, которые совместны с условиями. Если мы, например, предположим, что существуют три условные уравнения [c.15]

Далее рассмотрим, какие уравнения можно вывести из принципа дополнительной виртуальной работы, если предполагается, что он справедлив для произвольных вариаций напряжений. Универсальным методом решения задач такого рода является метод множителей Лагранжа ). Будем рассматривать (1.48) и (1.49) как ограничения, а перемещения и, v, w как множители Лагранжа, ассоциированные с этими ограничениями. Тогда, проводя все рассуждения в обратном порядке, получим (1.46) из (1.50). Поскольку величины ба , ба ,. .., бт считаются независимыми в соответствии с общей схемой применения множителей Лагранжа, все коэффициенты в уравнениях (1.46) обращаются в нуль, и мы получаем уравнения (1.44) и (1.45). Таким образом, принцип дополнительной виртуальной работы эквивалентен соотношениям напряжения—деформации и граничным условиям в напряже- [c.35]

Применение обозначений Т и П вместо Т и П не вносит какой-либо путаницы в выражения для действий, поэтому подынтегральные выражения в действии обычно обозначают так же, как кинетическую и потенциальную энергию соответственно. Значок тильда над вариацией, отличающий её от виртуального перемещения, также можно опустить, но при этом вариации, удовлетворяющие тем же уравнениям, что и виртуальные перемещения, называются виртуальными вариациями (см. введение). Результат преобразования (21) записывается в следующем виде [c.29]

В уравнении (20) может быть проведена подстановка зависимых виртуальных вариаций вектора 5п через независимые с помощью уравнений (19). После этого из общего уравнения (20), приравнивая нулю коэффициенты при независимых виртуальных вариациях вектора 5п, получаем п + т — I уравнений в стохастических дифференциалах Ито, по которым с применением обобщённой формулы Ито можно составить уравнения для распределений вектора состояния системы [71]. Полученные уравнения рассматриваются вместе с уравнениями связей (18). Здесь система отличается тем, что учитывается влияние связи на изменение параметров через идеальные принуждения реакций по Четаеву. [c.99]

Уравнения для определения формы кольца. Рассмотрим условие нерастяжимости кольца как идеальную связь (3), виртуальные вариации которой удовлетворяют уравнению [c.159]

Система (4.7) есть система линейных однородных уравнений, связывающих изохронные вариации координат, — система уравнений связей для виртуальных перемещений. Число вариаций координат равно Зп, число уравнений — ц, следовательно, Зп —= / вариаций координат мы можем считать независимыми, а остальные (х —зависимыми. Это означает, что I вариаций мы можем задать (разумеется, в разумных пределах). Затем, используя (4.7), вычислить остальные. [c.178]

Полученные уравнения неголономной связи для виртуальных перемещений совпадут с уравнениями (4.5), если в последних заменить дифференциалы через вариации. Дальше мы увидим, [c.178]

Виртуальное перемещение определяется вариациями координат с и 8у, которые должны быть согласованы с уравнениями связей по определению с точностью до главной линейной части приращения включительно. Это означает, что мы получим уравнение для вариаций координат, если сохраним в (59.3) только линейные члены. Следовательно, для любого фиксированного момента / вариации координат удовлетворяют равенству [c.204]

Это значит, что для стационарных связей действительные перемещения совпадают с одним из виртуальных перемещений. Материальная система, состоящая из п точек, имеет Зя вариаций координат. Однако в силу уравнений (1.26) эти вариации координат не являются независимыми друг от друга. Решая уравнения (1.26) относительной вариаций координат, для которых это решение возможно, мы их выразим через остальные дп — k. Следовательно, независимых вариаций координат будет 2>п — k, т. е. число независимых вариаций координат равно числу степеней свободы материальной системы. [c.18]

Системы со связями без трения,—Рассмотрим материальную систему, на которую наложены связи без трения, не зависящие от времени. Эти связи могут входить в различные категории, изученные в статике при рассмотрении принципа виртуальных перемещений, например твердые тела, имеющие неподвижную ось или неподвижную точку, твердые тела, сочлененные между собою или скользящие одно по другому, и т. д. Связи могут также выражаться не зависящими от времени уравнениями между координатами различных точек системы или между этими координатами и их вариациями. Такие связи называются связями без трения или идеальными, если работа их реакций равна нулю для всякого перемещения, совместимого со связями. Работа реакций идеальных связей исчезает из уравнения живых сил, так как действительное перемещение совместимо со связями. Достаточно поэтому учитывать лишь работу других сил, представляющих собою силы прямо приложенные, или активные. Теорема живых сил принимает в этом случае следующую форму [c.17]

Если некоторым совершенно произвольно выбранным значениям вариаций в силу соотношений (15) соответствует перемещение ЗР,, то те же уравнения дают для вариаций — 8(/,, перемещения — ЬF это значит, голономная система во всякий момент допускает от всякой исходной конфигурации вместе с виртуальным перемещением также и противоположное смещение — или, как обыкновенно говорят, для всякой голономной системы виртуальные перемещения обратимы. [c.287]

Отметим, наконец, что для всякого решения систему (36) существует оо" виртуальных перемещений, так йак для соответствуюи их уравнений в вариациях можно произвольно задать начальные значения п функций 8л , которые им удовлетворяют. [c.281]

Сопоставляя эти уравнения с уравнениями (3), мы видим, что вариации 8с системы ускорений для значений совместных со связями, векторно тождественны с виртуальными перемещениями, благодаря чему мы можем сказать, что естественное движение опре- [c.390]

До удара вариации 5qi 5q2 ..., Sqn произвольны. Выберем их так, чтобы они задавали виртуальное перемещение и для системы с наложенными на нее новыми связями. В соответствие с уравнениями (15) тогда следует считать, что Sqk- -i = Sqk- -2 =. .. = Sqn = О, а величины 5qi 5q2 ..., Sqk будут произвольными. При таком выборе вариаций из соотношений (16) следуют уравнения [c.463]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Составление уравнений для виртуальных вариаций демонстрируется на примере учёта неголономных связей. Показано, что уравнение голономной связи с параметром является идеальной связью, когда оно описывает огибаюгцую. Обсуждаются правила виртуального варьирования связей при двух независимых переменных. [c.71]

Полученное равенство часто называют принципом Даламбвра ). Таким образом, мы достигли нашей цели реакции связи более не входят в наши уравнения, и индекс (а) теперь можно опустить, не боясь недоразумений. Однако мы еще не получили уравнений движения в достаточно удобной форме. Для этого нам нужно привести уравнение (1.42) к такому виду, при котором оно будет содержать виртуальные вариации Sqt независимых обобщенных координат t/i (для голономных связей). Тогда каждый из коэффициентов при dqt мы сможем приравнять нулю и получить таким путем уравнения движения. [c.28]

Таким образом, мы доказали, что, отправляясь от действительного движения и варьируя путь указанным выше способом, мы приходим к равенству (3.7.4), которое выражает необходимое условие движения. Это условие, однако, является также п достаточным. Если X (t) есть геометрически возможное движение системы, т. е. путь в TV-MepnoM пространстве, удовлетворяющий условиям (2.2.5), и если равенство (3.7.4) справедливо для произвольной вариации описанного типа, то исходное движение является действительным (динамически возможным) движением системы. Для доказательства заметим, что условие (3.7.4) означает, что правая часть равенства (3.7.3) обращается в нуль для всех вариаций 6х описанного выше типа. Ранг матрицы ( rs) в уравнениях (2.2.9) равен L, поэтому наиболее общее виртуальное перемещение 6х в момент t является линейной комбинацие [ к независимых перемещений ба5< ), баз , так что г-я компонента бх, т. е. Ьх,. [c.48]

Метод виртуального варьирования возник вместе с принципом возможных перемещений (принципом виртуальных скоростей Лагранжа (J. L. Lagrang)) и принципом Даламбера (J. d Alembert) при объединении их в единый принцип Даламбера-Лагранжа, дающий общее уравнение аналитической механики. С использованием понятия возможных перемещений задаются реакции связей, в частности с помощью известного критерия идеальности связей. Принцип возможных перемещений вначале применялся при решении задач статики как необходимое условие равновесия. Достаточность принципа виртуальных скоростей для равновесия могла быть доказана только в теории, описывающей движение, так как под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения... [51]. Здесь мы вместо термина возможное перемещение предпочитаем пользоваться термином виртуальное перемещение , чтобы избежать терминологического противоречия, указанного М. В. Остроградским [79] при нестационарных связях виртуальные перемещения в общем случае не являются возможными в смысле физической реализации (иначе получилось бы, что возможные перемещения не являются возможными). Термин виртуальные вариации применяем, следуя авторам работ [74, 101], чтобы подчеркнуть, что варьирование производится в соответствии с требованиями, налагаемыми на виртуальные перемещения. Совокупность способов получения виртуальных вариаций, правила выбора множества последних и условия их применения составляют метод виртуального варьирования. [c.10]

Для множества виртуальных вариаций, удовлетворяющих уравнению (24), аксиоматически вводим критерий (необходимое и достаточное условие) идеальности связи [c.101]

Для этой цели, в согласии с правилом предыдущего пункта, достаточно рассмотреть стержневой ромб AB D, получающийся из данной системы путем отбрасывания стержня BD и последующего присоединения к действующей силе, весу р, двух реакций в точках В я D, и применить общее уравнение статики к тому виртуальному перемещению ромба, которое сблилсает или удаляет две точки В ж D. Такое перемещение определяется соответствующей вариацией угла 0 поэтому, обозначая через I общую длину четырех стержней ромба, будем иметь [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...