Варьированный путь

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Принцип Гамильтона. В предыдущей теореме энергия гипотетического движения задана, а время перехода из начальной конфигурации в конечную представляет переменную величину. В другой обычно более удобной для применения теореме время перехода задано и имеет такую же величину, как в действительном движении, а энергия на варьированном пути будет вообще другая, и не должна быть заданной постоянной. При этом условии будем иметь [c.271]

О последовательности положений а + бж можно говорить как о варьированном пути следует, однако, отдавать себе ясный отчет, что это не есть возможный путь, т. е. путь, удовлетворяющий уравнениям связи. В самом деле, в случае неголономной системы варьированный путь, вообще говоря, не является возможным ( 3.8). [c.47]

Обозначим через б Г разность между значением Т в момент t на варьированном пути и значением Т в тот же момент в действительном движении. Пользуясь сокращенными обозначениями ( 2.2), находим [c.47]

Варьированный путь. Используемый в принципе Гамильтона варьированный путь, вообще говоря, не является возможным, если система неголономна, иначе говоря, система не может следовать по варьированному пути без нарушения наложенных на нее связей. Для доказательства этого утверждения достаточно рассмотреть простой конкретный пример. [c.49]

Спрашивается, удовлетворяет ли варьированный путь этим условиям Предположим, что это так, т. е. что справедливо равенство [c.50]

В случае голономной системы этой трудности не возникает и варьированный путь всегда оказывается возможным. [c.50]

Варьированный путь возможен тогда и только тогда, когда [c.84]

Для сферы уравнения связи служат условиями качения (5.10.1) и (5.10.2). Рассмотрим простой случай, когда исходное движение представляет собой качение вдоль оси Ох без вращения около вертикальной оси. Если рассматривать перемещение, при котором в каждый момент времени центр сферы смещается на бесконечно малое расстояние ра под прямым углом к плоскости / = О, то новый варьированный путь возможен. Дело в том, что [c.84]

ТОЧКИ контакта на сфере лежат на окружности длиной 2яр os а, что с точностью до малых первого порядка относительно а равно 2яр. В общем же случае варьированный путь невозможен без проскальзывания. [c.85]

Уравнения связи (5.10.1) и (5.10.2) удовлетворяются на варьированном пути тогда и только тогда, когда [c.85]

Таким образом, как и в более простом примере 3.8, варьированный путь невозможен без нарушения уравнений связи. Вряд ли нужно напоминать читателю, что этот факт ни в коей мере не нарушает принципа Гамильтона. [c.85]

Рассмотрим траекторию изображающей точки в пространстве q и выразим принцип Гамильтона вместо переменных х в переменных д. Строим варьированный путь, выбирая в каждый момент времени виртуальное перемещение bq и получая точку на варьированной траектории, соответствующую этому моменту времени. Это виртуальное перемещение произвольно, за исключением того условия, что каждая вариация б г представляется функцией времени класса Сг, обращающейся в нуль в моменты to и ty. Поскольку вариация синхронна, [c.90]

Как указывалось в 3.8 и 5.11, если система неголономна, то варьированный путь в общем случае не удовлетворяет уравнениям связи. [c.92]

Наложим теперь дальнейшее ограничение и потребуем, чтобы варьированный путь являлся действительной траекторией, соответствующей слегка изменившимся начальным условиям. Оператор б будет теперь означать переход к точке на соседней действительной траектории, соответствующей тому же моменту времени. [c.273]

Аналогичное соотношение будет справедливо и для варьированного пути, если постоянную h заменить на h- -hh. Таким образом, соотношение (27.1.10) принимает вид 1 [c.545]

Подобно принципу Гамильтона ( 3.7), принцип наименьшего действия выражает необходимые и достаточные условия движения. Поэтому из пего можно вывести уравнения движения. Однако это сделать значительно трудней, чем из принципа Гамильтона, вследствие ограничения Е = h, накладываемого на движения вдоль варьированных путей. В этом случае мы имеем вариационную задачу Лагранжа. Мы приведем здесь этот вывод для натуральной системы. Согласно принципу наименьшего действия функционал h [c.546]

Основная формула (27.1.5) была выведена нами в предположении, что варьирование совершается относительно динамически возможного пути (т. е. пути, удовлетворяющего уравнениям движения). Варьированный путь при этом не является, вообще говоря, динамически возможным путем, но мы остановимся на том частном случае, когда этот путь является динамически возможным. Варьированным движением при этом будет движение системы с немного измененными начальными значениями координат и скоростей. [c.553]

Будем переходить к новым и новым варьированным путям, причем г точек занимают все новые и новые положения, но движутся относительно п точек бесконечно медленно или, при циклическом движении п точек, может быть, испытывают бесконечно малый скачок по прошествии конечного промежутка времени. Будем постоянно варьировать движение таким образом, пока не получатся конечные изменения всех величин и пока, наконец, не будет совершен полный круговой процесс, т. е. мы возвратимся, в конце концов, к тому же движению п точек, сопровождаемому теми же положениями V точек, однако без простого повторения тех же самых в точности движений п точек и тех же самых положений V точек в обратном порядке. [c.480]

Второй способ варьирования связан с силами, под действием которых происходит первоначальное движение. Если мы предположим силы такими, что можно говорить о потенциальной энергии , то этот способ варьирования можно определить следующим образом. Для соответствующих состояний в сравниваемых движениях полная энергия должна быть одна и та же. Это условие варьирования позже будет сформулировано иначе так, что оно будет подходить и для остальных случаев. Полная энергия складывается из живой силы и потенциальной энергии. Но так как первоначальное движение предполагается заданным, то для каждого места С пути в этом движении даны живая сила и потенциальная энергия. Для соответствующего места С варьированного пути сначала известна лишь потенциальная энергия, зависящая только от положения. Из поставленного здесь условия варьирования получается для места С еще живая сила, а вместе с тем и скорость. [c.542]

Следуя обычной символике, используемой в вариационном исчислении, мы будем обозначать малое изменение, или вариацию выражаемой определенным интегралом (2,214) работы оз при небольшом изменении (варьировании) пути деформирования, дописыванием б перед варьируемой величиной таким образом, баз выражает (первую) вариацию механической работы o. Чтобы выразить экстремальность или обращение баз в нуль, [c.135]

Результат второй итерации Ха получается из Xi путем оптимизации / (Х) по параметру х и т. д. Далее процесс продолжается из точки Х снова путем варьирования параметра Xi и т. д. Величину шага а выбирают по способу оптимального щага. [c.284]

Возможно также варьирование характеристики режима путе.м изменения вязкости масла (подбор смазочного). [c.354]

Таким образом, варьирование передаточного числа возможно путем изменения диаметров и углов наклона зубьев. [c.213]

Общим принципом, который при возможности следует реализовать в экспериментальных машинах для длительных испытаний, является внутреннее нагружение. При испытании передач, редукторов, коробок скоростей, из них составляют кинематически замкнутый контур, т.е. две передачи на двух валах. Контур подвергается внутреннему нагружению путем деформирования упругого элемента (обычно закручивания торсионного валика) или гидравлическим путем (реже пневматическим). Метод замкнутого контура в последнее время успешно распространен на бесступенчатые передачи, работающие со скольжением. Нагрузку регулируют, принудительно изменяя скольжение путем варьирования передаточного отношения одной из передач, входящих в контур. [c.474]

При итерационном способе решения выполнение (5.9) — (5.11) осуществляется путем целенаправленного варьирования переменных, оказывающих наиболее сильное влияние на изменение k 2, а и Fb. к их числу относятся воздушный зазор б, высота полюсного [c.142]

У механизма только одна степень свободы, следовательно, бф и брд зависят друг от друга. Установим предварительно зависимость уд от ф. Имеем 41д=./Тйф. Путем варьирования этого уравнения связи, аналогичного него дифференциала уравнения, получим [c.377]

Но равенство (3.8.8) невозможно, поскольку уравнение (3.8.1) пеин-тегрируемо. Предположение, что варьированный путь геометрически возможен, приводит, таким образом, к противоречию ). [c.50]

Приведенный здесь пример (показывающий, что варьированный путь для неголо-номиой системы, вообще говоря, но является возможным путем) представляется наиболее естественным. Его рассматривали многие ученые, работавшие в этой области механики. Он содержится, например, в известной работе Гёльдера о вариационных принципах динамики О. Гёльдер, О принципах Гамильтона и Мопертюи, в сборнике Вариационные принципы механики под ред. Л. С. Полака, М., Физматгиз, 1959. Другие примеры см. в 5.11. [c.50]

Варьированный путь в принципе Гамильтона. В принципе Гамильтона ( 3.7) варьированный путь получается из истинного пути посредством виртуального перемещения в каждый момент времени. Для неголономпой системы варьированный путь, вообще говоря, невозможен. Это утверждение нами уже было доказано для одной просто й неголономпой системы ( 3.8). Докажем его теперь еще для двух случаев, а именно 1) для планиметра ( 5.1, п. 6) и 2) для сферы, катящейся по плоскости ( 5.10). [c.84]

Уравнение (15.4.2) снравед-ниво для произвольного варьированного пути, требуется только, чтобы соответствующие точки исходного и нового путей относились к одному и тому же моменту времени и чтобы калодое б г g С2, при этом новый путь вовсе не обязан быть действительной траекторией. [c.273]

Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера ). В принципе Гамильтона операция варьирования производилась для одного и того же момента времени точке Р (в -пространстве) на действительной траектории в момент t ставилась в соответствие точка Р на варьированной траектории соответствующая тому же самому моменту времени. Это было возможно, так как в принципе Гамильтона задаются не только концевые точки, но и соответствующие им моменты времени, так что движение по исходному и варьированному путям совершается за одно и то же время. Теперь мы рассмотрим случай, когда точке q на исходной траектории, соответствующей положению системы в момент t, ставится в соответствие точка g + на варьированной траектории, характеризующей положение системы в момент t + Будем предполагать, что вариации 6 i, 6q2, , 6g , 8t являются функциями времени, принадлежащими к классу Сг. [c.534]

Укажем условия, при которых выполняется принцип Гёльдера. В каждый момент времени выбирается виртуальное перемещение бд по отношению к действительному движению составляющие бд,. являются функциями от t класса С2, обращающимися в нуль в моменты и ti- Затем выбирается функция 8t от t, также принадлежащая к классу Сг- В варьированном движении точка g + бд проходится в момент t + 8t, причем вариация не обязательно равна нулю в моменты io и ii. В случае, когда система неголо-номна, варьированный путь, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнениям связей. Если функция 8t тождественно равна пулю, то мы снова приходим к принципу Гамильтона. [c.535]

Рассмотрим теперь траекторию системы в дг-прострапстве и варьированный путь. Точке q на исходной траектории в момент t поставим в соответствие точку g + бд па варьированной траектории в момент t -f bt. Вычис- [c.536]

Напомним, что варьирование производится в предположении, что вдоль кривых сравнения анергия остается постоянной, равной h + Это ограничение вариаций, в сущности, не является чересчур искусствепным мы просто требуем, чтобы изображающая точка двигалась вдоль варьированного пути в 5г-пространстве со скоростью, удовлетворяющей условию Т + - - F = А бй, причем время движения по этому пути нами не ограничивается. [c.553]

Варьирование путем усложнения и обогащения звучности. Пример 125а представляет собою первоначальное изложение главной темы в первой части симфонической сюиты Римского-Корсакова Шехеразада . Тема проводится у первых и вторых скрипок с унисонной дублировкой у первого кларнета. Гармоническая фигурация (сопровождение) поручена виолончелям басовый голос — контрабасам оркестровая педаль (фоновая дублировка гармонической фигурации) — второму кларнету и двум фаготам. [c.131]

Управление подсистемами и программами САПР осуществляется с целью варьирования разработчиком отдельных параметров проектируемого изделия с целью анализа выбранного технического решения, выбора способа представления графической информации и конструкторской документации, а также улучшения определенных техннко-экономических характеристик проектируемого объекта путем ослабления несущественных ограничений. [c.375]

Неполнота изображения является во многих практических случаях важным свойством пространственно-графической модели, позволяющим проектировщику предвидеть результат композиционного объединения нескольких элементарных фигур в целое за счет контролируемого варьирования элементами связи. Это свойство визуальной системы дает возможность эффективно создавать модель, структурно соответствующую имеющемуся в сознании проектировщика пространственному образу. Традиционный путь построения аксонометрических изображений связан с жесткостью, сопряженной с необходимостью создания аппарата проецирования в отношении к каждому объекту. Результат построения при этом трудно предвидеть, требуется некоторое число прики-дочных построений для получения желаемого композиционного эффекта. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...