Группа преобразований Лоренца

Группа преобразований Лоренца состоит из тех преобразований (обязательно линейных), которые сохраняют квадратичную форму dx dxr. Любое такое преобразование имеет вид [c.392]

ГРУППА ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЛОРЕНЦА [c.630]

Рассмотрим три инерциальные системы 5, 5 и 5". Пусть 5 движется относительно 5 со скоростью у, а 5" движется относительно 5 со скоростью и. Связь между координатами (х, t) системы 5 и (х, t ) системы 5 дается преобразованиями Лоренца (в общем случае неоднородными). То же справедливо для координат (х, ) и (х", Г ) системы 5". Исключая переменные (х, t ), получаем соотношения между (х, /) и (х", t ), которые, как это ясно из физических соображений, также являются преобразованиями Лоренца. Отсюда следует, что преобразования Лоренца образуют группу. Если при t = I = О начальные точки в 5 и 5 совпадают и если при i = 1"= О начальные точки в 5 и в 5" также совпадают, то при = 1" = О совпадают и начальные точки инерциальных систем 5 и 8". Это значит, что однородные преобразования Лоренца образуют подгруппу группы Лоренца. Очевидно, что и пространственные вращения декартовых осей без изменения системы отсчета также образуют подгруппу группы преобразований Лоренца. [c.44]

Преобразования Лоренца (Пуанкаре) образуют группу. [c.326]

Преобразования Лоренца. Преобразование (9.2.9) является частным случаем более широкой группы преобразований, которые исторически не очень заслуженно называются преобразованиями Лоренца . Они характеризуются произвольными четырехмерными поворотами евклидова пространства четырех измерений с координатами = ix, Xj = iy, x = iz, Xi = t. Можно обойтись и без мнимых величин. Для этого следует определить преобразования Лоренца как группу линейных преобразований четырех действительных величин, (х, у, z, t), оставляющих инвариантной квадратичную форму [c.344]

Симметрия. При локальных (точечных) преобразованиях координат и времени максимальную Ли группу симметрии, не меняющую вид ур-ний Максвелла с токами (8), составляют наряду с линейными 6-параметрич. преобразованиями Лоренца = не только очевидные 4-параметрич. преобразования сдвига = л + а (см, Пуанкаре группа) и 1-параметрич. масштабные преобразования л"-формные [c.522]

Применяя преобразование Лоренца к первому уравнению первой группы, будем иметь [c.627]

Перейдем к вычислению инвариантов группы Лоренца. Роль инвариантов исключительно высока. Они представляют собой величины, зависящие от времени, координат, скоростей и ускорений, численное значение которых не зависит от того, в какой системе координат их вычислять. Следовательно, именно они и характеризуют физику явлений, а не выбор системы отсчета. Если требуется построить какую-нибудь теорию, инвариантную относительно преобразований Лоренца, она должна быть выражена через инварианты этих преобразований. [c.274]

В нерелятивистской кинематике преобразования Галилея без вращений декартовых осей образуют подгруппу группы преобразований Галилея. Это неверно, однако, для релятивистской кинематики, так как при комбинировании двух преобразований Лоренца без вращений результирующее преобразование в общем случае приводит к изменению ориентации декартовых осей. Пусть переход от системы 5 к системе 5 определяется преобразованием (2.25), а переход от системы 5 к системе 8" уравнениями, полученными из (2.25) заменой (х, у) на (х, и ) и (х, ) на (х", "). Исключение (х, ) приводит к преобразованиям Лоренца типа (2.28), т. е. [c.44]

Фиксируем в (2-84) точку 1,. .., < п и станем рассматривать обе его части как функции шести вещественных параметров группы 8Ь(2,С), выбранных надлежащим образом, или, что эквивалентно, шести вещественных параметров группы Лоренца Матрица (Л) 5 Л(Л)] представляет собой аналитическую функцию параметров, входящих в Л. Она определена для вещественных Л и, значит, обладает единственным аналитическим продолжением, скажем (Л, В), на комплексные преобразования Лоренца Л(Л,Д) из некоторой окрестности множества вещественных ЛeL+. Здесь и в дальнейшем под окрестностью комплексного преобразования Лоренца Л1 будем понимать все А Ь+ С) такие, что при должной параметризации шесть параметров Л лежат в комплексно окрестности шести параметров, определяющих Ль Окрестность множества преобразований Лоренца определяется аналогично. Аналитическим продолжением правой части (2-84) будет /а[Л(Л, 5) 1,. ... ..,Л(Л, В)1,п, так что аналитически продолженным уравнением будет [c.94]

Докажите, что при изменении системы отсчета эта матрица преобразуется по правилу ж = и х11, где II 6 8Ь(2,С). Таким образом, мы получаем для каждого собственного преобразования Лоренца (преобразований из связной компоненты единицы) элемент и е 8Ь(2, С), и, тем самым, двумерное представление группы Лоренца ф н-)- иф, где ф = ( ) — двухкомпонентный спинор Вейля. [c.19]

Преобразования Лоренца также образуют группу, зависящую от десяти параметров от четырех параметров, определяющих трансляцию, и от шести параметров, определяющих зеркальное отражение и вращение четырехмерного пространства Минковского, задаваемого независимыми параметрами, через которые выражаются коэффициенты с . [c.289]

Универсальная инвариантность физических законов относительно групп преобразования Галилея или Лоренца в некоторых задачах (однако существенно подчеркнуть, что не во всех задачах) дополняется свойством инвариантности исследуемых функциональных зависимостей относительно группы преобразования подобия, определенной возможностью сохранения всех уравнений и добавочных условий при преобразовании подобия, совпадающем с переходом от одной системы единиц измерения к другой. [c.400]

В специальной теории относительности основными преобразованиями координат являются однородные и неоднородные преобразования Лоренца. Совокупность этих двух групп преобразований носит название группы Пуанкаре. [c.107]

Поскольку величина е не зависит от R и Ь н, следовательно, может быть выбрана сколь угодно малой, мы заключаем, что а = R для всех элементов s й, а это абсурдно (единственное исключение составляет нулевой сдвиг 6 = 0). Таким образом, не существует пространственно-временного сдвига, который можно было бы реализовать в виде унитарного элемента алгебры 8 . Чтобы доказать это утверждение, мы использовали равенство а а = а ,а , т. е. то обстоятельство, что сдвиги коммутируют между собой. Но если заметить, что однородные преобразования Лоренца действуют как автоморфизмы на множестве пространственно-подобных сдвигов, то приведенное выше доказательство можно перенести на однородные преобразования Лоренца, используя тем самым свойство полупрямого произведения неоднородной группы Лоренца. I [c.365]

Мы уже имели случай отмечать, что СП-соотношения между сохраняющимися величинами характеризуют ту группу преобразований, из-за инвариантности действия относительно которых эти сохраняющиеся величины возникают, а не механическую систему, для которой они конкретно находятся. Поэтому найденные выше соотношения в скобках Пуассона (26) между десятью фундаментальными динамическими величинами должны выполняться для любой системы, инвариантной относительно преобразований полной группы Лоренца. Это есть условия релятивистской инвариантности теории, записанной в гамильтоновой форме. [c.189]

ЗАМЕЧАНИЕ Индекс а нумерует независимые параметры рассматриваемой группы преобразований, он не должен ни быть тензорным, ни иметь какое-либо отношение к индексам а, Ь, нумерующим функции поля. В качестве рассматриваемой группы преобразований можно выбрать какую-либо подгруппу полной группы Лоренца, но можно ввести в рассмотрение и какие-либо другие непрерывные преобразования, не связанные с выбором системы отсчета, — для таких преобразований матрицы будут равны нулю. I , [c.195]

В. А. Фоком было показано, что для состояний сплошного спектра уравнение (14.1) инвариантно относительно группы преобразований, изоморфной группе Лоренца. [c.169]

Мы увидим сейчас, что условию (22.8) удовлетворяет более широкий класс линейных вещественных преобразований, чем собственные преобразования Лоренца. Все такие преобразования мы будем называть общими преобразованиями Лоренца. Легко проверить, что общие преобразования Лоренца образуют группу — общую группу Лоренца Ь. [c.242]

Можно показать, что любые две матрицы, принадлежащие одной совокупности, могут быть переведены непрерывным образом друг в друга. Отсюда следует, в частности, что группа содержащая единичную матрицу, содержит также все собственные преобразования Лоренца. Группу ЬХ называют собственной группой Лоренца. Если ввести в рассмотрение следующие три матрицы, принадлежащие общей группе Лоренца, [c.243]

Покажем, что матрицы D K) образуют представление группы Лоренца. Действительно, при последовательном применении двух преобразований Лоренца мы получим [c.252]

В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, которые определяют преобразования волновых функций. [c.863]

Группы Ли. Элементы Г Л задают конечным набором числовых параметров (координат) так, что групповое умножение и переход к обратному элементу выражаются с помощью гладких (бесконечно дифференцируемых) ф-ций от этих параметров. Число параметров наз. размерностью ГЛ. Параметры могут быть вещественными или комплексными, в соответствии с этим ГЛ лаз. вещественной или комплексной ГЛ. Каждую комплексную ГЛ можно рассматривать как веществ. ГЛ вдвое большей размерности. Примерами ГЛ являются физически важные Г. трансляций, вращений, конформных и унитарных преобразований раз-ны. размерностей, группа Лоренца, группа Пуанкаре [c.543]

Прежде всего необходимо указать, что дифференциальные принципы обладают одним общим недостатком. Формулировка этих принципов всегда требует введения особых координат для исследуемой системы. Необходимость введения таких координат придает решению каждой проблемы специфически механический вид. Но дело не только в этом. Физика должна формулировать законы природы так, чтобы они не зависели от произвольного выбора исследователем системы координат. Физический закон, сформулированный нами, должен быть инвариантным относительно той или иной группы преобразований координат. Эти преобразования должны быть выражением каких-то фундаментальных свойств материального мира. Инвариантность является необходимым, хотя и недостаточным условием истинности формулированных нами физических законов. То, что те или иные законы инвариантны лишь по отношению к тем или иным преобразованиям, введенным как логическое обобщение опытных данных (преобразование Галилея — равномерного движения и сложения скоростей, преобразование Лоренца — опыта Майкельсона и т. п.), указывает на определенные границы, на сферу применения этих законов. Так, уравнение Шредингера, которое не инвариантно по отношению к лоренцовым преобразованиям, являясь аналогом уравнений классической механики, ограничено соответствующим образом в объеме охватываемых им явлений. Интегральный же принцип Гамильтона имеет то огромное преимущество, что он может быть сформулирован так, что окажется инвариантным по отношению к любым преобразованиям координатных систем. [c.870]

С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия Lint могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий 1) локальности взаимодействия, требующей, что бы Lintix) зависел от разл. полей и (л ) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца 3) ин-вариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрий, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными нолями сюда, в частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований. [c.302]

Доказательство. Докажем сначала это утверждение для трансляционной части группы собственных преобразований Лоренца L+. Предположим, что для некоторого пространственно-временного сдвига Ь существует унитарный элемент Ub е 8 , такой, что ab[R]=UbRUb для всех е 8 . В силу теоремы 3 для любого элемента е Ш при любом е > О существует величина K Ub,R, ), такая, что [t/ь, аа 1 ]] 1Ке для всех а. К (Ub, R, ъ). В то л<е время [c.365]

Инвариантнсх ть уравнений движения отнсхмггельно преобразований Лоренца является основным требованием специальной теории от-носителности. Совокупность преобразований Лоренца образует группу. Данная глава посвящена изучению структуры группы Лоренца и классификации ее неприводимых представлений. [c.241]

Преобразования Лоренца (2) вместе с преобразованиями вращении вокруг начала координат образуют групп уЛ оренца добавление к ней сдвигов во времени и в [c.510]

На возможное возражение, что группа сама по себе является априорным понятием, можно указать, что понятие группы является результатом абстрагирования от различных подвижных инструментов циркуль, линейка и т. д., являющихся орудием геометрического исследования ). Напомним, что уже в геометрии Евклида неявно предполагалось, что все геометрические построения следует проводить с помощью только циркуля и линейки. Смысл этого требования становится ясен только с точки зрения программы Клейна. Геометрические свойства тел выражаются, таким образом, в терминах инвариантов группы и допускают изоморфную подстановку элементов пространства, в котором реализуется группа, и, следовательно, совершенно не зависят от самих геометрических объектов. Укажем, например, на реализацию геометрии Лобачевского на плоскости, предложенную А. Пуанкаре. Приведенный пример указывает на большую методологическую ценность программы Клейна. Аналогичный подход возможен также и в физике, где различные законы сохранения интерпретируются как свойства симметрии относительно различных групп. Основными группами современной физики являются группа Лоренца, заданная в пространстве Минковского, и группа непрерывных преобразований, заданная в криволинейном пространстве общей теории относительности, коэффициенты метрической формы которого определяют поле гравитации. В релятивистской квантовой механике мы переходим от группы Лоренца к ее представлениям, определяющим преобразования волновых функций. Как было показано П. Дираком, два числа I и 5, задающих неприводимое представление группы Лоренца, можно интерпретировать как константы движения угловой момент и внутренний момент частицы (спин). Иначе говоря, операторы, соответствующие этим инвариантам, перестановочны с гамильтонианом (квантовые скобки Пуассона от гамильтониана и этих операторов равны нулю). Числа, обладающие этими свойствами, называются квантовыми числами. В работах Э. Нетер дается общий алгоритм, позволяющий найти полную систему инвариантов любой физической теории, формулируемой в терминах лагранжева или гамильтонова формализмов. В основу алгоритма положена указанная выше связь между инвариантами группы Ли и константами движения уравнений Гамильтона или Лагранжа. В качестве простейшего примера рассмотрим вывод закона сохранения углового момента механической системы, заданной лагранжианом Г(х, X, (). Вводим непрерывную группу вращения, заданную системой инфи- [c.912]

Инвариантные преобразования. Ур-ние (1) инвариантно (т. е, сохраняет свою структуру) относительно линейных преобразований координат в времени, объединённых в 10-параметрическую Пуанкаре группу (3 вращения вокруг пространственных осей,. 3 равномерных движения вдоль них, объединяемые в Лоренца преобразования, а также 4 смещения начала координат е времени). В 1910 Г. Бейтмен (Н. Bateman) показал, что В. у. инвариантно относительно 15-параметрич, конформной группы, содержащей в качестве подгруппы группу Пуанкаре. Из др. инвариантны преобразований следует выделить [c.312]

Число p играет роль радиуса кривизны пространства де Ситтера, Пространство обладает группой движений, к-рая кроме сдвигов (трансляций) включает нсевдоорто-гональные преобразования они сами по себе образуют грунну 0(4, 1), причём преобразования из этой группы переводят псевдосферу S в себя и сохраняют метрику на ней, т. е, являются движениями пространства S. Группу 0(4,1) наз. Д- С, г. Иногда под Д. С. г. понимают подгруппу 50(4, 1), к-рая выделяется требованием, чтобы все входящие в неё линейные преобразования (матрицы) обладали единичным детерминантом. Пространство де Ситтера можно отождествить с фактор-пространством Д. С. г. по подгруппе Лоренца (см. Лоренца группа), S = SO A, )ISO (3,1), Иногда рассматривают пространство де Ситтера 2-го рода (или антидоситтеровское пространство). [c.583]

ЛОРЕНЦА ГРУППА — группа вещественных линейных однородных преобразований 4-векторов х— =л = ж, х , ж пространства Минковского М , сохраняющих (индефинитное) скалярное произведение [c.607]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...