Макроскопические величины как средние значения по состояниям

Заметим далее, что описание с помощью матрицы плотности возможно и в том случае, когда рассматриваемая система изолирована от окружающей среды и находится в чистом состоянии. Более того, если речь идет о макроскопической системе, знание волновой функции чистого состояния фактически недостижимо, поскольку практически невозможно измерение полного набора величин, описывающих состояние системы. Кроме того, оно и не нужно, поскольку нас интересует макроскопическое состояние системы, характеризуемое средними значениями. Знание же матрицы плотности требует значительно меньшей информации и дает адекватное термодинамическое описание поведения макроскопической системы в терминах средних значений. [c.557]

Макроскопические величины как средние значения по состояниям [c.34]

Зная функцию распределения вероятностей микроскопических состояний, можно вычислить средние значения физических величин — макроскопические характеристики системы. Если имеется дискретный ряд состояний, при которых величина L принимает значения с вероятностью то среднее значение определяется соотношением [c.34]

Члены ансамбля представляют собой исследуемую макроскопическую систему в различных возможных для нее состояниях. Рхли с /-М состоянием сопряжено значение физической величины L, то среднее значение L согласно (5.4) будет равно [c.98]

Неравновесное макроскопическое состояние описывается набором наблюдаемых величин, которые являются средними значениями РтУ базисных динамических переменных Рт- С ПОМОЩЬЮ ЭТИХ переменных осуществляется сокращенное (огрубленное) описание эволюции системы на выбранной шкале времени. Возможность выбора различных шкал времени обусловлено существованием иерархии времен релаксации в макроскопических системах. [c.85]

Перейдем теперь к макроскопически неоднородным состояниям. В этом случае кинетическое уравнение выводится для средних значений или для диагональных матричных элементов / (г,р ) = / (г,р ) функции Вигнера (4.1.44). Как и ранее, мы предполагаем, что эти величины не зависят от спиновых переменных, т. е. индекс а снова может быть опущен. Поскольку рассматриваемая модель используется, в основном, для расчета проводимости (см. приложение 4Б), будем считать, что [c.281]

Во многих экспериментальных ситуациях крупномасштабные флуктуации относительно малы, что позволяет решать уравнение Фоккера-Планка или соответствующие уравнения Ланжевена путем разложения локальных величин в ряды по их отклонениям от средних значений, которые удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Отметим, что даже в случае малых флуктуаций само макроскопическое состояние системы может значительно отличаться от равновесного. [c.242]

Статистическое описание турбулентного движения в жидкости, в гидродинамике макроскопическое движение однокомпонентной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса (8.2.90) с соответствующими начальными и граничными условиями ). С точки зрения статистической механики подобное описание предполагает, что неравновесное состояние жидкости полностью задается средними значениями гидродинамических переменных. Иными словами, флуктуации этих величин считаются малыми и для практических целей их можно не учитывать. [c.255]

Исследуя окружающий нас мир и выделяя какое-либо происходящее в нем отдельное явление, мы описываем и характеризуем его с помощью величин, которые называем параметрами или характеристиками изучаемого нами объекта. Экспериментатор фиксирует эти величины с помощью приборов, теоретик, используя соответствующую данному случаю формальную модель системы, обозначает их точные значения соответствующими буквами на бумаге. Повторные измерения какой-либо характеристики системы каждый раз дают несовпадающие результаты, группирующиеся, как правило, около некоторого среднего значения, которое и объявляется окончательным значением данного параметра. Если даже отвлечься от неизбежных приборных ошибок и пренебречь влиянием процесса самого измерения на объект исследования, то все равно вопрос о точности значений определяемых параметров в практическом и теоретическом отношениях достаточно сложен. Прежде всего, разброс в определении параметров системы зависит от внешних помех, обусловленных не зависящими от нас обстоятельствами и процессами, происходящими повсеместно не только на бытовом, но и на глобальном и космическом уровнях. Если свести эти помехи к минимуму, то обнаружится, что статистическая система, достигнув состояния термодинамического равновесия, шумит сама по себе, т.е. ее макроскопические параметры, имея фиксированные средние значения, все время от них отклоняются. Этот собственный, не провоцируемый внешним случайным воздействием шум системы неистребим, его можно прекратить лишь остановив тепловое движение в этих системах, что, как известно, невозможно, т.к. это противоречило бы следствию П1 начала термодинамики о недостижимости абсолютного нуля температуры. [c.20]

Однако в связи с малостью молекулы мы никогда не можем задать вполне точно ее начальное состояние, определяемое положением и скоростью. Это связано с тем, что всякое наблюдение представляет собой возмущение, которое изменяет состояние неопределенным образом. Еще менее возможно задать начальные состояния огромного числа молекул, составляющих интересующие нас системы, т. е. задать микросостояние системы. Измерять мы можем лишь макроскопические величины, т. е. средние значения для огромного числа молекул, которые, однако, ничего не могут нам сказать о поведении отдельных молекул. Макросостояние еще ни в коем случае не определяет микросостояние. Одно и то же макросостояние может осуществляться весьма большим числом различных микросостояний. [c.100]

Формулу (2.4) можно преобразовать к более удобному виду, если ввести в рассмотрение средний квадрат д -компоненты скорости молекул Эту величину можно рассматривать либо как усредненное по времени значение отнесенное к какой-то отдельной частице, либо как среднее по различным группам частиц, существующим в газе в каждый данный момент. В равновесном состоянии оба эти способа усреднения эквивалентны, потому что каждая частица перебирает с течением времени как раз тот набор скоростей, который в каждый данный момент имеют различные частицы. Если бы это было не так, макроскопические характеристики равновесного состояния менялись бы со временем. Выбрав второй способ, в соответствии с формулой (1.3) запишем [c.40]

Небольших—потому что при больших отклонениях от среднего мы будем иметь дело, в сущности, уже с микросостояниями, реализующими какие-то неоднородные и, стало быть, неравновесные макроскопические состояния. Этих последних у системы с заданными значениями V, М, Е может быть, в свою очередь, сколько угодно, и по отношению к каждому из них возникает тот же вопрос до каких отклонений от среднего величину локального параметра следует считать еще относящейся к данному макроскопическому состоянию [c.51]

Рассмотрим для этого различные макроскопические состояния газа как равновесные, так и неравновесные, характеризующиеся одной и той же средней энергий частиц, и. И не будем заранее предполагать, что и = Ыу = и . Позволим частицам самим выбирать такое направление движения, какое им хочется. Мы знаем, что из всех этих состояний равновесное будет соответствовать максимуму возможных микросостояний системы, а это значит—максимуму величины д, определяемой формулой (3.3). Но при заданном значении суммы и + иу + и = и произведение и ПуП будет максимальным [c.55]

Из сказанного следует, что при одних и тех же внешних условиях система может находиться во множестве различных состояний, т. е. возможны отклонения значений параметров от их равновесных значений, называемые флуктуациями. Флуктуации представляют собой самопроизвольные, происходящие в результате теплового движения частиц отклонения значений макроскопических параметров системы от их средних (наиболее вероятных) величин и являются следствием статистической природы этих величин. В частности, в изолированной системе флуктуации сопровождаются уменьшением энтропии системы и, следовательно, противоречат второму закону термодинамики в его макроскопической трактовке. Тем самым флуктуации определяют границу применимости второго закона термодинамики. [c.148]

В статистической механике предполагается, что средние по статистическому ансамблю совпадают с наблюдаемыми значениями физических величин, которые на самом деле являются средними по времени для единственной рассматриваемой системы. Это предположение называется эргодической гипотезой. Проблема обоснования эргодической гипотезы весьма трудна даже в равновесном случае, когда время усреднения может быть сколь угодно большим [53, 131]. Если же мы имеем дело с неравновесными ансамблями, то время усреднения не может превышать характерное время, за которое изменяются величины, описывающие макроскопическую эволюцию системы. С другой стороны, время усреднения должно быть достаточно большим, чтобы наблюдаемые физические величины можно было трактовать как средние по многим микроскопическим состояниям. Таким образом, одной из основных проблем в неравновесной статистической механике является построение ансамблей, правильно описывающих неравновесные состояния на различных шкалах времени. Эта проблема будет подробно рассмотрена в главе 2. [c.15]

Важнейшей величиной, характеризующей состояние термодинамического равновесия системы и имеющей одно и то же значение у любой макроскопической части всей системы, является температура Т (в частности, для одноатомного газа, атомы которого движутся по законам классической механики, температура пропорциональна средней кинетической энергии газа). [c.477]

Внутренними параметрами системы называются статистически средние величины, которые определяются совокупным движением и распределением входящих в систему частиц, например, плотность, давление, энергия, поляризация, намагничивание, так как их значение зависит от движения и положения частиц системы и входящих в них зарядов. Поскольку расположение частиц (атомов, молекул и др.) системы зависит от расположения внешних тел, то внутренние параметры определяются как положением и движением этих частиц, так и значением внешних параметров. Совокупность независимых макроскопических параметров определяет состояние системы. [c.11]

Технические критерии статического и усталостного разрушения при сложном напряженном состоянии, применяемые обычно в расчетах на прочность / — IV теории прочности и их обобщения [6]), имеют дело только с макроскопическими напряжениями и деформациями (I рода). Последние являются усредненными величинами, определяемыми для всего поликристаллического образца в целом, В частности, критерием разрушения по первой теории прочности служит равенство максимального главного напряжения его критическому значению Рр, равному сопротивлению разрушению при простом одноосном растяжении поликристаллического образца. Действительная картина разрушения сложнее. Задолго до полного разрушения всего образца, при напряжениях, значительно меньших разрушающего, в нем появляется множество микроскопических трещин, свидетельствующих о разрушении отдельных элементов структуры. Это явление легко понять, если учесть, что макроскопические напряжения являются средними по отношению к структурным или микроскопическим напряжениям (П рода), которые могут быть как меньше, так и значительно больше макроскопических напряжений в любом данном сечении тела. Максимальные из числа микроскопических растягивающих напряжений, достигая местной (локальной) прочности материала, приводят к образованию микротрещин. В связи с этим очевидно, что расчет по обычным техническим критериям прочности противоречив, поскольку в основу его положено предположение, по которому разрушение вызывается средними (макроскопическими), а не максимальными (из числа микроскопических) напряжениями. Дело обстоит точно так же, как если бы расчет на прочность пластинки с отверстием производился по номинальным напряжениям, без учета концентрации напряжений у отверстия и независимо от формы и размеров отверстия. В структуре технических материалов (сталей, чугунов, бетона и даже стекла) роль концентраторов напряжений принадлежит особенностям микроскопической структуры (кристаллитам, неметаллическим включе-50 [c.50]

Распространим теперь термодинамический метод вычисления флуктуаций, изложенный выше, на любые величины, характеризующие макроскопические свойства подсистем. Ограничимся при этом изотропными телами. Для них любая термодинамическая величина в состоянии термодинамического равновесия есть функция двух других термодинамических величин, которые могут быть приняты за независимые переменные. Термодинамические величины макроскопических подсистем хотя и испытывают флуктуации, но -в случае малости таких подсистем их мгновенные состояния практически равновесны. Они также определяются двумя независимыми переменными. Поэтому задача сводится к вычислению тепловых флуктуаций таких двух независимых переменных. В окончательном результате, определяющем значение среднего квадрата той или иной флуктуации, необходимо указывать, какая из двух величин, выбранных для характеристики состояния подсистемы, поддерживается постоянной. Иначе самый результат будет неопределенным, а потому и бессмысленным. [c.596]

Интересно, что согласно больцмановскому принципу упорядоченности, выражаемому каноническим распределением, вероятность возникновения бенаровской конвекции почти равна нулю. Каждый раз, когда в системе, находящейся вдали от равновесия, возникают новые когерентные состояния, оценка ее с позиций концепции вероятности, основанной на подсчете числа микросостояний, становится бессмысленной. Что касается систем, в которых возникает конвекция Бенара, то можно полагать, что небольшие конвекционные потоки, представляющие собой отклонение системы от некоторого среднего ее состояния, в них существуют всегда. Однако пока величина градиента температуры не превышает некоторого критического его значения, эти флуктуации гасятся и исчезают. Напротив, когда величина градиента температуры превышает его критическое значение, амплитуда некоторых флуктуаций возрастает, что в конечном счете приводит к формированию макроскопического потока. В результате возникает новый надмолекулярный порядок, по существу представляющий собой гигантскую флуктуацию, стабилизируемую благодаря обмену энергией между системой и окружающей ее средой. Это и есть порядок, характеризуемый наличием в системе диссипативных структур. [c.130]

ЧТО всем возможным состояниям рассматриваемой системы в начальный момент времени приписывается определенный вес. Например, можно было бы приписать нулевой вес всем состояниям, несовместимым с макроскопическими условиями, а всем состояниям, совместимым с ними,— одинаковый вес. Затем возпикает искушение определить макроскопическую величину (скажем, энергию) как среднее значение микроскопических величин, вычисленное по всем состояниям динамической системы, взятым с соответствующим весом, как уже говорилось выше. Ясно, что, в какой бы исходной конфигурации, совместимой с макроскопическими условиями, ни находилась система, при такой процедуре мы получим одни и те же значения макроскопических величин. Таким образом объясняется воспроизводимость результатов макроскопических экспериментов. [c.50]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

Для масштабов времени таких, что At описание состояния системы еще более упрощается, поскольку в макроскопически малых объемах успевает установиться локальное равновесие. Наступает гидродинамическая стадия эволюции для описания которой достаточно полумакроскопических величин локальной концентрации частиц (п(г)) , плотности импульса (р(г)) и плотности (кинетической) энергии Н г))К Эти величины являются средними значениями динамических переменных [c.82]

Нетрудно установить причину того, что рассматриваемые выводы Гиббса не являются доказательством существования законов необратимого изменения статистических систем, т. е. не являются выводом соответствующих термодинамических принципов. Легко видеть, что выводы Гиббса целиком сохраняются, если под понимать не макроскопическую величину, введенную в главе XII и изменяющуюся во времени, а микроскопическую, являющуюся средним значением точной (или, по Эрен-фесту, тонкой , см. 7) плотности. Следовательно, эти выводы основаны исключительно на общих свойствах механических систем, а именно на законе сохранения энергии и на справедливости теоремы Лиувилля. Они ни в какой степени не используют существования релаксации статистических систем, связанной, как было показано (см. 5 и 7), с размешиванием исходной неравновесной области (э1а область соответствует неравновесному состоянию полной системы, состоящей из двух [c.101]

Здесь мартенситное превращение рассматривается как фазовый переход первого рода [172], в результате которого образуется макроскопи- чески однородная, монокристаллическая, однодоменная и неискаженная фаза. При этом состояние системы характеризуется удельным термодинамическим потенциалом <Ра = <р (Т,Р ), являющимся функцией температуры Т, давления Р (в общем случае вместо Р следует использовать тензор напряжений и внутреннего параметра — собственной деформации мартенситного превращения е [172], Если величины Т,Р представляют независимые параметры состояния, то равновесное значение Со = о( параметра мартенситного превращения фиксируется условием равновесия д<р /д р = О, причем для его устойчивости требуется д щ/де ,р > О [17]. Данный подход позволяет представить характерную черту мартенситного превращения — сосуществование фаз. В этом случае неоднородность системы, характеризуемая координатной зависимостью определяется средним по объему кристалла е(,(г)р, которое, очевидно, сводится к объемной доле мартенситной фазы р. В макроскопическом приближении средний термодинамический потенциал неоднородной системы = <Ра(Т, Р, (,(г)) имеет вид [c.182]

НЫ, характеризующие состояние всей системы в целом, ио не микроскопические величины, зависящие от положения и скоростей отдельных молекул те-.ла. Координаты и скорость каждой из молекул тела при термодинамическом равновесии меняются с течением времени вследствие теплового движения, а поэтому одновременно будут меняться и все микроскопические величины. Однако средние значения любой из функций от координат и скоростей всех молекул, взятые за достаточно больпюй промежуток времени, должны быть в состоянии термодинамического равновесия постоянными. Постоянство средних значений этих функций и является в кинетической теории материи условием термодинамического равновесия любой молекулярной системы, а сами средние значения рассматриваются как значения макроскопических или термодинамических величин, характеризующих молекулярную систему. [c.10]

Если макроскопический объем У, содержащий газ, ограничен достаточно гладкой поверхностью, то с большим приближением его можно разбить на большое число малых кубиков с длиной ребра, равной L. При этом, однако, предполагается, что эти кубики достаточно велики, чтобы величина L значительно превосходила среднее значение длины волны де-Бройля молекул. В таком случае из выражений (4.30) видно, что число состояний одной молекулы но импульсам в одном из кубиков в интервале импульсов = bpxapyhpz равно [c.208]

Анализ показывает при нагружении поликристаллов в отдельных зонах концентраторов напряжений могут развиваться локальные пл1астические сдвиги задолго до достижения макроскопического предела упругости. Это обусловливает эффекты неупругости, амплитудно-зависимое внутреннее трение, низкое значение истинного предела упругости, непрерывно снижающегося с увеличением чувствительности измерительной аппаратуры. В малопластичных и хрупких материалах в зонах концентраторов напряжений микротрещины зарождаются при относительно низких средних напряжениях. Локальная картина в зонах концентраторов напряжений в значительной мере зависит от средней величины зерна, степени анизотропии решетки, состояния границ зерен, наличия включений второй фазы и др. [c.148]

Рассматривая другую молекулу с массой гп2 = [Х2гп, мы получили бы аналогичное распределение с Х2 вместо ц. Параметр е, энергия на единицу массы, входит во все распределения по скоростям независимо от массы выбранной молекулы это означает, что е представляет собой величину, которая принимает одно и то же значение для каждого из нескольких газов, находящихся в контакте друг с другом при тепловом равновесии. Иначе говоря, е должна быть функцией температуры смеси и может зависегь от средней массы т, но не от масс отдельных молекул. Из макроскопического уравнения состояния совершенного газа, которое будет рассмотрено ниже (разд. 8 гл. II), следует, что [c.44]

Так же как п является концентрацигй масс, величину nf йх можно истолковывать как концентрацию скоростей. Так как мы стремимся вычислить макроскопические свойства газа, исходя из движения молекул, то очевидно, что функция / будет иметь фундаментальное значение. Роль, которую играет закон распределения скоростей молекул, будет ясно видна, когда мы будем определять средние величд1ны, характеризующие состояние газа. [c.13]

Согласно представлениям Гриффита [448] и А. Ф. Иоффе [129] прн разрушении твердого материала за счет преодоления сил взаимодействия между элементами его структуры изменяется потенциальная энергия системы на величину энергии образования новой поверхности (поверхности разрушения). Энергия образования единицы поверхности разрушения при равновесном состоянии равна поверхностному натяжению. Когда энергия деформации, вызывающая изменение потенциальной энергии, равна или превосходит поверхностное натяжение, должно происходить разрушение (критерий Гриффита) [448]. В реальном материале имеются неоднородности структуры, или дефекты , например микротрещины различных размеров и ориентации. На краях трещин создается концентрация напряжений. Фактическое напряжение при условиях, в которых для идеального материала возникли бы однородные деформации и напряжения, в реальном материале оказывается распределенным неоднородно. Перенапряженпя на краях трещин (дефектов или других неоднородностей структуры) создают условия для нача.ла разрушения в первую очередь на этих участках. Разрушение происходит при средних макроскопических напряжениях, рассчитанных на основании измеренных нагрузок и перемещений в предположении об однородности материала, характеризующих техническую ироч-ность и оказывающихся, естественно, меньше, чем фактические разрушающие локальные напряжения, действующие на участках их концентрации (очагах разрушения). Этим и объясняется заниженное значение определяемой таким путем прочности по сравнению с теоретической. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...